线面积分整章省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第一节对弧长曲线积分一、问题提出二、对弧长曲线积分概念三、对弧长曲线积分计算四、几何与物理意义五、小结思索题第1页一、问题提出实例:曲线形构件质量匀质之质量分割求和取极限近似值准确值第2页二、对弧长曲线积分概念1.定义第3页被积函数积分弧段积分和式曲线形构件质量第4页2.存在条件：3.推广第5页注意：第6页4.性质第7页三、对弧长曲线积分计算定理第8页注意:特殊情形第9页推广:第10页例1解例3解第11页例4解由对称性,知第12页四、几何与物理意义第13页第14页五、小结1.对弧长曲线积分概念2.对弧长曲线积分计算3.对弧长曲线积分应用第15页思索题对弧长曲线积分定义中符号可能为负吗？第16页思索题解答符号永远为正，它表示弧段长度.第17页练习题第18页第19页练习题答案第20页第二节对坐标曲线积分一、问题提出二、对坐标曲线积分概念三、对坐标曲线积分计算四、小结思索题第21页一、问题提出实例:

变力沿曲线所作功常力所作功分割第22页求和取极限近似值准确值第23页二、对坐标曲线积分概念1.定义第24页类似地定义第25页2.存在条件：3.组合形式第26页4.推广第27页5.性质即对坐标曲线积分与曲线方向相关.第28页三、对坐标曲线积分计算定理第29页特殊情形第30页第31页(4)两类曲线积分之间联络：其中（能够推广到空间曲线上）第32页可用向量表示有向曲线元；第33页例1解第34页第35页例2解第36页问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不一样积分结果不一样.第37页例3解第38页第39页问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不一样而积分结果相同.第40页四、小结1．对坐标曲线积分概念2．对坐标曲线积分计算3．两类曲线积分之间联络第41页思索题第42页思索题解答曲线方向由参数改变方向而定.第43页练习题第44页第45页第46页练习题答案第47页第48页第三节格林公式一、问题提出二、格林公式三、简单应用四、小结思索题第49页一、区域连通性分类

设D为平面区域,假如D内任一闭曲线所围成部分都属于D,则称D为平面单连通区域,不然称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD第50页

设空间区域G,假如G内任一闭曲面所围成区域全属于G,则称G是空间二维单连通域;

假如G内任一闭曲线总能够张一片完全属于G曲面,则称G为空间一维单连通区域.GGG一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通第51页二、格林公式定理1第52页边界曲线L正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他左边.第53页证实(1)yxoabDcdABCE第54页同理可证yxodDcCE第55页证实(2)D两式相加得第56页第57页GDFCEAB证实(3)由(2)知第58页第59页xyoL1.简化曲线积分三、简单应用AB

第60页第61页2.简化二重积分xyo第62页第63页解第64页xyoLyxo第65页xyo(注意格林公式条件)第66页3.计算平面面积第67页解第68页第69页四、小结1.连通区域概念;2.二重积分与曲线积分关系3.格林公式应用.——格林公式;第70页

若区域

如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L方向。思索题第71页思索题解答由两部分组成外边界：内边界：第72页第四节格林公式应用一、问题提出二、曲线积分与路径无关条件三、二元函数全微分求积四、小结思索题第73页Gyxo一、曲线积分与路径无关定义BA假如在区域G内有第74页二、曲线积分与路径无关条件定理2第75页两条件缺一不可相关定理说明：第76页三、二元函数全微分求积定理3第77页第78页解第79页解第80页第81页四、小结与路径无关四个等价命题条件等价命题第82页练习题第83页第84页第85页第86页练习题答案第87页第88页第五节对面积曲面积分一、概念引入二、对面积曲面积分定义三、计算法四、小结思索题第89页一、概念引入实例

所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.第90页二、对面积曲面积分定义1.定义第91页2.对面积曲面积分性质第92页三、计算法则按照曲面不一样情况分为以下三种：第93页则则第94页例1解第95页第96页解依对称性知：第97页第98页第99页例3第100页解第101页（左右两片投影相同）第102页第103页例4解第104页第105页四、小结2．对面积曲面积分计算是将其化为投影域上二重积分计算.（按照曲面不一样情况投影到三坐标面上）1．对面积曲面积分概念;注意：一投、二代、三换．第106页思索题

在对面积曲面积分化为二重积分公式中,有因子,试说明这个因子几何意义.第107页思索题解答是曲面元面积,故是曲面法线与轴夹角余弦倒数.第108页练习题第109页第110页练习题答案第111页第六节对坐标曲面积分一、基本概念二、概念引入三、概念及性质四、计算法五、两类曲面积分之间联络六、小结思索题第112页一、基本概念观察以下曲面侧(假设曲面是光滑)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧第113页曲面分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.经典双侧曲面第114页莫比乌斯带经典单侧曲面:播放第115页曲面法向量指向决定曲面侧.决定了侧曲面称为有向曲面.曲面投影问题:第116页二、概念引入实例:流向曲面一侧流量.第117页第118页1.分割则该点流速为.法向量为.第119页2.求和第120页3.取极限第121页三、概念及性质第122页被积函数积分曲面类似可定义第123页存在条件:组合形式:物理意义:第124页性质:第125页四、计算法第126页第127页注意:对坐标曲面积分,必须注意曲面所取侧.第128页解第129页第130页五、两类曲面积分之间联络第131页第132页两类曲面积分之间联络第133页向量形式第134页解第135页第136页六、小结1.对坐标曲面积分物理意义2.对坐标曲面积分计算时应注意以下两点a.曲面侧b.“一投,二代,三定号”第137页思索题第138页思索题解答此时左侧为负侧，而左侧为正侧.第139页练习题第140页第141页练习题答案第142页莫比乌斯带经典单侧曲面:第143页经典单侧曲面:莫比乌斯带第144页经典单侧曲面:莫比乌斯带第145页经典单侧曲面:莫比乌斯带第146页经典单侧曲面:莫比乌斯带第147页经典单侧曲面:莫比乌斯带第148页经典单侧曲面:莫比乌斯带第149页经典单侧曲面:莫比乌斯带第150页经典单侧曲面:莫比乌斯带第151页经典单侧曲面:莫比乌斯带第152页经典单侧曲面:莫比乌斯带第153页经典单侧曲面:莫比乌斯带第154页经典单侧曲面:莫比乌斯带第155页经典单侧曲面:莫比乌斯带第156页经典单侧曲面:莫比乌斯带第157页经典单侧曲面:莫比乌斯带第158页第七节高斯公式通量与散度一、高斯公式二、简单应用三、物理意义----通量与散度四、小结思索题第159页一、高斯公式第160页证实第161页依据三重积分计算法依据曲面积分计算法第162页第163页同理------------------高斯公式和并以上三式得：第164页Gauss公式实质

表示了空间闭区域上三重积分与其边界曲面上曲面积分之间关系.由两类曲面积分之间关系知高斯公式另一个形式：第165页二、简单应用解第166页第167页使用Guass公式时应注意:第168页第169页解空间曲面在面上投影域为曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式第170页依据对称性可知第171页故所求积分为第172页第173页证利用高斯公式，即得第174页第175页沿任意闭曲面曲面积分为零条件第176页我们有以下结论：第177页三、物理意义----通量与散度1.通量定义:第178页2.散度定义:第179页散度在直角坐标系下形式积分中值定理,两边取极限,第180页高斯公式可写成第181页四、小结3．应用条件4．物理意义2．高斯公式实质1．高斯公式第182页思索题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？第183页思索题解答曲面应是分片光滑闭曲面.第184页练习题第185页第186页第187页练习题答案第188页第八节斯托克斯公式环通量与旋度一、斯托克斯(stokes)公式二、简单应用三、物理意义----环通量与旋度四、小结思索题第189页一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式第190页

是有向曲面正向边界曲线右手法则证实如图第191页思绪曲面积分二重积分曲线积分12第192页1第193页根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线第194页同理可证故有结论成立.第195页另一个形式便于记忆形式第196页Stokes公式实质:

表示了有向曲面上曲面积分与其边界曲线上曲线积分之间关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形第197页二、简单应用解按斯托克斯公式,有第198页第199页解则第200页即第201页空间曲线积分与路径无关条件斯托克斯公式应用：空间曲线积分与路径无关条件．问题：空间曲线积分在什么条件下与路径无关？注意：空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线曲线积分为零．第202页第203页第204页用定积分表示为第205页三、物理意义---环流量与旋度1.环流量定义:第206页利用stoke