辽宁省部分重点中学协作体2025年高考模拟考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页辽宁省部分重点中学协作体2025年高考模拟考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.图中阴影部分用集合符号可以表示为(

)

A.B∩(A∪C)B.B∩(A∩C)C.B∩∁U(A∪C)2.使复数(3+i)n为纯虚数的最小自然数A.1 B.2 C.3 D.43.第五批实施新高考的8个省份将于2025年迎来新高考，新高考模式下语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有(

)A.12种 B.24种 C.48种 D.96种4.过原点且与曲线y=xsinx相切的直线有(

)A.1条 B.2条 C.3条 D.4条5.已知向量m=(1,0)，向量a满足|a−2m|=|mA.1 B.2 C.3 D.46.已知双曲线C的离心率为2，F1、F2为C的两个焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则A.62 B.3 C.27.如图，将绘有函数f(x)=Msin(π3x+φ)(M>0,0<φ<π)部分图像的纸片沿x轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为11，则A.π6 B.π3 C.2π38.设函数f(x)=ax⋅eax与函数ℎ(x)=xln(x+2)+2ln(x+2)，当x∈(0,+∞)，曲线y=f(x)与y=ℎ(x)交于一点A.−2 B.−1 C.1 D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若(x+1)5=aA.a0=1

B.数据a0+1，a1，a2，a3，a4，a5+3的标准差为3

C.数据a0，a1，a2，a3，a4，10.已知函数f(x)=(x−m)(x2−1)(m∈R)，则A.f(x)有三个零点

B.∃m∈R，使得点(2,f(2))为曲线y=f(x)的对称中心

C.f(x)既有极大值又有极小值

D.∃m∈R，∀x>0，f(x)≥011.如图，曲线C是一条双纽线，曲线C上的点满足：到点F1(−3,0)与F2(3,0)的距离之积为9，已知点P(x0,yA.点(32,0)在曲线C上

B.双纽线C的方程为(x2+y2)2=9(x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知tan2α−sin2α=2，则13.记Sn为正项数列{an}的前n项和，a3=2S214.有一个密码锁，它的密码是由三个数字组成.只有当我们正确输入每个位置的数字时，这个密码锁才能够打开.现在我们并不知道密码是多少，当输入249时，提示1个数字正确，并且位置正确;当输入235时，提示1个数字正确，但位置错误;当输入962时，提示2个数字正确，但位置全错.则正确的密码为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=3，(1)求A;(2)若sinB+sinC=316.(本小题15分)已知函数f(x)=(ln(1)当a=0时，求f(x)的单调区间;(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．17.(本小题15分)如图 ①所示，四边形ABCQ是直角梯形，AQ//BC，AQ⊥AB，且AQ=2BC=2AB=2，D为线段AQ的中点.现沿着CD将△QCD折起，使Q点到达P点，如图 ②所示;连接PA、PB，其中M为线段PA的中点．(1)求证：PB⊥DM;(2)若二面角A−CD−P的大小为60∘，则在线段PC上是否存在一点N，使得直线PB与平面BDN所成角的正切值为1515?若存在，求三棱锥P−BDN18.(本小题17分)某高中全体学生参加一次知识竞赛，竞赛共有5道单选题，每题四个选项中有且只有一个是正确的，每道题答对得2分，答错和不答都得0分，假设每个学生答对每道题的概率均为p(0<p<1)．(1)学生甲在前3道题答对2道题的条件下，求他最终得6分的概率;(2)现随机抽取10名学生，记第i个人的得分为随机变量Zi，得到Zi的一组观测值学生12345678910得分6861061086108(ⅰ)从这10名学生中随机抽取4名学生，设抽到得10分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望;(ⅱ)设随机变量Zi取到观测值zi(i=1,2,3,⋯,10)的概率为L(p)，即L(p)=P(Z1=z1,Z2=z2,⋯,Z19.(本小题17分)法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆半长轴长与半短轴长的平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的方程;(2)过点M作椭圆C的两条切线，两切线斜率之积为12，求M的轨迹方程(3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的正整数解.例如：求二元二次方程x2−3y2=1的正整数解，通过(2−3)n(2+3)n=1，先找到该方程的初始正整数解x=2设由“循环构造法”得到方程Γ的正整数解对应的点列为：Q1(x1,y1)，Q2(x2,y2)，⋯，Qn参考答案1.A

2.C

3.B

4.C

5.A

6.D

7.C

8.D

9.ABD

10.BCD

11.AD

12.2

13.3

14.659

15.解：(1)由cb+bc=3bc+1变形得，b2+c2=3+bc，即b2+c2−3=bc，

因为a=3，所以a2=3，从而b2+c2−a2=bc，

由余弦定理可有b2+c2−a2=2bccosA，对比两式可得cosA=b2+c2−a22bc16.解：(1)当a=0时，f(x)=(lnx−x+1)ex，则f′(x)=(1x−1)ex+(lnx−x+1)ex=(lnx−x+1x)ex，

设φ(x)=lnx−x+1x(x>0)，则φ′(x)=1x−1−1x2=x−x2−1x2=−x−122−34x2<0，

所以φ(x)在(0,+∞)单调递减，

又因为φ(1)=0，

所以x∈(1,+∞)时，φ(x)<φ(1)=0，而f′(x)=exφ(x)<0，f(x)在(1,+∞)上单调递减，

x∈(0,1)时，φ(x)>φ(1)=0，而f′(x)=exφ(x)>0，f(x)在(0,1)上单调递增，

综上，f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,+∞).

(2)令g(x)=lnx−x+1(x>0)，g′(x)=1x−1=1−xx，

由g′(x)>0，可得0<x<1，所以17.(1)证明：在图①中，由题知：四边形ABCD

为正方形，且CD=DQ=AD=2

；则在②中，CD⊥PD

，CD⊥AD

，且PD∩AD=D,PD,AD⊂

平面PAD

，则CD⊥

平面PAD

；又AB//CD

，∴AB⊥

平面PAD

，又DM⊂

平面PAD

，∴AB⊥DM

；又PD=AD

，且M

为PA

的中点，则DM⊥PA

；又AB∩PA=A,AB,PA⊂

平面PAB

，则DM⊥

平面PAB

，又PB⊂

平面PAB

，∴DM⊥PB

．(2)解：由(1)知：CD⊥

平面PAD

，CD⊂

平面ABCD

，则平面ABCD⊥

平面PAD

；由题知：二面角A−CD−P

的平面角为∠ADP

，则∠ADP=60∘则▵PAD是等边三角形，则PA=AD=PD=1

；取AD

的中点为O

，连接PO

，则PO⊥AD

，又平面ABCD∩

平面PAD=AD

，PO⊂

平面PAD

，所以PO⊥

平面ABCD

，且PO=3则可以建立如图所示的空间直角坐标系；则O(0,0,0)，P(0,0,32)

、D(−12,0,0)

则DB=(1,1,0)

、DC=(0,1,0)

、CP=(12设CN=λCP=(λ2则DN=DC设平面BDN

的一个法向量为m=(x,y,z)则m⋅DN=λ2令y=3λ

，则记直线PB

与平面BDN

所成角为θ

，因为tanθ=则sin θ=|cos即3λ−12215λ2因此CN=23CP

18.解：(1)设“学生甲前三题答对2题”为事件A，“最终得分6分”为事件B，

P(A)=C32p2(1−p)=3p2(1−p)，P(AB)=C32p2(1−p)C21p(1−p)=6p3(1−p)2，

由条件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)=6p3(1−p)23p2(1−p)=2p(1−p)，

则在学生甲前3道题答对2道题的条件下，他最终得6分的概率为2p(1−p)，

(2)(i)X取值范围是{0,1,2,3}，且X∽H(10,4,3)，

P(X=0)=C30C74C104=35210=16，

P(X=1)=C31C73C104=105210=12，

P(X=2)=C32C72C104=63210=310，

P(X=3)=C33C71C104=7210=130，

X的分布列为：19.解：(1)由题知，a>b>0a2+b2=4ca=1−b2a2=63解得，a2=3b2=1．

故椭圆的方程为x23+y2=1．

(2)(i)当切线斜率不