大题13+振动、波动与几何光学（解析版）

1大题13振动、波动与几何光学2025年高考对“振动、波动和几何光学”的考查将延续“重基础、强综合、拓创新”的命题导向，突出物理观念的系统性与实际问题的模型转化能力。做到“以波为媒，以光为眼”。建议多关注：如引力波探测的波三角函数描述简谐运动、几何相似三角形解光路问题、波动）；例1.(2023广东茂名二模)一列简谐横波沿着x的正方向传播，t＝0时刻波源从坐标原点处开始振动。如图甲所示是波在t＝0.6s时的部分波动图像，如图乙所示是这列波上x＝1.4m处的质点的振动图像(t＝0.7s开始振动)，求：(1)波的振动周期以及波源的振动方程；(2)t＝1.5s时间内，x＝0.6m处的质点的路程。解析(1)x＝1.4m处的质点t＝0.7s开始振动，可知波速为由图甲可得m，解得λ=0.8m，波的振动周期为s，由图乙可知波源起振方向向下，振幅为30cm，所以波源振动方程为例2.（2024河南开封模拟）一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的部分波形图如图甲所示，P是平衡位置在x＝1.2m处的质点，Q是平衡位置在x＝4m处的质点，质点Q的振动图像如图乙所示。求：（1）该波的波速v；（2）从t＝0时刻起到质点P第三次位于波峰位置所用的时间。答案（1）4m/s（2）5.8s解析（1）根据题图甲可知此波的波长λ=8m根据题图乙可知此波的周期T＝2s该波的波速为（2）波沿x轴正方向传播，t＝0时刻质点P左侧最近的波峰的平衡位置为x16m从t＝0时刻起到质点P第一次位于波峰位置所用的时间为t1=质点P第三次位于波峰位置时对应的时刻为t＝t1＋2T31.（2024广西柳州二模）如图甲所示，太空舱内的弹簧振子沿y轴自由振动，沿x轴方向有一轻质长绳与弹簧振子相连。弹簧振子振动后，长绳某时刻（记为t＝0时刻）形成的波形如图乙中实线所示，虚线为t＝0.3s时刻长绳的波形。P点为x＝1.5m处的质点。已知弹簧振子周期T的大小满足T＜0.3s＜2T，求：（1）长绳波的波速大小；（2）质点P的振动方程。答案（1）25m/s（2）y＝0.2cosπt（m）解析（1）由题意知，波传播的时间间隔T<Δt＝0.3s＜2T设波沿x轴正向传播的距离为Δx，则有由波的图像得λ=6m结合波的图像可得Δx＝7.5m故由v=解得长绳波的波速v＝25m/s。得圆频率ω==πrad/s设质点P的振动方程为y＝Acosωt由图乙得振幅A＝0.2m题型二波传播的周期性和多解性问题例3.如图为一列简谐横波的波形图，实线是某时刻的波形图，虚线是经过1s后的波形图，已知波的周期T>0.5s。(1)若波沿x轴负方向传播，求该列波1s传播的距离；(2)若波沿x轴正方向传播，求波速。解析(1)若波沿x轴负方向传播，由图可知λ=4m周期关系为而T>0.5s，所以n只能取n＝0或n＝1所以当n＝0时波传播的距离m波传播的距离m。(2)若波沿x轴正方向传播，周期关系则有 根据v=Ts时，波速为v1＝1m/s5例4.(2023广东潮州市教学质检)一列横波在x轴上传播，a、b是x轴上相距sab=6m的两质点，t＝0时，b点正好到达最高点，且b点到x轴的距离为4cm，而此时a点恰好经过平衡位置向上运动。已知这列波的频率为25Hz。(1)求经过时间1s，a质点运动的路程；(2)若a、b在x轴上的距离大于一个波长，求该波的波速。答案(1)4m(2)若波由a传向若波由b传向2，3，…)解析(1)由题意知A＝0.04m，sa点一个周期运动的路程为s0＝4A＝0.16m(2)若波由a传向b，有λ波速为v=λf＝m/s(n＝1，2，3…)若波由b传向a，有波速为v=λf＝m/s(n＝1，2，3…)。2．一列沿x轴传播的简谐横波，在t＝0.2s时刻的波形如图12实线所示，在t1＝0.4s时刻的波形如图虚线所示。在t到t1时间内，x＝2m处的P质点运动的路程为s，且0.2m＜s＜0.4m。试求：(1)波的传播的方向和传播速度的大小；(2)P质点第二次出现波谷的时刻。答案(1)沿x轴负方向传播，v＝10m/s解析(1)由题图可知，波长λ=3m，振幅A＝0.1m0．2m<s<0.4m知2A<s<4A121Δt时间内波传播的距离为Δx根据图像可知，若沿x轴正方向传播，则(nλ+1)m(n＝0、1、2、3、…)，n无解若沿x轴负方向传播，则(nλ+2)m(n＝0、1、2、3、…)，n＝0符合由上述可知，这列波一定沿x轴负方向传播且m得v＝10m/s。(2)根据实线图像可知，P质点第二次出现波谷时，波向负方向传播了Δx＝3.25m故P质点第二次出现波谷的时刻为0.525s。例5.(2023广东重点中学联考)如图所示为一个玻璃砖的截面图，AB是半圆的直径，O是圆心，也是AB与ED的交点，ABGF是直角梯形，ED⊥BC，∠F=∠G＝90°,∠ABC＝30°,半圆的半径为R，AF＝2R.有一束细光束从半圆面的E点处入射，入射角是θ=60°,已知该玻璃砖的折射率n＝-\，光在真空中的速度为c.(1)光线第一次从玻璃砖射出时与玻璃砖的夹角是多少？(2)光从入射到第一次射出玻璃砖，在玻璃砖中传播的时间是多少？5Rc解析(1)作出光线经过玻璃砖的折射和反射光路图如图所示由几何关系可得出射光线与法线的夹角θ2＝60°光线第一次从玻璃砖射出时与玻璃砖的夹角θ3＝30°(2)由几何关系可得CF＝AF－AC＝R光从入射到第一次出射，在玻璃砖中传播的路程光在玻璃砖中传播的速度v＝n＝3光从入射到第一次出射，在玻璃砖中传播的时间8s5Rt=s5R例6.(2024山东德州模拟)某物理学习兴趣小组成员小张找到了一个LED灯和一段光导纤维进行研究。查阅资料发现，LED灯是一块用环氧树脂密封的发光半导体材料。光导纤维由内芯和外套两层组成，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射。(1)有一LED灯结构如图甲所示，发光区域为直径3mm(M、N之间)的圆盘(厚度不计)，发光面上覆盖折射率n＝1.6的半球形环氧树脂，发光圆盘的圆心与球心重合。要使发光区域发出的所有光线在球面上都不发生全反射，求环氧树脂半径R满足的条件；(2)一段长直光导纤维由内芯和外套组成，其剖面如图乙所示，其中内芯的折射率n1＝2，外套的折射率＝n2sinθ2。试通过计算说明从该光导纤维一端入射的光信号是否会通过外套“泄漏”出去。答案(1)R＞2.4mm(2)不会解析(1)如图(a)所示﹐从半圆弧上任取一点P，从M、N两端发出的光入射角最大，取N点发出的光线，题意知sinθ<sinC解得R＞nr＝nd＝2.4mm。(2)作出光路图如图(b)所示解得C＝60°由折射定律得n=所以光线在内芯和外套的界面上的入射角β≥60°说明光信号不会通过外套“泄漏”出去。992.8cm==地面的位置与大灯间的水平距离92.8cm==tanθ3.如图甲所示，某汽车大灯距水平地面的高度为92.8cm；图乙为该大灯结构的简化图，由左侧旋转抛物面和右侧半径为R的半球透镜组成，对称轴以下装有挡光片，光源位于抛物面的焦点F处，已知点光源发出的光经旋转抛物面反射后，均垂直半球透镜的竖直直径MN进入透镜(只考虑纸面内的光)，光在半球透镜中的折射率，已知透镜直径远小于大灯离地面的高度，忽略在半球透镜内表面反射后的光，求：(已知sin48°=0.75，sin37°=0.6，tan16°=0.29)(1)所有垂直MN进入的光在透镜球面上透光部分的长度；(2)若某束光从A点射入半球透镜，N，这束光照射到地面的位置与大灯间的水平距离。解析(1)光路图如图1所示此角对应的弧长为(2)若某束光从A点射入半球透镜，光路图如图2所示根据题意则则由折射率可知解得sin即β=53°由几何关系可知θ=16°这束光照射到这束光照射到地面的位置与大灯间的水平距离s320cm。1．(2023广东新高考模拟)如图，直角三棱镜ABC由某种透明物质制成，AC外表面镀有水银。一束与BC边平行的光线从AB边的D点射入棱镜。已知AB＝2m，AD＝0.5m，∠B＝30°,棱镜对该光的折射率n=\。求光线第一次到达BC面时在BC面发生折射的入射角及入射点与C点的距离。解析如图所示，由几何关系可知光线在AB边的入射角为i1＝60°由折射定律可得解得r＝30°所以△ADF为等边三角形，则F为AC边的中点，可知θ+60°=90°可得光线在BC边的入射角i2＝60°EF与AB平行，则E为BC的中点，故入射点E与C点的距离为m。22024山东潍坊三模）水晶球是用天然水晶加工而成的一种透明的球形物品。如图甲所示的是一个质量分布均匀的透明水晶球，半径为a，过球心的截面如图乙所示，PQ为直径，一单色细光束从P点射入球内，折射光线与PQ夹角为37℃,出射光线与PQ平行。已知光在真空中的传播速度为c，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：（2）光束在P点的入射角；（3）光在“水晶球”中的传播速度；（4）光在“水晶球”中的传播时间。答案（1）1.6（2）74°（3）c（4）解析（1）根据题意作出光路图如图，由几何关系可知，光线射出时的折射角r为2θ,“水晶球的”折射率（2）根据光路的可逆性可知β=r＝2θ=74°。（3）光在“水晶球”中的传播速度为32024河北邯郸模拟）如图甲所示的是某物理兴趣小组收集的一个“足球”玻璃球，他们利用激光对该球的光学性质进行研究。某次实验过程中他们将激光水平向右照射且过球心所在的竖直截面，其正视图如乙所示，AB是沿水平方向的直径。当光束从C点射入时，从右侧射出点为B，已知点C到AB的竖直距离h＝R，玻璃球的半径为R，且球内的“足球”是不透光体，不考虑反射光的情况下。已知光在真空中的速度为3×108m/s，结果可用根号表示。求：（1）激光在玻璃球中的传播速度大小；（2）B点的出射光相对C点入射光方向偏折角。答案（1）3×108m/s（2）60°解析（1）光从C点到B点的光路图如图所示光在C点折射，由折射定律可知n=激光在玻璃球中的传播速度为v=由几何关系可得i=θ=2r＝60°（2）光在B点折射，由折射定律可知n=可得β=60°故B点的出射光相对C点入射光方向偏折角为60°。42024四川凉山三模）如图甲所示，“隐身装置”可以将儿童的身体部分隐去，却对后面的成人没有形成遮挡；简化模型的俯视图如图乙所示，A、B为两个厚度均为a的直角透明介质，虚线为透明介质的对称轴，儿童站在介质之间的虚线框位置处，成人位置的光线与对称轴平行。已知介质折射率n＝2，光在真空中的传播速度为c。求：（1）完成光线1、2进入观察者范围的光路图，解释成人没被遮挡的原因；（2）光线1进入介质A中的折射角大小和通过介质A的时间。答案（1）见解析（2）r＝30°,解析（1）光线1、2进入观察者范围的光路图如图所示根据折射定律可得2=则光线在介质中的折射角为r＝30°可得1、2光线最后射出介质A的折射角为45°,可得光线1、2平行射出介质A、B，显然成人不可能被“隐身装置”遮挡。（2）结合（1）问，可得光线1进入介质A中的折射角大小为r＝30°通过介质A的路程为光在该介质中的传播速度为v==则光线1通过介质A的时间为52024陕西西安模拟预测）平静的湖面上漂浮着浮子A和浮子B，两个浮子距离不超过3m。一条大鱼在两浮子连线的延长线上某位置（如图甲所示）翻起频率稳定的波浪。当水波刚传播到A浮子时波形图如图乙所示，从该时刻开始计时，A、B浮子的振动图像如图丙所示，求：(1)该水波传播的速度大小，及图乙所示时刻P点的运动方向；(2)A、B两浮子间可能的距离。答案(1)1.25m/s，图乙所示时刻P点沿y轴负方向运动(2)0.25m，1.25m，2.25m解析（1）根据图乙、图丙可知，该波波长λ=1.0m，周期T=0.8s，故波速同侧法可知，图乙所示时刻P点沿y轴负方向运动；当n=0时，波从浮子B传到浮子A的时间t0=0.2s则AB距离x0=vt0=0.25m当n=1时，波从浮子B传到浮子A的时间t1=1.0s当n=2时，波从浮子B传到浮子A的时间t2=1.8s则AB距离x2=vt2=2.25m62025福建福州二模）如图甲所示，a、b为沿x轴传播的一列简谐横波上的两质点，相距为s=1m。a、b的振动图像分别如图乙、丙所示。(1)若波在介质中传播的速度为v=4m/s，求波长；(2)若波沿x轴负方向传播，且波长大于0.7m，求可能的波速值。答案(1)3.2m(2)1m/s或5m/s解析（1）由振动图像可知，波的振动周期波长λ=vT=3.2m（2）若波沿着x轴负方向传播，则ab间距离由于λ>0.7m，n可以取0，1，对应波长λ则波速为或72025全国模拟预测）在平面直角坐标系中x轴上有一振源，产生的简谐波沿x轴传播，A、B是x轴上的两个质点，从质点A第一次达到波峰开始计时，A、B两质点的振动图像分别如图甲、乙所示，已知A、B平衡位置间距离为3m且B在A的右侧，A的横坐标为x=1m，该简谐波的波长λ大于3m,t=0时波源位于平衡位置，波源起振方向竖直向上。(1)求该简谐波的波速；(2)若波源在质点B的左侧，求0~4s内，平衡位置在x=7m处的质点C通过的路程。答案(1)3m/s或1m/s(2)6cm或2cm解析（1）由振动图像可知，该简谐波的周期为T=4s；由于A、B两质点间的距离小于波长。①当波源在A的左侧时，t=0时刻A、B间的波动图像如图1所示可知该情况下波的波长为λ波速为②当波源在B的右侧时，t=0时刻A、B间的波动图像如图2所示可知此情况该波的波长为波速为③当波源在A、B之间时，t=0时刻A、B间的波动图像如图3所示可知此情况该波的波长为波速为（2）当波源在A的左侧时，t=0时刻该波恰传播到B处，则该波从B传播到C点所用时间为可知t=0时刻到t=4s时刻质点C振动了T，经过的路程为s当波源在A、B之间时，t=0时刻波恰传播到B处则该波从B传播到C所用时间为可知t=0时刻到t=4s时刻质点C振动了经过的路程为82024湖南模拟预测）图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.1s后，其波形曲线如图中虚线所示。(1)若波向左传播，求它在0.1s内传播的最小距离；(2)若波向右传播，求它的周期；(3)若波速是3.5m/s，求波的传播方向。答案0.05m或向右传播解析（1）由题图可知λ=20cm若波向左传播，传播距离最小值（2）若波向右传播，传播距离所用时间解得（3）若波速是3.5m/s，波在0.1s内传播的距离Δx’=0.35m若波向右传播，传播距离满足此时n=1，所以波向右传播。92024河南郑州模拟预测）一列简谐横波沿直线由质点C向质点D传播，从某时刻开始计时，质点C、D的振动图像如图1、2所示，已知C、D两质点平衡位置间的距离为8m，该波波长大于4m。求：（1）质点C的振动方程；（2）该波的波速。答案（1）y=10sin|(2t+6,cm2）11m/s或23y=Asin(wt+φ0)由于质点C的振幅为因质点C振动的周期为T=4s故其圆频率为由题图甲可知，当时y=0y=5cm故有可得故质点C的振动方程为（2）由题中甲、乙两图可知，在t=0时刻，质点C偏离平衡位置的位移为5cm，质点D在平衡位置，有整理并代入数据可得当n=0时波速为当n=1时λ=m波速为当n=2时故n≥2时不再符合题意。所以该波的波速为或1．(2022广东卷)一个水平放置的圆柱形罐体内装了一半的透明液体，液体上方是空气，其截面如图所示．一激光器从罐体底部P点沿着罐体的内壁向上移动，它所发出的光束始终指向圆心O点．当光束与竖直方向成45°角时，恰好观察不到从液体表面射向空气的折射光束．已知光在空气中的传播速度为c，求液体的折射率n和激光在液体中的传播速度