高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第02讲 分层随机抽样、获取数据的途径（解析版）

第02讲9.1.2分层随机抽样+9.1.3获取数据的途径

课程标准学习目标

①理解分层随机抽样的概念。

通过阅读课本抽样调查最核心的问题是样本的代表

②掌握用分层随机抽样从总体中抽取样本。

性．简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机

③掌握两种抽样的区别与联系。

会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极

④知道获取数据的基本途径，包括统计报表

端”的样本．例如，在对某中学高一年级学生身高的调

和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、

查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或

互联网等．.知道获取数据的途径包括：统计

矮个子的情形．这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏

报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和

离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差．能否利

抽样、互联网等．了解数据的随机性．。

用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？

知识点01：分层随机抽样的概念及特点

（1）分层随机抽样的概念

一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个

字总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法

称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么

称这种样本量的分配方式为比例分配.

（2）分层随机抽样的特点

①从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况.

②分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个

n

抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于.

N

③分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样

本更具有代表注，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛.

（3）对分层抽样的“层”的理解

在分层抽样中，将具有某种共同特征的对象归为同一层，不同层之间的对象要有明显的差异，并且这

些特征的差异应该是对所研究的问题有影响的例如，要从某中学抽取一些学生构成一个样本，如果研究他

们的视力情况，那么应该按照年龄分层，或按照年级分层，都是合理的分层方式；但如果按照性别分层，

就不合适了，因为性别对视力的影响可能是很小的，如果研究他们对篮球运动的兴趣，那么按照性别分层

就比按年龄或年级分层会更合理在实际中，对于一些复杂的问题，可能还需要对层内再进一步细分层.

知识点02：分层随机抽样的步骤

①根据己经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；

n

②根据总体中的个体数N和样本量n计算抽样比k；

N

③确定第i层应该抽取的个体数目niNik（Ni为第i层所包含的个体数），使得各ni之和为n；

④在各个层中，按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本.

【即学即练1】（2024上·江西赣州·高一统考期末）某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700

人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取（）

A．5人B．6人C．7人D．8人

【答案】C

【详解】采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人，

已知高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，

700

则应从高三抽取的人数为187.

600500700

故选：C.

知识点03：简单随机抽样与分层随机抽样的比较

类别共同点各自特点相互联系适用范围

抽样过总体中的个体

简单随机抽样从总体中逐个抽取

程中每数较少

个个体

被抽取各层抽样时采用总体由差异明

将总体分成几层，分层

分层抽样的概率简单随机抽样或显的几部分组

进行抽取

是相同系统成

的

知识点04：分层随机抽样的平均数

在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量

分别为m和n.我们用X1,X2,,XM表示第1层各个个体的变量值，用x1,x2,,xm表示第1层样本的各个个

体的变量值；用Y1,Y2,,YN表示第2层各个个体的变量值，用y1,y2,,yn表示第2层样本的各个个体的变量

值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为

XXX1Mxxx1m

12M12m

XXi,xxi.

MMi1mmi1

第2层的总体平均数和样本平均数分别为

YYY1Nyyy1n

12N12n

YYi,yyi.

NNi1nni1

总体平均数和样本平均数分别为

MNmn

XYxy

iiii.

Wi1i1,i1i1

MNmn

由于用第1层的样本平均数x可以估计第1层的总体平均数X，用第2层的样本平均数y可以估计第2

MxNyMNmxnymn

层的总体平均数Y，因此可以用Wxyxy.

MNMNMNmnmnmn

【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280

人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为

170.2cm，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0cm，则该校高一学生的平均身高的估计值

为．

【答案】166.4cm

【详解】由题意可知，x170.2,y162.0，且M320,N280,

MN320280

所以样本平均数wxy170.2162.0166.4(cm)，

MNMN320280320280

故该校高一学生的平均身高的估计值为166.4cm．

故答案为：166.4cm.

知识点05：获取数据的途径

在实际统计调查中，一般先要确定调查的目的、对象，即统计调查要解决的问题和需要调查的总体；

还要确定好调查的项目，也就是要统计的变量.接下来就开始收集数据，收集数据的基本途径如下：

（1）通过调查获取数据

设计调查问卷：

调查问卷一般由一组有目的、有系统、有顺序的题目组成.问题由调查人员根据调查的目的、项目进行设计

设计调查问卷的注意事项：

①问题要具体，有针对性，使受调查者能够容易作答.

②语言简单、准确，含义清楚，避免出现有歧义或意思含混的句子

③题目不能出现引导受调查者答题倾向的语句

④设计问题时要注意“如何得到敏感性问题的诚实回答”.

（2）通过试验获取数据

根据调查项目的要求设计一些合适的试验，能够直接地获得样本数据.试验时要注意准备好试验用具

（或组织好观测的对象)、指定专门的记录人员等.做试验通常能得到可靠的数据资料，但需花费的人力、

物力、时间较多，有时带有破坏性.

（3）通过观察获取数据

对于有些现象，不能用试验或者抽样等方法来获取数据，只能通过长久持续的观察获取，主要是一些

自然现象，如地震、降水、大气污染、宇宙射线等.一般地，通过观察自然现象所获取的数据性质比较复杂，

其中蕴含着所观察现象的本质信息，需要通过统计学理论和方法来挖掘.

（4）通过查询获得数据

有些数据资料不容易直接调查得到，这时可以通过查阅统计年鉴、图书馆文献等方法获得所需或相关

的数据，比如全国历次人口普查的数据都可以在统计年鉴中查阅到；还可以通过互联网上的资源得到数据

资料.

题型01分层随机抽样概念的理解及应用

【典例1】（2024上·安徽阜阳·高一期末）2010年某高校有2400名毕业生参加国家公务员考试，其中专科

生有200人，本科生有1000人，研究生有1200人，现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习

资料的情况，从中抽取一个容量为n的样本，已知从专科生中抽取的人数为10人，则n等于（）

A．100B．200C．120D．240

【答案】C

1011

【详解】每个个体被抽到的概率为，则n2400120.

2002020

故选：C.

【典例2】（2024·广东·高三学业考试）某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，

高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为27的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别

为（）

A．6，12，9B．9，9，9

C．3，9，15D．9，12，6

【答案】D

9001200600

【详解】依题意高一抽取279人，高二抽取2712人，高三抽取276人.

270027002700

故选：D

【典例3】（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）某新学校高一、高二、高三共有学生950名，为

了了解同学们的兴趣爱好，计划采用分层抽样的方法，从这950名学生中抽取一个样本容量为190的样本，

若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以2为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为

3

人.

【答案】450

2

【详解】因为高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列，

3

设从高二年级抽取的学生人数为x人，

32

则从高二、高三年级抽取的人数分别为x,x，

23

323

由题意可得xxx190，解得x60，x90，

232

N90

设我校高一年级的学生人数为N，再根据，求得N450.

950190

故答案为：450.

【变式1】（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）树人中学高一年级有712名学生，男生有326名，

女生有386名，想抽取样本了解高一年级的平均身高，为减少“极端”样本的出现，你认为比较合适的抽样方

法为（）

A．抽签法B．随机数法C．分层抽样D．其他方法

【答案】C

【详解】为减少“极端”样本的出现，可按照男生与女生的比例抽取，因此用分层抽样.

故选：C.

【变式2】（2024上·全国·高三期末）某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知

识竞赛，若得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且全校高一、高三学生数之比为

2:3，则样本容量为（）

A．120B．160C．180D．460

【答案】D

【详解】设样本中高二的学生数量为x，

则样本中高一的学生数量为x40，样本中高三的学生数量为x20，

因为全校高一、高三学生数之比为2:3，

x+203

所以=，解得x160，

x-402

则样本容量为120+160+180=460，

故选：D.

【变式3】（2024上·四川成都·高二统考期末）某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”

组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，

则“史政生”组合中选出的学生人数为.

【答案】8

72721

【详解】由题意，，

480401208072010

设在“史政生”组合中应选出的学生人数为x，

1x

则根据按比例分配分层抽样可得，解得x8.

1080

故“史政生”组合中选出的学生人数为8.

故答案为：8.

题型02分层随机抽样中的相关运算

【典例1】（2024·全国·模拟预测）某学校高三年级有男生640人，女生360人．为了解高三学生参加体育

运动的情况，采用分层抽样的方法抽取样本，现从男、女学生中共抽取50名学生，则男、女学生的样本容

量分别为（）

A．30，20B．18，32C．25，25D．32，18

【答案】D

640360

【详解】根据分层抽样的定义，知男生共抽取5032（人），女生共抽取5018（人）．

640360640360

故选：D．

【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）以“塑造软件新生态，赋能发展新变

革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于2023年8月31日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，

其中某个区域的男性参会人员有25人，女性参会人员有15人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域

随机抽取16位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为.

【答案】6

3

【详解】由题意得分层比为5:3，则女性参会人员应抽取的人数为166.

53

故答案为：6

【典例3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的

得分情况，采用分层抽样的方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽

取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为人．

【答案】1500

【详解】设从高二抽取的人数为x，则高一抽取的人数为x4，高三抽取的人数为x4.

所以3x=48，解得x16，所以高三年级抽取了20人，由分层抽样的概念可知高三年级的学生人数为：

20

36001500.

48

故答案为：1500.

【变式1】（2023·上海闵行·统考一模）某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），

从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按

获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（）

A．高二和高三年级获奖同学共80人B．获奖同学中金奖所占比例一定最低

C．获奖同学中金奖所占比例可能最高D．获金奖的同学可能都在高一年级

【答案】D

6

【详解】对选项A：高二和高三年级获奖同学共12012090，错误；

24

对选项B：不能确定银奖和铜奖的人数，错误；

4

对选项C：金奖人数为12020，银奖和铜奖的人数和为100人，

24

故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，错误；

对选项D：高一年级人数为30，金奖人数为20，故获金奖的同学可能都在高一年级，

正确；

故选：D

【变式2】（2023·海南海口·海南中学校考二模）某校高三年级有女生520名，男生480名，若用分层随机

抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为200的样本，则男生应抽取名.

【答案】96

【详解】由已知得女生与男生的比例为：52:48，

48

根据分层抽样的定义，男生应该抽取的人数为：20096（人）

100

故答案为：96.

【变式3】（2023·贵州毕节·统考模拟预测）某学校为了解教师身体健康情况，从高考学科和非高考学科教

师中采用分层抽样的方法抽取部分教师体检.已知该学校高考学科和非高考学科教师的比例是5：1，且被抽

到参加体检的教师中，高考学科教师比非高考学科教师多64人，则参加体检的人数是.

【答案】96

5nn

【详解】设参加体检的人数为n，则64，解得n96，所以参加体检的人数是96人.

66

故答案为：96.

题型03分层随机抽样的方案设计

【典例1】（2023下·全国·高一专题练习）某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的

总人数为12000人，分别来自4个城区，其中A区2400人，B区4600人，C区3800人，D区1200人，

从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．

【答案】采用分层抽样的方式抽取参加现场节目的观众，过程见解析

【详解】解：采用分层抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下：

第一步：分层．按城区分为四层：A区、B区、C区、D区．

第二步：确定每个个体被抽到的概率．样本容量n60，总体容量N12000，故每个个体被抽到的概率为

n601

．

N12000200

第三步：按比例确定每层抽取的个体数．

11

在A区抽取240012（人），在B区抽取460023（人），

200200

11

在C区抽取380019（人），在D区抽取12006（人）．

200200

第四步：在各层分别用简单随机抽样法抽取样本，将各区抽取的观众合在一起组成样本．

【典例2】（2023下·全国·高一专题练习）某中学举行了体育运动会，同时进行了全校精神文明擂台赛，为

了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别对全校500名教职工、3000名初中生、4000名高中生进行问

卷调查．

(1)如果要在所有问卷中抽出120份用于评估，请说明如何抽取才能得到比较客观的评估结论，并写出抽样

过程．

(2)要从3000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应选什么方法？请说

明理由．

【答案】(1)采取分层抽样的方法，过程见解析

(2)采用随机数法，理由见解析

【详解】（1）由于总体容量较大，这次活动对教职工、初中生、高中生产生的影响差异较大，故采取分层

抽样的方法进行抽样才能得到比较客观的评估结论．

因为样本容量为120，总体容量为500300040007500，

1202222

则抽样比为，5008，300048，400064，

7500125125125125

所以在教职工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64．

分层抽样的步骤如下：

①分层：分为教职工、初中生、高中生，共三层；

②确定每层抽取个体的个数：在教职工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64；

③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；

④综合每层抽取的个体，组成样本．

这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评估结论；

（2）简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．

若用抽签法，则要做3000个号签，费时费力，因此应采用随机数法抽取样本．

【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）学校要在高一年级450名同学中随机选取45人参加暑假的夏令营，

试完成以下工作：

(1)设计一个随机抽样方案；

(2)设计一个分层抽样方案，使得选取出男生23名，女生22名；

(3)如果全年级有9个班，设计一个分层抽样方案，使得各班随机选取5人．

【答案】(1)以全体学生的学籍号为编号，用计算机在450名学生的学籍号中随机抽取45个学籍号，这45

个学籍号对应的学生就是要抽取的对象；

(2)将总体450名同学分为男、女两部分，把所有男生进行编号，再进行简单随机抽样进行抽取23人，再把

所有女生进行编号，进行简单随机抽样抽取22人；

(3)将每班男女进行分层抽样，如果第i个班的人数为Mi，则5:Mi为抽取的比例数，按照此比例对男生和女

生进行抽取.

【详解】（1）以全体学生的学籍号为编号，用计算机在450名学生的学籍号中随机抽取45个学籍号，这

45个学籍号对应的学生就是要抽取的对象；

（2）将总体450名同学分为男、女两部分，把所有男生进行编号，再进行简单随机抽样进行抽取23人，

再把所有女生进行编号，进行简单随机抽样抽取22人；

（3）将每班男女进行分层抽样，如果第i个班的人数为Mi，则5:Mi为抽取的比例数，按照此比例对男生

和女生进行抽取.

【变式2】（2023下·全国·高一专题练习）A中学高一年级的500名同学中有218名女生，在调查全年级同

学的平均身高时，预备抽样调查50名同学.

(1)设计一个合理的分层抽样方案.

(2)你的设计中，第一层和第二层分别是什么？

(3)分层抽样是否在得到全年级同学平均身高的估计时，还分别得到了男生和女生的平均身高的估计？

【答案】(1)答案见解析.

(2)答案见解析.

(3)答案见解析.

【详解】（1）因为男生、女生身高有差异性，故按男生、女生在总人数中所占比例采取分层抽样.

218

因为500名同学中有218名女生，故女生抽取人数为5022人；

500

282

500名同学中有282名男生故男生抽取人数为5028人.

500

然后测量这50人的身高数据，从而得到50人的身高数据样本.

（2）第一层为总体500名学生中的所有女生的身高数据，第二层为总体500名学生中的所有男生的身高数

据.

（3）是的，可以用男、女生身高数据之和除以各自样本中的人数，得到男、女生平均身高的估计值.

题型04分层随机抽样的平均数

【典例1】（2022上·浙江杭州·高二学军中学校考期中）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生

200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值

（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30

(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少?

(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少?

【答案】(1)总样本的均值为171cm，总样本的方差为48cm2

(2)总样本的均值为170cm，总样本的方差为50cm2；

【详解】（1）男、女的样本量按比例分配，

300200

总样本的均值为175165171cm，

500500

（2）男、女的样本量都是25，

2525

总样本的均值为175165170cm，

5050

【典例2】（2020下·高一课时练习）高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，

通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.

（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这

种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.

（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体

学生的平均身高更合理？

【答案】（1）男生49人，女生51人，平均身高165.4cm（2）见解析

490510

【详解】（1）抽取男生人数为10049，抽取女生人数为10051.

490510490510

4951

高二年级全体学生的平均身高估计为170.2160.8165.406165.4（cm）.

100100

4951

（2）仍按（1）方式进行估计，即170.2160.8165.4（cm）.

100100

【变式1】（2023下·河南开封·高一河南省杞县高中校联考阶段练习）已知总体划分为3层，通过分层抽样，

得到各层的平均数分别为45，48，50，各层的样本容量分别为30，50，20,则估计总体平均数为.

95

【答案】/47.5

2

304548505020

【详解】总体平均数为47.5,

305020

故答案为：47.5

【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）某学校有高中生500人.其中男生320人，女生180人.为了获得

全体高中生身高的信息，按照分层随机抽样原则抽取样本，男生样本量为32，女生样本量为18，通过计算

得男生身高样本均值为173.5cm，方差为17，女生身高样本均值为163.83cm，方差为30.03，求所有数据的

样本均值.

【答案】170.02（cm），43.24

【详解】依题意，以样本估计总体，

3218

所有数据的样本均值为173.5163.83170.02（cm），

5050

题型05两种抽样方法的选取及综合应用

【典例1】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等

可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行

测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法

是（）

A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样

C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样

【答案】C

【详解】①乔木、灌木、草木，分类明显，可以采用分层随机抽样；

②并未有明显分层特点，且样本容量较小，可以采用简单随机抽样；

故选：C.

【典例2】（2023上·高一课时练习）现要完成下列3项抽样调查：

①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．

②某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从

全体学生中抽取100名学生进行调查．

③某中学共有320名教职工，其中教师240名，行政人员32名，后勤人员48名，为了了解教职工对学校

在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为40的样本．

较为合理的抽样方法的选择是（）

A．①简单随机抽样，②分层随机抽样，③分层随机抽样

B．①简单随机抽样，②分层随机抽样，③简单随机抽样

C．①分层随机抽样，②简单随机抽样，③分层随机抽样

D．①分层随机抽样，②抽签法，③简单随机抽样

【答案】A

【详解】①总体和样本量都很小，用简单随机抽样；

②③总体由差异明显的几部分构成，用分层随机抽样．

故答案为：A.

【典例3】（多选）（2022·高一课时练习）（多选）对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的有

（）

①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验；

②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90～110分，10人的成绩低于90

分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；

③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道．

A．①②适宜采用分层抽样B．②③适宜采用分层抽样

C．②适宜采用分层抽样D．③适宜采用简单随机抽样

【答案】CD

【详解】对于①，从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验，不满足分层抽样的条件，且样本

容量比较大，适合采用等距抽样；

对于②，总体由差异明显且互不重叠的几部分组成，若要从中抽取12人的成绩了解有关情况，适合采用分

层抽样的方法；

对于③，运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道，具有随机性，且样本容量小，适合用简单

随机抽样．故A，B错误.

故选：CD.

【变式1】（2023上·陕西榆林·高三陕西省子洲中学校考期中）某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150

个、120个、180个、150个销售点.为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为60

的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情

况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）

A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法

C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法

【答案】B

【详解】根据题意，第①项调查中，甲、乙、丙、丁四个地区情况不同，即总体中的个体差异较大，

符合分层抽样的概念与方法，应采用分层抽样的抽法进行抽取；

第②项调查中，从丙地区20个特大型销售点中抽7个，数量较小，且无差异，

可采用简单的随机抽样进行抽取.

故选：B.

【变式2】（2021上·高一课时练习）使用简单随机抽样从1000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的

抽样方法是（）

A．抽签法B．随机数表法

C．分层抽样法D．以上都不对

【答案】B

【详解】由于总体容量相对较大，且没有明显差异，样本容量较小，故采用随机数表法较为合适.

故选：B.

【变式3】（2022上·新疆·高三校考阶段练习）现要完成下列3项抽样调查：

①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．

②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，

需要请32名听众进行座谈．

③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学

校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．

较为合理的抽样方法是（）

A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样

D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

【答案】A

【详解】解；观察所给的四组数据，

①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，

②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编

号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，

③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，

观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来①简单随机抽样，②系统抽样，③分

层抽样．

故选：A．

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2024上·河南焦作·高一统考期末）已知某校高三有900名学生，为了解该年级学生的健康情况，从中

随机抽取100人进行调查，抽取的100人中有55名男生和45名女生，则样本容量是（）

A．45B．55C．100D．900

【答案】C

【分析】根据样本容量的定义得到答案.

【详解】因为抽取100人进行调查，所以样本容量是100.

故选：C

2．（2024上·陕西渭南·高一统考期末）渭南市教育局想了解全市所有学生对电影《长津湖之水门桥》的评

价，决定从全市所有学校中选取3所学校按学生人数用分层抽样的方法抽取一个样本，若3所学校学生人

数之比为2:3:4，且学生人数最少的一个学校抽出120人，则这个样本的容量为（）

A．560B．540C．450D．400

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出分层抽样的抽样比，再列式计算即得.

1202

【详解】设样本的容量为n，依题意，，解得n540，

n234

所以这个样本的容量为540.

故选：B

3．（2023下·陕西西安·高一期中）某班有50人，其中30名男生，20名女生，现调查平均身高，已知男、

女生身高明显不同，抽取一个容量样本为10的样本，则抽出的男、女生人数之差为（）

A．5B．4

C．3D．2

【答案】D

【分析】根据分层抽样的概念求出抽出的男、女生人数，进而求出答案.

3020

【详解】抽出的男生人数为106，女生人数为104，

30203020

故抽出的男、女生人数之差为642.

故选：D

4．（2024上·北京海淀·高一统考期末）某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创

店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知

在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（）

A．150人B．200人C．250人D．300人

【答案】A

【分析】根据各层的抽样比相同求解出结果.

1001

【详解】因为初中学生1000人抽取了100人，所以抽样比为，

100010

1

所以高中生抽取1500150人，

10

故选：A.

5．（2023上·全国·高三专题练习）某高中为了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入

大学的学生进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成如图所示的饼图．现从这些学生中抽出100人进

行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（）

A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大

B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应分别抽取30人和20人

C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理

D．该问题中的样本容量为100

【答案】A

【分析】由分层抽样的特点以及它的定义判断选项A、B、C,利用样本容量的定义判断选项D.

【详解】对于选项A，理学比工学抽取的人数多，但张三和李四作为一个个体被柚到的概率相等，

故张三与李四被抽到的可能性一样大，故A错误；

3020

对于选项B，理学专业应抽取的人数为10030，工学专业应抽取的人数为10020，故B正确；

100100

对于选项C，因为各专业差异比较大，所以采用分层抽样比简单随机抽样更合理，故C正确；

对于选项D，该问题中的样本容量为100，故D正确．

故选：A．

6．（2023上·山西·高二统考学业考试）某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比

为1:4:3:2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么

讲师应抽取的人数为（）

A．16B．12C．8D．4

【答案】B

【分析】根据分层抽样的比例关系计算得到答案.

3

【详解】根据分层抽样的方法，样本按比例分配，讲师应抽取的人数为4012，

1432

故选：B．

7．（2023下·江西景德镇·高一统考期中）在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都在家进行网上上课，某校高

一，高二，高三共有学生6000名，为了了解同学们对某授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这6000

名学生中抽取一个容量60的样本，若从高一，高二，高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则

该校高二年级的人数为（）

A．1000B．1500C．2000D．1000

【答案】C

【分析】根据分层抽样的性质，结合样本容量进行求解即可.

【详解】因为从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，

所以设高三抽取的人数为2a，则高二抽取的人数为2a2，高一抽取的人数为2a4，

因为样本容量为60，所以2a2a22a4602a22，

设我校高二年级的人数为x，

x222

根据分层抽样得：x2000，

600060

故选：C

8．（2021·高一课时练习）某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，

每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且a:b:c2:5:3，

1

全校参加登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一

4

个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取（）

A．15人B．30人C．40人D．45人

【答案】D

3

【分析】由题知全校参加跑步的人数为20001500，再根据分层抽样的方法求解即可得答案.

4

3

【详解】解：由题意，可知全校参加跑步的人数为20001500，

4

3

所以abc1500．因为a:b:c2:5:3，所以c1500450．

253

因为按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本，

200

所以应从高三年级参加跑步的学生中抽取的人数为45045．

2000

故选：D

二、多选题

9．（2020下·山东泰安·高一期末）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为

检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（）

A．应采用分层随机抽样抽取

B．应采用抽签法抽取

C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆

D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的

【答案】ACD

【分析】根据分层抽样逐项分析判断.

【详解】因为三种型号轿车的产量具有明显的差异性，所以应采用分层随机抽样抽取，故A正确；B错误；

又因为三种型号轿车的产量之比为1500:6000:20003:12:4，

3124

所以三种型号的轿车依次应抽取579辆，5736辆，5712辆，故C正

312431243124

确；

根据随机抽样可知：每个个体被抽到的可能性均等，即每一辆被抽到的概率都是相等的，故D正确；

故选：ACD.

10．（2021·高一课时练习）（多选）分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例从各层独

立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有

甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，

问各几何？”其译文为今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三人一起出关，关税共计100

钱，要按照各人带钱多少的比率进行交税，问三人各应付多少税？则（）

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