2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义练习含解析新人教A版必修4

PAGE1-第19课时向量数乘运算及其几何意义对应学生用书P55学问点一向量数乘运算的概念及运算律1．已知λ∈R，则下列结论正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|·aC．|λa|＝|λ|·|a|D．|λa|>0答案C解析当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C．2．若a，b为已知向量，且eq\f(2,3)(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________．答案eq\f(12,13)b－eq\f(8,39)a解析∵eq\f(2,3)(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，∴eq\f(8,3)a－2c＋15c－12b＝0，∴13c＝12b－eq\f(8,3)a，∴c＝eq\f(12,13)b－eq\f(8,39)a．3．化简下列各式：(1)3(2a－b)－2(4a－2b)；(2)eq\f(1,3)(4a＋3b)－eq\f(1,2)(3a－b)－eq\f(3,2)b；(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．解(1)原式＝6a－3b－(8a－4b)＝－2a＋b．(2)原式＝eq\f(4,3)a＋b－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(3,2)b＝－eq\f(1,6)a．(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝－11b＋11c．学问点二向量的数乘运算4．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ＝()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,4)答案B解析由eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，得eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝2(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))⇒eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3)．5．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB．假如eq\o(OA,\s\up6(→))＝3e1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3e2，那么eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．e1＋2e2B．2e1＋e2C．eq\f(2,3)e1＋eq\f(1,3)e2D．eq\f(1,3)e1＋eq\f(2,3)e2答案A解析如图所示，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝e1＋2e2，应选A．6．已知点C在线段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(1,2)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝____eq\o(AB,\s\up6(→))．答案eq\f(1,3)解析如图，因为eq\f(AC,CB)＝eq\f(1,2)，且点C在线段AB上，则eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))同向，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(CB,\s\up6(→))|，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))．7．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up6(→))．解因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,3)a．学问点三共线问题8．设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？解d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ．故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ．9．已知：eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))，且B，C，D，E不共线．求证：BC∥DE．证明∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))－3eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))．∴eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(DE,\s\up6(→))共线．又∵B，C，D，E不共线．∴BC∥DE．对应学生用书P56一、选择题1．给出下面四个结论：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb(m∈R)，则a＝b；④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n．其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4答案C解析①和②属于向量数乘运算的安排律，正确；③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不肯定相等，故③不正确；④正确，因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又因为a≠0，所以m－n＝0，即m＝n．2．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，肯定能使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满意x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b．A．①②B．①③C．②D．③④答案A解析由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不肯定共线，故③不行；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不行．3．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于()A．eq\f(r,R)B．－eq\f(r,R)C．－eq\f(R,r)D．eq\f(R,r)答案C解析∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|．又a与b反向，∴λ＝－eq\f(R,r)．4．已知P是△ABC所在平面内一点，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，则点P肯定在()A．△ABC的内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上答案B解析因为eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))⇔eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))⇔eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，所以点P在AC边所在的直线上，故选B．5．已知O是平面内肯定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹肯定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案B解析eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)为eq\o(AB,\s\up6(→))上的单位向量，eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)为eq\o(AC,\s\up6(→))上的单位向量，则eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)的方向为∠BAC的角平分线eq\o(AD,\s\up6(→))的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))的方向与eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)的方向相同，而eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，∴点P在eq\o(AD,\s\up6(→))上移动．∴点P的轨迹肯定通过△ABC的内心，故选B．二、填空题6．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为________．答案1解析由于c与d同向，所以可设c＝kd(k>0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b．由于a，b不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－eq\f(1,2)．又k>0，所以λ>0，故λ＝1．7．已知两个不共线向量e1，e2，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋λe2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋4e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________．答案－eq\f(3,5)解析由eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋4e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－7e2，得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝5e1－3e2，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋λe2，且A，B，D三点共线，所以存在实数μ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝μeq\o(BD,\s\up6(→))，即e1＋λe2＝μ(5e1－3e2)，又e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5μ＝1，,－3μ＝λ，))所以λ＝－eq\f(3,5)．8．在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝e2，eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝________．(用e1，e2表示)答案－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2解析∵eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)e2，∴eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)e2．∵eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2－e1，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(e2－e1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(e2－e1)－eq\f(1,4)e2＝－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2．三、解答题9．(1)化简下列各式：①2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；②eq\f(1,6)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n．解(1)①原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b；②原式＝eq\f(1,6)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq\f(1,6)(－12a＋24b)＝－2a＋4b．(2)把已知中的两个等式看作关于m，n的方程，联立得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋2n＝a，,m