2024年领军高考数学二轮复习专题12函数模型及其应用考点必练理

PAGEPAGE1考点12函数模型及其应用1．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，图X2­14­1描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是()图X2­14­1A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5kmB．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗10L汽油D．某城市机动车最高限速80km/h.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D2．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元【答案】C【解析】设在A地销售x辆汽车，则在B地销售(16－x)辆汽车，∴总利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,2)))2＋0.1×eq\f(212,4)＋32.∵x∈[0,16]，且x∈N，∴当x＝10或11时，总利润ymax＝43(万元)．3．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断削减，已知p与时间t(单位：小时)满意p(t)＝p02－eq\f(t,30)，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的改变率是－10ln2，则p(60)＝()A．150毫克/升 B．300毫克/升C．150ln2毫克/升 D．300ln2毫克/升【答案】C4．24的材料设计一场地，场地为矩形，且中间用该材料加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3 B．4C．6 D．12【答案】A【解析】隔墙的长为x(0<x<6)，矩形面积为y，则y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，y最大．5．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即实惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A．118元B．105元C．106元D．108元【答案】D【解析】设进货价为a元，由题意，知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108.故选D.6．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费肯定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业须要更新设备的年数为()A．10B．11C．13D．21【答案】A【解析】设该企业须要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝eq\f(100＋0.5x＋xx＋1,x)＝x＋eq\f(100,x)＋1.5.由基本不等式，得y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，当且仅当x＝eq\f(100,x)，即x＝10时取等号．故选A.13．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点动身向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：①当x>1时，甲走在最前面；②当x>1时，乙走在最前面；③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最终面；④丙不行能走在最前面，也不行能走在最终面；⑤假如它们始终运动下去，最终走在最前面的是甲．其中正确结论的序号为________．【答案】③④⑤14．个人每次取得的稿费定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额．每次收入不超过4000元的，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：(1)每次收入不超过4000元的，应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)；(2)每次收入在4000元以上的，应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．【答案】2800【解析】由题可知，当纳税280元时，代入第一个计算公式中，可得280＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)，此时每次收入额为2800元，因为2800<4000，所以满意题意．而代入到其次个计算公式中，得到280＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)，此时每次收入额为2500元，因为2500<4000，所以不满意题意，舍去．15．某市用37辆汽车往灾区运输一批救灾物资，假设以vkm/h的速度直达灾区，已知某市到灾区马路途长400km，为了平安起见，两辆汽车的间距不得小于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h(车身长度不计)．【答案】12【解析】设全部物资到达灾区所需时间为th，由题意可知，t相当于最终一辆行驶了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2＋400))km所用的时间，因此，t＝eq\f(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2＋400,v)≥12，当且仅当eq\f(36v,400)＝eq\f(400,v)，即v＝eq\f(200,3)时取等号．故这些汽车以eq\f(200,3)km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12h.16．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．【答案】4017．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则赐予实惠：每多1人，机票每张削减10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【答案】见解析【解析】(1)设旅行团人数为x，由题，得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900,0＜x≤30，,900－10x－30，30＜x≤75，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900,0＜x≤30，,1200－10x,30＜x≤75.))(2)设旅行社获利S元，则S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000,0＜x≤30，,x1200－10x－15000,30＜x≤75，))即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000,0＜x≤30，,－10x－602＋21000,30＜x≤75.))因为S＝900x－15000在区间(0,30]上单调递增，故当x＝30时，S取最大值12000元，又S＝－10(x－60)2＋21000在区间(30,75]上，当x＝60时，取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．20．如图X2­14­4，O，P，Q三地有直道相通，OP＝3千米，PQ＝4千米，OQ＝5千米．现甲、乙两警员同时从O地动身匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米)．甲的路途是OQ，速度为5千米/时，乙的路途是OPQ，速度为8千米/时．乙到达Q地后原地等待．设t＝t1时，乙到达P地，t＝t2时，乙到达Q地．(1)求t1与f(t1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤t2时，求f(t)的表达式，并推断f(t)在[t1，t2]上的最大值是否超过3，说明理由．图X2­14­4【答案】eq\f(3\r(41),8)3所以f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(25t2－42t＋18)，\f(3,8)≤t≤\f(7,8)，,5－5t，\f(7,8)<t≤1.))所以当eq\f(3,8)≤t≤1时，f(t)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(41),8)))，故f(t)的最大值不超过3.21．某校学生社团心理学探讨小组在对学生上课留意力集中状况的调查探讨中，发觉其留意力指数p与听课时间t之间的关系满意如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0，且a≠1)图象的一部分．依据专家探讨，当留意力指数p大于等于80时听课效果最佳．(1)试求p＝f(t)的函数关系式；(2)老师在什么时段内支配核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．【答案】(1)p＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)t－122＋82，t∈0，14]，,logt－5＋83，t∈14，40].))(2)p＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)t－12