高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第02讲 向量的加法运算（解析版）

第02讲6.2.1向量的加法运算

课程标准学习目标

1通过阅读课本在数量加法的基础上，理解向量加法与

①理解并掌握向量加法的概念。数量加法的异同；

②掌握向量加法的三角形法则和平行四边2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形

形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个法则，并能熟练地运用这两个法则在题目中灵活的作两

向量的加法运算。个向量的加法运算；

③了解向量加法的交换律和结合律，并能作3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接

图解释向量加法运算律的合理性。加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律

的合理性，把运算律的应用范围进行拓广；

知识点01：向量的加法

（1）向量加法的定义

求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量a，我们规定

a00aa.

（2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）

已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作ABa,BCb,则向量AC叫做a与b的和,记作ab,即

abABBCAC.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

（3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）

已知两个不共线向量a,b,作OAa,OBb,以OA,OB为邻边作OACB,则以O为起点的向量

OC(OC是OACB的对角线)就是向量a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边

形法则.

rrr

【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc．

【答案】详见解析

【详解】解法一：（三角形法则），如下图所示，作AB=a，BC=b，

则ACab，再作CDc，则ADACCD=(ab)c，即ADabc.

解法二：（平行四边形法则）因为向量a，b，c不共线，

如下图所示，在平面内任取一点O，作OAa，OBb，

以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则对角线ODab，

再作OCc，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，则OEabc.

（4）多个向量相加

已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量

叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。如图ODOAABBCCD.

知识点02：向量加法的运算律

（1）交换律abba

（2）结合律(ab)ca(bc)

题型01求向量的和

【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a、b，用向量加法的三角形法则作出向量ab．

(1)(2)(3)

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【详解】（1）解：作OAa，ABb，abOAABOB，则OB即为所求作的向量.

（2）解：作OAa，ABb，abOAABOB，则OB即为所求作的向量.

（3）解：作OAa，ABb，abOAABOB，则OB即为所求作的向量.

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF.

【答案】CF

【详解】将CD平移到AF，EF平移到CB，

故BACDEFCBBAAFCAAFCF.

故答案为:CF.

【典例3】（2023下·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）如图，按下列要求作答．

(1)以A为始点，作出ab；

(2)以B为始点，作出cde；

(3)若图表中小正方形边长为1，求ab、cd．

【答案】(1)图见解析

(2)图见解析

(3)5，1

【详解】（1）将a,b的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出ab，如下图所示：

（2）先将共线向量c,d的起点同时平移到B点,计算出cd,再平移向量e与之首尾相接，利用三角形法则即

可作出cde，如下图所示：

（3）由a是单位向量可知a1，根据作出的向量利用勾股定理可知，

ab12225；

由共线向量的加法运算可知cdcc1.

【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）填空：

（1）ABBC；

【答案】AC

【详解】（1）ABBCAC；

故答案为：（1）AC；

【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a、b，用向量加法的平行四边形法则作出向量ab．

(1)(2)

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【详解】（1）解：作OAa，OBb，以OA、OB为邻边作OACB，abOAOBOC，

则OC即为所求作的向量.

（2）解：作OAa，OBb，以OA、OB为邻边作OACB，abOAOBOC，

则OC即为所求作的向量.

【变式3】（2022·高一课前预习）如图，已知a,b，求作ab.

(1)(2)

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【详解】（1）在平面内任取一点O，如图所示

作OAa,ABb,则OBab.

（2）在平面内任取一点A，如图所示

作ABa,BCb,则ACab.

题型02向量的加法运算

【典例1】（2022下·高一课时练习）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，

则OABCABDO等于（）

A．CDB．DC

C．DAD．DO

【答案】B

【详解】OABCABDODOOAABBCDC.

故选：B

【典例2】（2022·高一课时练习）已知下列各式：①ABBCCA；②(ABMB)BOOM；

③OAOCBOCO；④ABCABDDC.其中结果为0的是.(填序号)

【答案】/

uuuruuuruuruuuruurr

【详解】①④AB④B①CCAACCA0;

②(ABMB)BOOM(ABBO)(OMMB)AOOBAB0;

③OAOCBOCOOABOBA0;

④ABCABDDC(CAAB)(BDDC)CBBC0.

故答案为：①④.

【变式1】（2022下·浙江·高一阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则OAOCOE（）

A．0B．0C．AED．EA

【答案】A

【详解】连接OB.

由正六边形的性质，可知OAB与△OBC都是等边三角形，

OAABBCOC

∴四边形OABC是平行四边形，

OAOCOB，

OAOCOEOBOE0，

故选:A.

【变式2】（2022下·陕西宝鸡·高一统考期中）向量ABCBBDBEDC化简后等于（）

A．AEB．ACC．ADD．AB

【答案】A

【详解】由ABCBBDBEDCACCBBEAE,

故选：A

题型03向量加法的运用

【典例1】（2023下·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，

DADBDC，且DADCDB，则ABC．

【答案】120

【详解】因为DADCDB，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，

又因为DADBDC，所以四边形ABCD是菱形，

且DAB60，所以ABC120．

故答案为：120

uuuruuur

【典例2】（2023下·河南郑州·高一校考阶段练习）若AB8，AC5，则BC的取值范围是（）

A．3,8B．0,8C．3,13D．3,13

【答案】C

【详解】BCACAB，当AB，AC同向时，BC853；当AB，AC反向时，BC8513；

当AB，AC不共线时，3BC13；

故选：C.

【变式1】（2023·高一单元测试）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线

uuuruuuruuuruuur

上一点，DE//BC,AB//CF，连接CD，那么ABDF；ADFC.

【答案】ACAB

【详解】因为DE//BC,AB//CF，

所以四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：

uuuruuuruuuruuuruuur

ABDFABBCAC；

uuuruuuruuuruuuruuur

ADFCADDBAB.

故答案为：AC；AB.

【变式2】（2022下·广东湛江·高一校考阶段练习）已知菱形ABCD的边长为2，

(1)化简向量ADDCCB；

(2)求向量ABADCD的模.

【答案】(1)AB

(2)2

【详解】（1）ADDCCBACCBAB

（2）由向量的平行四边形法则与三角形法则，ABADCDACCDAD2

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：ABCABD（）

A．BCB．DCC．CDD．DA

【答案】C

【详解】ABCABDCAABBDCBBDCD.

故选：C.

2．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，AFFE（）

．．．．

AAEBBEC0DCF

【答案】A

【详解】由向量的加法法则，得AFFEAE.

故选：A.

3．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则OABCAB等于（）

A．CDB．OCC．DAD．CO

【答案】B

【详解】OABCABOAABBCOBBCOC,

故选：B

4．（2013下·山西晋中·高一统考期中）在四边形ABCD中，若ACABAD，则四边形ABCD是（）

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形

【答案】A

【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形ABCD为平行四边形.

故选：A

5．（2022下·云南·高一统考期末）如图，一个人骑自行车由A地出发到达B地，然后由B地出发到达C地，

则这个人由A地到C地位移的结果为（）

A．ABB．BCC．ACD．CA

【答案】C

【详解】由题意ABBCAC,

故这个人由A地到C地位移的结果为AC，

故选：C

6．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形ABCD中，AB2，BC1，则ABADAC等于（）

A．25B．23C．3D．4

【答案】A

【分析】在矩形ABCD中，由AB2，BC1可得AC5，

又因为ABADAC，故ABADAC2AC，故ABADAC25．

故选：A.

7．（2023·高一课时练习）a、b为非零向量，且abab，则（）

A．a与b方向相同B．abC．abD．a与b方向相反

【答案】A

【详解】由向量模长的三角不等式可得abab，当且仅当a、b的方向相同时，等号成立，

因为abab，所以a与b方向相同，

故选：A．

uuur

8．（2023下·甘肃天水·高一天水市第二中学校考阶段练习）在矩形ABCD中，设AB=4，BC2，则ABAD

的模为（）

A．25B．45C．12D．6

【答案】A

uuur

【详解】已知在矩形ABCD中，AB=4，BC2，

因为ABADABBCAC，

22

根据勾股定理ACABBC422225．，

所以ABAD的模为25.

故选：A.

二、多选题

9．（2022下·高一单元测试）下列结论中正确的是（）

A．000

B．对任一向量a，0//a

C．对于任意向量a,b，abba

D．对于任意向量a,b，ab0

【答案】BC

rrr

【详解】对A，000，故A不正确；

对B，根据零向量的方向是不确定的，则其和任何向量共线B正确；

对C，根据向量加法交换律，C正确；

对D，ab时，ab0，D不正确.

故选：BC.

10．（2022·高一课时练习）（多选）已知向量AB,BC,AC，那么下列命题中正确的有（）

A．AB+BC=ACB．ABBCAC

C．ABBCACD．ABBCAC

【答案】AD

【详解】解：由向量的加法法则可得：AB+BC=AC，故A正确，C错误；

当点B在线段AC上时，ABBCAC，否则ABBCAC,故B错误，D正确．

故选：AD.

三、填空题

11．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）化简AEEBBC.

【答案】AC

【详解】AEEBBCABBCAC.

故答案为：AC

12．（2023下·高一单元测试）若有以下命题：

①两个相等向量的模相等；②若a和b都是单位向量，则ab；

rrrrrr

③相等的两个向量一定是共线向量；④a//b，c//b，则a//c；

⑤零向量是唯一没有方向的向量；⑥两个非零向量的和可以是零．

其中正确的命题序号是．

【答案】①③

【详解】①长度相等，方向相同的向量为相等向量，故①正确；

②单位向量为长度为1的向量，方向不确定，故②错误；

③相等向量的方向相同，所以一定是共线向量，故③正确；

④若b0，则a和c不一定平行，故④错误；

⑤零向量的长度为0，方向为任意方向，即零向量有方向，故⑤错误；

⑥向量的和仍然是向量，不会是一个数，故⑥错误.

故答案为：①③.

13．（2021下·高一课时练习）已知OA3，OB3，AOB＝60，则OAOB等于．

【答案】33

【详解】如图，由|OA||OB|3，∴四边形OACB为菱形．

连接OC、AB，则OCAB，设垂足为D．

33

∵AOB＝60，AB|OA|3，∴在RtBDC中，CD．

2

33

∴OCOAOB233

2

故答案为：33

14．（2017上·山东济南·高三济南外国语学校阶段练习）如图，在菱形ABCD中，ABC120，AB2，

则BCDC．

【答案】23

【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O,BCDCADABAC．

因为ABC120，所以BAD60，

所以△ABD为等边三角形．

又ACBD，AB2，

所以OB1．

22

在Rt△AOB中，AOABOB3，

所以BCDCAC2AO23．

故答案为:23

四、解答题

15．（2023·全国·高一课堂例题）如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC

下端系着一个称盘，且使得OBOC，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.

【答案】分析答案见解析，OA受力最大

【详解】设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为a，b，c，则abc0.

因为a，b的合力为cab，所以cc.

如图在平行四边形OBCA中，

因为OBOC，BCOA，

所以OAOB，OAOC，即ab，ac.

故细绳OA受力最大.

16．（2022·高一课前预习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简

下列各式：

(1)DGEACB；

(2)EGCGDAEB