1996年全国高考文科数学真题及答案

PAGE1996年全国高考文科数学真题及答案第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合．则A．B．C．D．2．当时，在同一坐标系中，函数与的图像3．若，则的取值范围是A．B．C．D．4．复数等于A．B．C．D．5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有A．720种

B．360种

C．240种

D．120种6．已知是第三象限角且，则A．

B．C．D．7．如果直线与平面满足：和，那么必有A．且B．且C．且D．且8．当时，函数的A．最大值是1，最小值是B．最大值是1，最小值是C．最大值是2，最小值是D．最大值是2，最小值是9．中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是A．

B．C．

D．10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是A．B．C．D．11．椭圆的两个焦点坐标是A．B．

C．

D．12．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为A．B．C．D．13．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为A．130B．170C．210D．26014．设双曲线的半焦距为，直线过两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为A．2B．C．D．15．是上的奇函数，，当时，，则等于A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共85分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知点与抛物线的焦点的距离是5，则．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个．（用数字作答）18．的值是．19．如图，正方形所在平面与正方形所在平面成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分11分）

解不等式．21．（本小题满分12分）

设等比数列的前项和为．若，求数列的公比．22．（本小题满分11分）已知的三个内角满足：，求的值．23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】如图1，在正三棱柱中，，分别是上的点，且．（Ⅰ）求证：面面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．24．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=，人均粮食占有量=）25．（本小题满分12分）已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两个交点，分别为和．

（Ⅰ）求的斜率的取值范围；（Ⅱ）若恰是双曲线的一个顶点，求的值．1996年全国高考文科数学真题及答案第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合．则A．B．C．D．【答案】C【解析】显然C正确．2．当时，在同一坐标系中，函数与的图像【答案】A【解析】当时，函数是减函数，且过点；而函数为增函数，且过点．3．若，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】或，解得或，即，所以的取值范围是．4．复数等于A．B．C．D．【答案】B【解析】．5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有A．720种

B．360种

C．240种

D．120种【答案】C【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有．6．已知是第三象限角且，则A．

B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，所以．7．如果直线与平面满足：和，那么必有A．且B．且C．且D．且【答案】A【解析】略．8．当时，函数的A．最大值是1，最小值是B．最大值是1，最小值是C．最大值是2，最小值是D．最大值是2，最小值是【答案】D【解析】因为，由已知．故当，即时，有最大值是2；当，即时，有最小值是．9．中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是A．

B．C．

D．【答案】A【解析】由题设可得，解得，所以椭圆方程是．10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是A．B．C．D．【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则，得，则圆锥高为，圆锥的体积是．11．椭圆的两个焦点坐标是A．B．

C．

D．【答案】B【解析】椭圆的标准方程为，而的焦点为，所以的焦点坐标是．12．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】D【解析】取的中点，连接，如图所示．均为等腰直角三角形，，∴，则面，就是三棱锥的高，所以．13．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为A．130B．170C．210D．260【答案】C【解析】由已知得，则成等差数列，所以．14．设双曲线的半焦距为，直线过两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为A．2B．C．D．【答案】A【解析】直线的方程为，原点到直线的距离为，则，即，解得或，又，所以，所以不合题意．15．是上的奇函数，，当时，，则等于A．B．C．D．【答案】B【解析】．

第Ⅱ卷（非选择题共85分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知点与抛物线的焦点的距离是5，则．【答案】4【解析】由已知得，解得．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个．（用数字作答）【答案】32【解析】从7个点中取3个点有种取法，3个点共线的有3种，三角形共有个．18．的值是．【答案】【解析】∵，∴，．19．如图，正方形所在平面与正方形所在平面成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是．【答案】【解析】由于，所以即为异面直线与所成角，设正方形边长为，在中，，．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分11分）

解不等式．【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．（Ⅰ）时，原不等式等价于不等式组：

——2分解得．

——5分（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：——7分解得．

10分综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．

——11分21．（本小题满分12分）

设等比数列的前项和为．若，求数列的公比．【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．若，则有．但，即得，与题设矛盾，故．

——2分又依题意可得．整理得．由得方程．，

——9分∵

，∴，∴．

——12分22．（本小题满分11分）已知的三个内角满足：，求的值．解法一：由题设条件知．——2分∵，∴．将上式化为．利用和差化积及积化和差公式，上式可化为．——6分将代入上式得．将代入上式并整理得——9分，∵，∴．从而得．——12分解法二：由题设条件知．设，则，可得，——3分所以．——7分依题设条件有，∵，∴．整理得——9分，∵，∴．从而得．——11分23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】如图1，在正三棱柱中，，分别是上的点，且．（Ⅰ）求证：面面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．（Ⅰ）证明：

①∵，，延长与延长线交于，连结．∴，∴．

②

．

∴．③

．∴．④

．∴．⑤

．∴面．（Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）②∵，∴，∴，——1分③∵是等腰三角形，且，∴，∴，

——3分④∵面，∴是在面上的射影，且，——5分⑤∵，面，面，∴面面．

7分（Ⅱ）∵，在面内作，垂足为．．面面，∴面，∵，而面，∴三棱柱的高为．——9分．——10分∴．——12分24．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=，人均粮食占有量=）【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少公顷，又设该地区现有人口为人，粮食单产为吨/公顷．依题意得不等式．——5分化简得．——7分∵．——9分∴（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．——10分25．（本小题满分12分）已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两个交点，分别为和．

（Ⅰ）求的斜率的取值范围；（Ⅱ）若恰是双曲线的一个顶点，求的值．【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（Ⅰ）依题设，的斜率都存在，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组①——1分有两个不同的解．在方程组①中消去，整理得．②若，则方程组①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故，即，方程②的判别式为．设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组