高一数学必修第一册同步学与练（人教A版）第03讲 单调性与最大（小）值（解析版）

第03讲3.2.1单调性与最大（小）值

课程标准学习目标

①理解单调函数的定义，理解增函数、

减函数、单调区间、单调性的定义．

②掌握定义法证明函数单调性的步骤．

③掌握函数单调区间的写法.通过本节课的学习，要求掌握函数单调性的证明，会求

④理解函数的最大(小)值的概念及其常用函数的单调区间，会利用函数的单调性求函数的最

几何意义.大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值.

⑤.会借助单调性求最值.

⑥掌握求二次函数在给定区间上的最

值．

知识点01：函数的单调性

1、增函数与减函数

1.1增函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1,x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，

那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).

1.2减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1,x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，

那么就称函数f(x)在区间D上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).

2、函数的单调性与单调区间

如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)

单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间．

3、常见函数的单调性

函数单调性

当k0时，f(x)在R上单调递增

一次函数f(x)kxb（k0）当k0时，f(x)在R上单调递减

当k0时，f(x)在(,0)和(0,)上单调递减

k当时，在和上单调递增

反比例函数f(x)（k0）k0f(x)(,0)(0,)

x

b

当a0时，f(x)在(,)上单调递减；

2a

b

在(,)上单调递增

二次函数f(x)ax2bxc（a0）2a

b

b当a0时，f(x)在(,)上单调递增；

对称轴为x2a

2a

b

在(,)上单调递减

2a

知识点02：函数单调性的判断与证明

1、定义法：一般用于证明，设函数f(x)，证明的单调区间为D

①取值：任取x1，x2D，且x1x2；

②作差：计算f(x1)f(x2)；

③变形：对f(x1)f(x2)进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要

需讨论参数；

④定号：通过变形，判断f(x1)f(x2)0或（f(x1)f(x2)0），如有必要需讨论参数；

⑤下结论：指出函数yf(x)在给定区间D上的单调性

2、图象法

一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.

3、性质法

（1）函数yf(x)在给定区间D上的单调性与yf(x)在给定区间D上的单调性相反；

（2）函数yf(x)在给定区间D上的单调性与yf(x)c的单调性相同；

（3）yf(x)和yg(x)的公共定义区间D，有如下结论；

yf(x)yg(x)yf(x)g(x)yf(x)g(x)

增增增不确定

增减不确定增

减减减不确定

减增不确定减

2

【即学即练1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知函数fx.

3x1

1

(1)判断函数fx在,上的单调性，并证明；

3

1

【答案】(1)函数fx在,上单调递减，理由见详解

3

1

【详解】（1）函数fx在,上单调递减；

3

理由如下：

1

取x1,x2,，规定x1x2；

3

22

则fx1fx2

3x113x21

23x123x1

21

3x113x21

6xx

21

3x113x21

1

因为x1,x2,，x1x2

3

所以3x110,3x210,x2x10

所以fx1fx20fx1fx2

1

所以函数fx在,上单调递减

3

知识点03：函数的最大（小）值

1、最大值：对于函数yf(x)，其定义域为I，如果存在实数M满足：

①xI，都有f(x)M

②x0I，使得f(x0)M

那么称M是函数yf(x)的最大值；

2、最小值：对于函数yf(x)，其定义域为I，如果存在实数m满足：

①xI，都有f(x)m

②x0I，使得f(x0)m

那么称m是函数yf(x)的最小值；

知识点四：复合函数的单调性（同增异减）

一般地，对于复合函数yf(g(x))，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函

数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数：

yf(g(x))：令：tg(x)和yf(t)

tg(x)yf(t)yf(g(x))

增增增

增减减

减增减

减减增

882

【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）当x0,,时，则函数y的值域为（）

5585x

1

A．,0B．,

4

11

C．,0,D．0,

44

【答案】C

88

【详解】令85xt，因为x0,,，所以t0,8,0，

55

21

当t0,8时，函数ft单调递减，故ftf8，

t4

2

当t,0时，即t0，所以ft0，

t

1

所以函数的值域为：,0,.

4

故选：C．

题型01定义法判断或证明函数单调性

【典例1】（2023·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（）

A．若fx为增函数，gx为增函数，则fxgx为增函数

B．若fx为减函数，gx为减函数，则fxgx为减函数

C．若fx为增函数，gx为减函数，则fxgx为增函数

D．若fx为减函数，gx为增函数，则fxgx为减函数

【答案】C

【详解】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变，

选项A,B正确；

选项D:gx为增函数，则gx为减函数，

fx为减函数，fx(gx)为减函数，选项D正确；

选选C:若fx为增函数，gx为减函数，

则fxgx的增减性不确定.

1

例如fxx2为R上的增函数，当gxx时，

2

x

fxgx2在R上为增函数；

2

当gx3x时，fxgx2x2在R上为减函数，

故不能确定fxgx的单调性.

故选:C

xb12

【典例2】（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数fx，且f2，f3．

xa45

(1)求函数fx的解析式；

(2)根据定义证明函数fx在2,上单调递增．

x1

【答案】(1)fx

x2

(2)证明见解析

2b1

f2

2a4a2

【详解】（1）由已知，解得，

3b2b1

f3

3a5

x1

fx；

x2

（2）任取x1x22，

x11x21x11x22x21x123x1x2

则fx1fx2，

x12x22x12x22x12x22

Qx1x22，

x120,x220,x1x20，

fx1fx20，即fx1fx2，

函数fx在2,上单调递增.

1

【变式1】（2023秋·高一课时练习）求证：函数fx在区间上是增函数.

1x1,

【答案】证明见解析

11xx

12

【详解】证明：任取1x1x2，fx1fx2.

1x11x21x11x2

又x1x20，1x10，1x20.

xx

12

∴0，则fx1fx20，即fx1fx2.

1x11x2

1

∴fx在区间1,上是增函数.

1x

x1

【变式2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考开学考试）设函数fx．

x1

（1）用定义证明函数fx在区间(1,)上是单调减函数；

【答案】（1）见解析；

x11x212x2x1

【详解】（1）任取1x1x2，因为f(x1)fx2

x11x21x11x21

1x1x2

x110,x210,x2x10

f(x1)fx20fx1fx2

f(x)在(1,)上是单调减函数

xa

【变式3】（2023·全国·高一专题练习）求证：函数f(x)(a1)在区间1，上是减函数．

x1

【答案】证明见解析

，

【详解】设x1,x21，且x1x2，

x1ax2a1ax1x2

则fx1fx2,

x11x21x11x21

，

x1,x21，且x1x2，

x110,x210,x1x20又a1，

1a0,

1ax1x2

0,即fx1fx20

x11x21

fx1fx2，

故函数fx在区间1，是减函数.

题型02求函数单调区间

【典例1】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）函数fxx21的单调递增区间是（）

A．,3B．0,

C．3,3D．3,

【答案】B

【详解】由fxx21知，函数为开口向上，对称轴为x0的二次函数，则单调递增区间是0,.

故选：B.

6

【典例2】（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）函数y的减区间是（）

x

A．[0,)B．(,0]

C．(,0)，(0,)D．(,0)(0,)

【答案】C

【详解】由图象知单调减区间为(,0)，(0,)

故选：C.

【变式1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图是函数yfx的图象，则函数fx的

减区间是（）

A．1,0B．1,C．1,01,D．1,0,1,

【答案】D

【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数fx的图

象在1,0，1,上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为1,0，1,，

故选：D．

题型03复合函数单调区间

【典例1】（2023·高一课时练习）函数f(x)32xx2的单调递增区间是（）

A．-，1B．1，C．1,3D．1,1

【答案】D

【详解】函数f(x)32xx2的定义域需要满足32xx20，解得f(x)定义域为1，3，

2

因为y32xx在1，1上单调递增，所以f(x)32xx2在1，1上单调递增，

故选：D.

【典例2】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数f(x)x24|x|3的单调递减区间是（）

A．(,2)B．(,2)和(0,2)

C．(2,2)D．(2,0)和(2,)

【答案】B

x24x3,x0

【详解】2，

fxx4x32

x4x3,x0

2

则由二次函数的性质知，当x0时，yx24x3x21的单调递减区间为0,2；

2

当x0，yx24x3x21的单调递减区间为,2，

故fx的单调递减区间是(,2)和(0,2).

故选：B

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)x2x的单调递减区间是（）

A．[1,2]B．[1,0]C．(0,2]D．[2,)

【答案】A

【详解】当x2时，f(x)x22x，则函数f(x)在(,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，

当x2时，f(x)x22x，则函数f(x)在(2,)上单调递增，

所以函数f(x)x2x的单调递减区间是[1,2].

故选：A

题型04根据函数的单调性求参数

【典例1】（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若函数f(x)2x2mx1在区间(1,)上是增函数，

则实数m的取值范围是______

【答案】[4,)

m

【详解】二次函数f(x)2x2mx1的图像开口向上，单调增区间为,，

4

又函数f(x)2x2mx1在区间(1,)上是增函数，

m

则1，解之得m4，则实数m的取值范围是[4,)

4

故答案为：[4,)

x2+2ax+5,x<1

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=a在区间,上是减函数，则

,x1

x

整数a的取值可以为（）

A．2B．2C．0D．1

【答案】A

a1

【详解】解：由题意可得a<0，解得2a1，

1+2a+5a

∴整数a的取值可以为2.

故选：A

【变式1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知y(a1)x5在R上是增函数，则a的取值范

围是________．

【答案】1,

【详解】由于y(a1)x5在R上是增函数，

所以a10,a1，

所以a的取值范围是1,.

故答案为：1,

【变式2】（2023·全国·高一专题练习）“a3”是“函数fxxa在区间3,上为减函数”的

（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】fxxa的图象如图所示，

要想函数fxxa在区间3,上为减函数，必须满足a3，

因为3是aa3的子集，

所以“a3”是“函数fxxa在区间3,上为减函数”的充分不必要条件.

故选：A

题型05根据函数的单调性解不等式

【典例1】（2023秋·高一课时练习）已知函数yfx是定义在R上的增函数，且f1afa3，

则a的取值范围是（）

A．2,B．(2，3)

C．(1，2)D．(1，3)

【答案】A

【详解】∵yfx是定义在R上的增函数，且f1afa3，

∴1aa3，解得a2，则a的取值范围为2,．

故选：A．

【典例2】（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）已知函数yfx在定义域1,3上

是减函数，且f2a1f2a，则实数a的取值范围是（）

A．1,2B．,1C．0,2D．1,

【答案】A

【详解】因为函数yfx在定义域1,3上是减函数，且f2a1f2a，

12a13

则有12a3，

2a12a

解得1a2，所以实数a的取值范围是1,2.

故选：A．

m

【典例3】（2023秋·云南保山·高一统考期末）已知定义在0,上的函数fx,满足ffmfn,

n

且当x1时,fx0.

(1)讨论函数fx的单调性,并说明理由;

(2)若f21,解不等式fx3f3x3.

【答案】(1)fx在0,上单调递增,理由见解析

3

(2)0,

23

【详解】（1）解:fx在0,上单调递增,理由如下:

因为fx定义域为0,,

x

2

不妨取任意x1,x20,,且x1x2,则1,

x1

x2

由题意ffx2fx10,即fx2fx1,

x1

所以fx在0,上单调递增.

mnm

（2）因为m,n0,令m,由ffmfn可得:

nn

mn

fmffmnfn,

n

即fmnfmfn,

由f21,可得f4f2f22,

令m4,n2,

则f8f4f23,

所以不等式fx3f3x3,

x3

即fx3f3xf8,即ff8,

3x

由(1)可知fx在定义域内单调递增,

3x0

3

所以只需x30,解得0x,

23

x3

8

3x

3

所以不等式fx3f3x3的解集为0,.

23

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3)>f(－m)，则实数m的

取值范围是（）

A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)

【答案】D

【详解】因为函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3)>f(－m)，

所以2m3m，得m1，

所以实数m的取值范围是(－∞，1)，

故选：D

【变式2】（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数yfx是定义在4,4上的减函数，且fa1f2a，

则a的取值范围是______．

【答案】1,2

【详解】函数yfx是定义在4,4上的减函数，且fa1f2a，

∴4a12a4，解得1a2．

故答案为：1,2

题型06根据单调性（图象）求最值或值域

【典例1】（多选）（2023秋·云南怒江·高一校考期末）已知函数yfx的定义域为1,5，其图象如

图所示，则下列说法中正确的是（）

A．fx的单调递减区间为0,2

B．fx的最大值为3

C．fx的最小值为1

D．fx的单调递增区间为1,02,5

【答案】ABC

【详解】对于A，由图象可知：fx的单调递减区间为0,2，A正确；

对于，当时，，正确；

Bx0fxmax3B

对于，当时，，正确；

Cx2fxmin1C

对于D，由图象可知：fx的单调递增区间为1,0和2,5，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D

错误.

故选：ABC.

axb12

【典例2】（2023春·重庆·高二统考阶段练习）函数f(x)是定义在,上的奇函数，且f()．

x2125

（1）求实数a，b，并确定函数f(x)的解析式；

（2）判断f(x)在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论；

（3）写出f(x)的单调减区间，并判断f(x)有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不

需要说明理由）

x1

【答案】（1）f(x)（2）见解析（3）单调减区间为,1,1,x=-1时，y，当x=1

x21min2

1

时，y．

min2

【详解】（1）f(x)是奇函数，f(x)f(x)．

axbaxb

即，axbaxb，b0

x21x21

1

a

ax122x

f(x)，又f()，2，a1，f(x)

212

x12515x1

4

（2）任取x1,x2(1,1)，且x1x2，

xx(xx)(1xx)

121212

f(x1)f(x2)2222

x11x21(x11)(x21)

1x1x21,1x1x21,x1x20，1x1x20

22

x110，x210，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，

f(x)在（-1，1）上是增函数．

（3）单调减区间为,1,1,

1

当x=-1时，y，当x=1时，.

min2

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）设fx对任意的x,yR有fxyfxfy，且当x0时，

fx0.

(1)求证fx是R上的减函数；

2

(2)若f1，求fx在3,3上的最大值与最小值.

3

【答案】(1)证明见解析；

(2)fxmax2,fxmin2.

【详解】（1）令xy0，则有f00f0f0f00，

令yx，则f(0)f(x)f(x)0f(x)f(x)，

设x1,x2R且x1x2，则fx2x1fx2fx1fx2fx1，

因为x0时fx0，所以fx2fx10，

所以fx是R上的减函数.

（2）由（1）：fx是R上的减函数，所以fx在3,3上单调递减，

又f3f2f1f1f1f13f12，f3f32，

所以

fxmaxf(3)2,fxminf(3)2.

mx1

【变式2】（2023秋·高一单元测试）已知函数f(x)是R上的偶函数

1x2

(1)求实数m的值，判断函数f(x)在[0,)上的单调性；

(2)求函数f(x)在[3,2]上的最大值和最小值．

【答案】(1)m0，单调递增

1

(2)最小值，最大值1

10

mx1

【详解】（1）若函数f(x)是R上的偶函数，则f(x)f(x)，

1x2

m(x)1mx1

即，解得m0，

1(x)21x2

1

所以f(x)，

1x2

函数f(x)在0,上单调递减．

（2）由（1）知函数f(x)在0,上单调递减，

又函数f(x)是R上的偶函数，

所以函数f(x)在(,0]上为增函数，

所以函数f(x)在[3,0]上为增函数，在[0,2]上为减函数．

11

又f3,f01,f2

105

1

所以f(x)f(3),f(x)f(0)1

min10max

题型07根据函数的最值（值域）求参数

3

【典例1】（2023·全国·高一专题练习）函数yaxx0在xm时有最大值为3，则am的值

x

为（）

A．43B．33C．23D．3

【答案】C

333

【详解】解：因为x0时，x2x23，当且仅当x，即x3时取“”，

xxx

33

所以函数yaxaxa233，解得a33，m3，

xx

所以am33323．

故选：C．

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)x24x8,x[1,a]，它的最大值为f(a)，则实数a

的取值范围是（）

A．(1,2]B．(1,3)C．(3,)D．[3,)

【答案】D

【详解】由题意，函数f(x)x24x8表示开口向上，且对称轴为x2的抛物线，

要使得当x[1,a]，函数的最大值为f(a)，则满足a212且a1，

解得a3，所以实数a的取值范围是[3,).

故选D.

1ax,xa,

【典例3】（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数fx2若fx存在最小值，

x4x3,xa.

则a的取值范围为（）

A．2,2B．0,2

C．2,22,D．0,22,

【答案】B

1,x0,

【详解】若a0时，fx2，fxf21；

x4x3,x0.min

若a<0时，当xa时，fx1ax单调递增，当x时，fx，故fx没有最小值；

1,0a2

若时，xa时，单调递减，2，当时，，

a0fxax1fxfa1axafxmin2

a4a3,a2

1a211a2a24a3

若函数fx有最小值，需或，解得0a2.

0a2a2

故选：B

2x1

【典例4】（2023·全国·高一专题练习）已知f(x)

x2

(1)根据单调性的定义证明函数f(x)在区间(2,)上是减函数

2x1

(2)若函数g(x),x[3,a]（a3）的最大值与最小值之差为1，求实数a的值

x2

【答案】(1)证明见解析

13

(2)a

4

【详解】（1）x1,x22,且x1x2，

2x112x215(x2x1)

则f(x1)f(x2)，

x12x22(x12)(x22)

因为x1,x22,，所以x120,x220，

又因为x1x2，所以x2x10，

因此f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2)，

所以f(x)在(2,)是减函数；

（2）由（1）可知，g(x)是减函数，

所以x3时，g(x)取得最大值为g(3)7，

2a1

xa时，g(x)取得最小值为g(a)，

a2

因为最大值与最小值之差为1，

2a113

所以71，解得a.

a24

xa,x0,

【变式1】（2023·上海·高三专题练习）设f(x){1若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围

x,x0,

x

是.

【答案】(,2]

【详解】由题意，当x0时，f(x)的极小值为f(1)2，当x0时，f(x)极小值为f(0)a，f(0)是f(x)的

最小值，则a2.

【变式1】（2023秋·江西宜春·高一校考期末）已知函数fxx22ax1a.

(1)若函数fx在区间0,3上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若fx在区间0,1上有最大值3，求实数a的值.

【答案】(1)3,；

(2)2或3.

【详解】（1）fxx22ax1a的对称轴xa，要满足题意，只需a3，

故实数a的取值范围为3,.

（2）当a0时，fx在0,1单调递减，则fx在0,1上的最大值为f01a，

令f03，解得a2；

当0a1时，fx在0,a单调递增，在a,1单调递减，

则fx在0,1上的最大值为faa2a1，令fa3，解得a1或a2，

都不满足0a1，故舍去；

当a1时，fx在0,1单调递增，则fx在0,1上的最大值为f1a，

令f13，解得a3；

综上所述，a2或3.

题型08二次函数最值问题（含参）

【典例1】（2023·高一课时练习）已知函数yf(x)的表达式f(x)x22x3，若x[t,t2]，求函数f(x)

的最值．

【答案】答案见解析

【详解】解：函数f(x)x22x3的图像的对称轴为直线x1．

22

①当1t2，即t1时，f(x)maxf(t)t2t3，f(x)minf(t2)t2t3；

tt2

②当1t2，即1t0时，f(x)f(t)t22t3，f(x)f(1)4；

2maxmin

tt2

③当t1，即0t1时，f(x)f(t2)t22t3，f(x)f(1)4；

2maxmin

22

④当1t，即t1时，f(x)maxf(t2)t2t3，f(x)minf(t)t2t3．

t22t3,t1

t22t3,t0

∴，

fxmax2fxmin4,1t1.

t2t3,t02

t2t3,t1

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数yfx满足f03，且fx1fx2x1．

(1)求fx的解析式；

(2)求函数在区间2,t，t2上的最大值gt．

【答案】(1)fxx22x3

11,2t4

(2)gt2

t2t3,t4

2

【详解】（1）设fxax2bxca0，则fx1ax1bx1ca0，

因为fx1fx2x1，

所以fx1fx2axab2x1，

2a2a1

故，解得：，

ab1b2

又f03

所以f0c3，

所以fxx22x3；

2

（2）由（1）得fxx22x3x12，图象开口向上，对称轴为x1．

①当2t4时，t121，

2

所以此时函数的最大值为gtf221211；

②当t4时，t121，

所以此时函数的最大值为gtftt22t3；

11,2t4

综上：gt2．

t2t3,t4

【变式1】（2022秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知函数f(x)x22ax3（a0）的最小值为–1．

(1)求实数a的值；

(2)当x[t,t1]，tR时，求函数f(x)的最小值．

【答案】(1)2

(2)答案详见解析

【详解】（1）∵函数f(x)x22ax3，

∴函数f(x)的图象开口向上，对称轴为直线xa．

2

∴f(x)minf(a)(a)2a(a)31，解得a2或a2（舍）．

∴实数a的值为2．

（2）由（1）知函数f(x)x24x3的图象开口向上，对称轴为直线x2．

①当t12，即t£-3时，函数f(x)在区间[t,t1]上为减函数，

2

∴f(x)minf(t1)t6t8；

②当t2时，函数f(x)在区间[t,t1]上为增函数，

2

∴f(x)minf(t)t4t3；

③当t2t1，即3t2时，易知f(x)minf(2)1．

2

综上，当t£-3时，f(x)mint6t8；

当3t2时，f(x)min1；

2

当t2时，f(x)mint4t3．

【变式2】（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）已知函数f(x)x2ax3，求函数在区间[1,1]上的最

小值g(a).

4a,a2

a2

【答案】g(a)3,(2a2).

4

4a,a2

aa2

【详解】f(x)x2ax3(x)23，

24

a

（1）当1，即a2时，g(a)f(x)f(1)4a，

2min

aaa2

（2）当11，即2a2时，g