第一章 有理数 重难点检测卷（解析版）

第一章有理数重难点检测卷注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（2023春·贵州黔西·九年级校考阶段练习）下列是负数的是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根据小于0的数是负数即可判断．【详解】解：A、0不是负数，不符合题意；B、，不是负数，不符合题意；C、是负数，符合题意；D、，不是负数，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了负数的定义，求一个数的绝对值和化简多重符号，掌握负数的定义是解题的关键．2．（2023春·广东清远·九年级校联考期中）年月日，天安门广场迎来新中国成立以来的第次国庆阅兵据统计，截止至当天下午点，央视新闻置顶的“国庆阅兵”阅读数已超过亿，数据亿用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将一个数表示成的形式，其中，为常数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【详解】解：亿，故选：B．【点睛】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．（2023秋·山西晋城·七年级统考期末）数3与在数轴上的对应点之间的距离是（）A．0.8 B．5.2 C． D．3【答案】B【分析】根据数轴上两点间的距离等于两点对应的数的差的绝对值进行计算即可．【详解】解：数3与在数轴上的对应点之间的距离是：，故选：B．【点睛】本题考查了两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解题的关键．4．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）如图，小李在某运动中，设定了每天的步数目标为8000步，该用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，如3日，小李少于目标数的步数500步，则从2日到5日这四天中小李一共走的步数为（

）

A．33040步 B．34776步 C．32000步 D．32000步【答案】A【分析】根据正负数的意义，将图中数据相加即可求解．【详解】解：根据题意可得：从2日到5日这四天中小李一共走的步数为：（步），故选：A．【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的加减的应用，理解题意，列出算式是解题的关键．5．（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）如图是一个运算程序的示意图，如果开始输入的值为243，那么第2023次输出的结果为（

）

A．27 B．9 C．3 D．1【答案】D【分析】根据运算程序进行计算，然后得到规律从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1，然后解答即可．【详解】解：第1次，，第2次，，第3次，，第4次，，第5次，，第6次，，第7次，，……，依此类推，从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1，∴第2023次输出的结果为1．故选：D．【点睛】本题考查了代数式求值，根据运算程序计算出从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1是解题的关键．6．（2023春·黑龙江绥化·七年级统考期末）某班有男生25人，女生18人，下面说法正确的是(

)A．至少有2名男生是在同一个月出生的B．至少有2名女生是在同一个月出生的C．全班至少有5个人是在同一个月出生的D．以上选项都有误【答案】B【分析】一年有12个月，把这12个月看做12个抽屉，把男女生的人数看做元素，由此利用抽屉原理逐项即可解答．【详解】解：A：（人人（人即，至少有3名男生的生日在同一个月．所以，题干说法错误．B：（人（人（人即，至少有2名女生的生日在同一个月，所以，题干说法正确．C：（人（人人（人即全班至少有4人在同一个月过生日，所以，题干说法错误．D：因为在选项AC说法错误，选项B说法正确，所以，题干“以上说法都有误”说法错误．故选：B．【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数．7．（2023·浙江温州·校考二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．母亲甲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子1出生后的天数，如图1所示，孩子1出生后的天数是（天），母亲乙按照母亲甲的做法记录孩子2出生后的天数，如图2所示，则孩子2出生后的天数比孩子1出生后的天数（

）

A．少41天 B．少42天 C．多41天 D．多42天【答案】A【分析】根据已知算法求出孩子2出生后的天数，相减即可得到答案．【详解】解：由已知算法可知，孩子2出生后的天数是（天），（天），孩子2出生后的天数比孩子1出生后的天数少41天，故选A．【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解题意，掌握“结绳计数”满七进一的计算方法是解题关键．8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图是某品牌鞋服店推出的优惠活动，小明看中了一双鞋子和一双原价元的袜子，若购买这双鞋子和这双袜子所付的费用与单独购买这双鞋子所付的费用相同，则这双鞋子的原价可能是（

）．A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【分析】根据题意逐一分析四个选项是否满足题意即可．【详解】A选项：故选项A错误，不符合题意；B选项：故选项B错误，不符合题意；C选项：故选项C正确，符合题意；D选项：故选项D错误，不符合题意，故选C．【点睛】本题考查了有理数加减运算的实际应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．9．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果．【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，所以这一行最后一个圆圈数字应填，则所在的横着的一行最后一个圈为，这一行第二个圆圈数字应填，目前数字就剩下，这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的，这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的，这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填，所以这一行第三个圆圈数字应为，则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为故选：【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键．10．（2023秋·湖南益阳·七年级校联考期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，下列结论①；②当点与点重合时，；③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（

）A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④【答案】D【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性．【详解】解：∵，，且，∴，，解得，，故①正确；当点与点重合时，∵，，∴，故②错误；设点P表示的数是，当点与点重合时，点B表示的数是2，，，，∴，故③正确；设点B表示的数是，则点C表示的数是，∵M是OB的中点，∴点M表示的数是，∵N是AC的中点，∴点N表示的数是，则，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）11．（2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）一个数的倒数等于它的本身，它们的和是．【答案】0【分析】找出倒数等于本身的数，求和即可．【详解】如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数是1或，，故答案为：0．【点睛】此题考查倒数，解题关键在于的倒数是其本身．12．（2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做2天完成，两个人合作1天，完成的工作量是．【答案】0.75/【分析】根据“工作效率×工作时间=工作量”即可得出结论．【详解】解：．故答案为：0.75．【点睛】此题考查的是分数乘法和加法的应用，掌握工作效率×工作时间=工作量是解决此题的关键．13．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）若，则，．【答案】/5【分析】根据绝对值的非负性进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，故答案为：，5．【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，熟知几个非负数相加的结果为0，那么这几个非负数的值都为0是解题的关键．14．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）乐乐设计了一个有趣的运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差.重复这个过程……以579开始，按照此程序运算6次后得到的数是．【答案】495【分析】任选三个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的三位数重复上述的过程，即可发现规律；【详解】任选三个不同的数字，如579，组成一个最大的数975和一个最小的数579，用大数减去小数，第一次：，第二次：；第三次：第四次：第五次：第六次：故答案为：495【点睛】此题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意及对有理数的相应的运算法则的掌握．15．（2023·浙江·七年级假期作业）甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛训练，两人先比，若分出胜负，则由第三个人与胜者比赛；若是和棋，则这两个人继续下一局比赛，直到分出胜负．如此进行……比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局；若丙负3局，那么丙胜了局，三位同学至少进行了局比赛．【答案】18【分析】结合实际我们知道，有人胜一局，便有人负一局，那么最后胜局的总数应该等于负数的总局，据此作答即可．【详解】解：总负局数为，而甲、乙胜局数为，故丙胜局数为，故答案为：1，8【点睛】此题结合实际问题考查有理数的混合运算，解答此题的关键是理清题意，找准等量关系．16．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）有A，B，C，D，E，F六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表：卡牌类型ABCDEF数量（张）41032110根据以上信息，可知：①；②拥有“卡牌组合”的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型）【答案】10【分析】先求出所有卡牌的数量，再除以每位同学拥有的卡牌数量即可求出同学人数n；根据卡牌的数量和同学人数分析这些同学所拥有的的“卡牌组合”并计算人数，再选择人数最少的即可．【详解】解：∵所有卡牌的数量为．∴同学人数为，即．∵B型卡牌和F型卡牌各有10张，且每位同学有三张不同类型的卡牌，∴每位同学一定有1张B型卡牌和1张F型卡牌．∵A型卡牌有4张，C型卡牌牌有3张，E型卡牌有1张，D型卡牌有2张，∴拥有“卡牌组合”的有4人，拥有“卡牌组合”的有3人，拥有“卡牌组合”的有2人，拥有“卡牌组合”的有1人．∵，∴拥有“卡牌组合”的人数最少．故答案为：10；．【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的加法运算，有理数的除法运算，熟练掌握这些知识点是解题关键．17．（2023春·河北唐山·八年级统考期中）中百超市推出如下优惠方案：①一次性购物不超过100元，不享受优惠；②一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；③一次性购物超过300元一律8折．某人第一次购物付款80元、第二次购物付款252元，那么（1）第一次购物的原价是元；（2）第二次购物的原价可能是元；（3）如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款元．【答案】80280或315/315或280288元或316/316元或288【分析】（1）计算付款80元是否可享受优惠，即可得出其原价；（2）计算付款252元时，可能使用的折扣，即得出其原价；（3）由（2）分类讨论，求出其两次所购商品一次性购买的原价，再根据优惠条件计算即可得出应付款．【详解】解：（1）∵元元，元元，∴第一次购物不享受优惠，∴第一次购物的原价是80元．故答案为：80；（2）∵元元元，元元，∴付款252元时，两种折扣都存在，∴第二次购物的原价可能是280元或315元．故答案为：280或315；（3）由（2）可分类讨论：①当第二次购物的原价是280元时，两次所购商品一次性购买的原价为元，∴享受8折优惠，∴应付款元；②当第二次购物的原价是315元时，两次所购商品一次性购买的原价为元，∴享受8折优惠，∴应付款元；故答案为：288或316．【点睛】本题考查有理数四则混合运算的实际应用，打折销售的运用，分类讨论思想在数学实际问题中的运用．解答时分析清楚打折销售的几种情况是解答本题的关键．18．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）已知、、是有理数，且，则的值是．【答案】【分析】由a+b+c=0和abc为负数可知这三个数中只能有一个负数，另两个为正数；然后把a+b+c=0变形，最后代入代数式计算即可．【详解】解：∵，∴，，中只能有一个负数，另两个为正数，不妨设，，，∵∴，，，∴原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是有理数的混合运算．根据题意得到这三个数中只能有一个负数成为解答本题的关键．三、解答题（8小题，共66分）19．（2023·全国·七年级假期作业）把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，，(1)正数集合：{

…}；(2)负数集合：{

…}；(3)整数集合：{…}；(4)分数集合：{…}；【答案】(1)2，，(2)，，(3)2，(4)，【分析】根据有理数的分类方法求解即可．【详解】（1）解：正数有：2，，，故答案为：2，，；（2）解：负数有：，，；故答案为：，，；（3）解：整数有：2，；故答案为：2，；（4）解：分数有：，；故答案为：，．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．20．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）计算下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)2【分析】（1）先计算绝对值，再计算乘除法即可；（2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可．【详解】（1）解；原式；（2）解：原式．【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．21．（2023秋·河南许昌·七年级许昌市第一中学校联考期末）在计算时，小明同学的解题过程如下：解：原式①②③④(1)上述书写过程中，小明同学第________步出现了错误，错误的原因是________．(2)请你帮小明同学写出正确的解答过程．(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就计算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】(1)②，改变了运算的顺序(2)25(3)在有理数的运算中要注意确定运算结果的符号（答案不唯一）【分析】（1）根据小明的解答过程分析即可；（2）按照有理数混合运算的顺序计算即可；（3）根据有理数的运算法则解答即可．【详解】（1）由运算过程可知，小明同学第②步出现了错误，错误的原因是改变了运算的顺序．故答案为：②，改变了运算的顺序；（2）原式；（3）在有理数的运算中要注意确定运算结果的符号（答案不唯一）．【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．22．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的汶河大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行车里程（单位：千米）如下表所示：第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次第九次第十次第十一次(1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车时的出发点多远？(2)若汽车耗油量为0.1升/千米，这天下午小王共耗油多少升？【答案】(1)39千米(2)6.5升【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得距出发点多远；（2）根据行车路程单位耗油量，可得总耗油量．【详解】（1）解：（千米）答：将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车时的出发点39千米；（2）解：，（升）．答：这天下午小王的汽车共耗油6.5升．【点睛】本题考查了正数和负数，正确计算有理数的加减法是解（1）题关键．解答（2）题时，一定要注意所走的总路程为所走路程的绝对值的和．23．（2023·河北·统考模拟预测）佳佳同学设计了几张如图写有不同运算的卡片，佳佳选择一个有理数，让她的同桌小伟选择的顺序，进行一次列式计算．

(1)当佳佳选择了4，小伟选择了的顺序，列出算式并计算结果；(2)当佳佳选择了，小伟选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小伟选择的顺序．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意列式，再根据有理数混合运算法则计算即可；（2）分两种情况讨论即可．【详解】（1）解：依题意，得；（2）解：若选择，原式；若选择，原式，故选择．【点睛】本题考查了有理数混合运算法则，分类讨论的思想方法，本题的关键是有理数混合运算的运算顺序．24．（2023秋·河南许昌·七年级许昌市第一中学校联考期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）(1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？(2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？【答案】(1)(2)这7天的行驶费用比原来节省元【分析】（1）计算出表格中的和再加上7天每天求出总路程即可．（2）利用（1）中的总路程计算总费用即可．【详解】（1）解：，∴七天一共行驶了．（2）油车的费用：（元），电车的费用：（元），改用电车，节省的费用为：（元），答：这7天的行驶费用比原来节省元．【点睛】本题主要考查负数的实际应用及有理数的混合运算，计算总和是要注意每天的基准是．25．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）已知点A、B在数轴上表示的数分别是a、b，A、B两点之间的距离为d(1)对照数轴填写下表．a23b1031A，B两点之间的距离d127(2)观察上表，发现d与之间的数量关系是，(3)点A表示的数为x，式子、表示A、B两点之间的距离，则点B表示的数是；若，则x＝．(4)适合式子的整数x的值是；(5)式子的最小值是多少？【答案】(1)，1；4，4(2)(3)；或(4)，，0，1，2，3(5)15【分析】（1）利用两点间距离公式，即可得到A，B两点之间的距离d；（2）利用（1）中的结论，即可得到d与之间的数量关系；（3）依据式子表示A、B两点之间的距离，而，即可得到点B表示的数是；（4）依据表示数轴上与表示的点和表示3的点的距离之和为5，即可得出适合式子的整数x的值；（5）根据式子的几何意义为数轴上表示数x的点与表示的点、表示3的点的距离之和，即可得到式子的最小值．【详解】（1）解：当时，；当时，；故答案为：，1；4，4；（2）解：由题可得，d与之间的数量关系是，故答案为：；（3）解：∵式子表示A、B两点之间的距离，而，∴点B表示的数是，故答案为：；（4）∵表示数轴上与表示的点和表示3的点的距离之和为5，∴，∴整数，0，1，2，3，故答案为：，0，1，2，3；（5）解：式子的几何意义为数轴上表示数x的点与表示的点、表示3的点的距离之和，∴当时，式子的最小值是．【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是掌握绝对值的几何意义，找出所求问题需要的条件，利用数轴和绝对值的知识解答．26．（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关