新沪科版九年级上册数学全册公开课学案

第21章二次函数与反比例函数

21.1二次函数

学习目标：

(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围;

(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯.

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

学习过程：

一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值，算出矩形的另一边

BC的长，进而得出矩形的面积yn?.试将计算结果填写在下表的空格中，

AB长x(m)123456789

BC长(m)12

面积y(m2)48

2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗？

3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写

出这个函数的关系式，

对于1.,可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学

生观察表格中数据的变化情况，提出问题：⑴从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出

的问题的解答能作出什么猜想?让学生思.考、.交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm,

BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2,可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可

以任意取，有限定范围，其范围是0<x<10o

对于3,教师可提出问题，⑴当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指

出y=x(20—2x)(0<x<10)就是所求的函数关系式.

二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每.件10元出售，一天可.销出约100件.该店想

通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品,单价每降低0.1

元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？

[利润=(,售价一进价)X销售量]

2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元？[10—

8=2(元)，,(10-8)X100=200(76)]

3.若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品？[(10

一8一x);(100+100x)1

4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它.的范围，

[X的值不能任意取，其范围是0Wx<2]

5.若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系.式。

[y=(10-8-x)(100+100x)(0<x<2)]

将函数关系式y=x(20—2x)(0<x<10=化为：

y=-2x2+20x(0<x<10)---(l)

将函数关系式y=(10—8—x)(100+100x)(0WxW2)化为：

y=-100x2+100x+200(0<x<2).--(2)

三、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式⑴和(2),提出问题让学生思考回答；

⑴函数关系式⑴和(2)的自变量各有几个？(各有1个)

(2)多项式一2x2+20和一1oOx2+100x+200分别是几次多项式?(分别是二次多项式)

(3)函数关系式⑴和(2)有什么共同特点？(都是用自变量的二次多项式来表示的)

⑷本章导图中的问题以及P2页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

2.二次函数定义：形如y=ax?+bx+c(a、b、、c是常数，a^O)的函数叫做x的二次函

数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项.

四、课堂练习

1.(口答)下列函数.中，哪些是二次函数？

(l)y=5x+l(2)y=4x2-l(3)y=2x3-3x2(4)y=5x4-3x+l

2.练习第1,2题。

五、小结

1.请叙述二次函数的定义.

2,许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应

用题，并写出函数关系式。

六、作业：习题21.1

学习反思：

21.2二次函数的图象和性质

1.二次函数y=a£的图象和性质

学习目标：

1.使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；

2.使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思

维习惯.

重点难点：

重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax?的图象是学习的重点。

难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是学习的难点。

学习过程：

一、提出问题

1,同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？

2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究

什么？

3.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？

二、范例

例1、画二次函数y=ax?的图象。

解：⑴列表：在x的取值范围内列出函数对应值

表：

X--3-2-10123

y9410149

(2)在直角，坐标系中描点：用表里各组对应值作

为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？

讨论归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛.物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.

四、归纳、概括

函数y=x?、y=-x2>y=2x2Ay=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y=x2、y=-x2>y=2x?、y=-2x2

的图象的共同特点，可猜想：

函数y=ax2的图象是一条_._____,它关于对称，它的顶点坐标是_______o

如果要更细致地研究函数y=ax?图象的特点和性质，应如.何分类？为什么？

让学生观察y=x?、y=2x?的图象。

让学生观察y=x?、y=2x?的图象，填空；

当a>0时，抛物线y=ax2开产,在对称轴的左边，曲线自左向右；在对称

轴的右边，曲线自左向右,是抛物线上位置最低的点。

图象一的这些特点反映了函数的什么性质？

先让学生观察下图，回答以下问题；

.⑴XA、XB大小关系如何?是否都小于0?

(2)yA、yB大小关系如何？

(3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?

(4)yC、yD大小关系如何？

(XA<XB,JLXA<0,XB<0;yA>yB;XC<XD,且XOO,XD>0,yC<yD)

学生填空：当X<0一时，函数值y随着x的增大而,当X>O时，函数值y随X的

增大而；当X=时，函数值y=ax?(a>0)取得最小值，最小值y=

观察函数丫=-(、y=-2x?的图象，让学生讨论、交流，达成共识：

当a<O时，抛物线y=ax?开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的

右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当a<O

时，函数丫=次的性质；当x〈0时，函数值y随x的增大而增大；，与x>O时，函数值y随x

的增大而减小，当x=。时，函数值y=ax?取得最大值，最大值是y=0。

五、课堂练习

六、作业：

1.如何画出函数y=ax2的图象？函数y=ax?具有哪些性质？

教后反思：

21.2二次函数的图象和性质

2.二次舀数y=W+bx+c的图象和性质

第1课时二次函数尸如2弘的图象和性质

学习目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax?+b的图象。

2、让学生经历二次函数y=ax?+bx+c性质探究的过程，理解二次函数y=ax?+b的性.

质及它与函数y=ax2的关系。

重点难点：

会用描点法画出二次函数y=ax?+b的图象，理解二次函数y=ax?+b的性质，理解函

My=ax2+b与函数y=ax?的相互关系是学习重点。

正确理解二次函数y=ax2+b的性质，理解抛物线y=ax?+b与抛物线y=ax?的关系是学习

的难点。

学习过程：

一、提出问题

1.二.次函数y=2x?的图象是,它的开口向,顶点坐标且;对称轴是,

在对称轴的左侧，y随x的增大而,在对称轴的右侧，y随x的增大而,函数y

=ax。与x=时，取最______值,其最_______值o

2.二次函数y=2x?+l的图象与二次函数y=2xZ的图象开口方向、对称.轴和顶点坐标

是否相同？

二、分析问题，解决问题

问题1:对于前面提出的第2个问题，你将采.取什么方法加以研究？

(画出函数y=2x?和函数y=2x?的图象，并加以比较)

问题2,你能在同一直角坐标系中，画出函数y=2x?与y=2x?+1的图象吗？

解：⑴列表:

X-3-2-10123

y=x2188202818

y=x2+l199313919

(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得至九函数y=2x2和y=2x?+l的图象。

问题3:当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象

上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

教师引导学生观察上表，当x依次取一3,-2,-1,0,1,2,3时，两个函数的函数

值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y=2x2+l的函

数值都比函数y=2x2的函数值大1□

教师引导学生观察函数y=2x?+l和y=2x2的图象，先研究点(一1,2)和点(一1,3)、点

(0,0)和点(0,1)、点(1,2)和点(1,3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y=

2x2+l的图象上的点都是由函数y=2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。

问题4：函数y=2x?+l和y=2x?的图象有什么联系？

由问题3的探索，可以得到结论：函数y=2x?+l的图象可以看成是将函数y=2x?的图

象向上平移一个单位得到的。

问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？

让学生观察两个函数图象，说出函数y=2x?+l与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同，

但顶点坐标不同，函数y=2x?的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x?+l的图象的顶点

坐标是(0,l)o

问题6:你能由函数y=2x?的性质，得到函数y=2x2+l的一些性质吗？

完-成填空：

当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增

大，当x时，函数取得最______值，最______值丫=.

以上就是函数y=2x?+l的性质。

三、做一做

问题7:先在同一直角坐标系中画出.函数y=2x?—2与函数y=2x2的图象，再作比较，说说

它们有什么联系和区别？

学习要点

让学生发表意见，归纳为：函数y=2x?—2与函数y=2x?的图象的开口方向、对称轴相

同，但顶点坐标不同。函数y=2x?—2的图象可以看成是将函数y=2x?的图象向下平移两个

单位得到的。

问题8:你能说出函数y=2x?—2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函

数的性质吗？

学习要点

1.让学生口答，函数y=2x?—2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,—

2)；

2.分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x<0时，函数值

y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大，当x=0时，函数取得最小

值，最小值y=12。

11

问题9：在同一直角坐标系中。函数y=—三2+2图象与函数y=—的图象有什么关

系？

11

要求学生能够画出函数丫=—/与函数y=-J+2的草图，由草图观察得出结论：函

11

数y=—~1/3X2+2的图象与函数y=—不？的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不

11

同，函数y=-^2+2的图象可以看成将函数y=-TX2的图象向上平移两个单位得到的。

1

问题10:你能说出函数y=一三2+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

1

[函数y=—三2+2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,2)]

问题11:这个函数图象有哪些性质？

1

.让学生观察函数y=—F?+2的图象得出性质：当XV0时，函数值y随X的增大而增

大；当x>0时，函数值y随x的增大而减小；当x=0时，函数取得最大值，最大值y=2。

四、练习：P12练习1、2、3o

五、小结

1.在同一直角坐标系中，函数y=ax?+k的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系？

2.你能说出函数y=ax?+k具有哪些性质？

六、作业：1.习题1.(1)

教后反思：

21.2二次函数的图象和性质

2.二次函数y=W+bx+c的图象和性质

第2课时二次函数产aQ+力y的图象和性质

学习目标：

1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x+hT的图象；

2.让学生经历二次函数y=a(x+h)2性质探究的过程，理解函数y=a(x+h)2的性质，理解

二次函数y=a(x+h)2的.图象与二次函数y=ax2的图象的关系.

重点难点：

重点：.会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象，理解二次函数y=a(x+h)2的性质，理解

二次函数y=a(+h)2的图象与二次.函数y=ax2的图象的关系是学习的重点。

难点：理解二次函数y=a(x+h)2的性质，理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax?

的图象的相互关系是学习的难点。

学习过程：

一、提出问题

11

1.在同一直角坐标系内，画出二次函数y=y=—3^2—1的图象，并回答：

⑴两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。

(2)说出它们所具有的公共性质。

2.二次函数y=2(x—iy的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点

坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系？

二、分析问题，解决问题

问题1:你将用什么方法来研究上面提出的问题？

(画出二次函数y=2(x—I,和二次函数y=2x?的图象，并加以观察)

问题2:你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2与y=2(x—I,的图象吗？

2.让学生在直角坐标系中画出图来：3.教师巡视、指导。

问题3:现在你能回答前面提出的问题吗？

2.让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y=2(x—l)2

与y=2x?的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y=2(x—1)2的图象可以看

作是函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x=l,顶点坐标是(1,

0)o

问题4.：你可以由函数y=2x2的性质，得到函数y=2(x—仔的性质吗？

三、做一做

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+iy与函数y=2x?的图象，并比较它

们的联系和区别吗？

学习要点

1.让学生发表不同的意见，归结为：函数y=2(x+l)2与函数y=2d的图象开口方向相

同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y=2(x+l)2的图象可以看作是将函数y=2x2的图象向

左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x=-l,顶点坐标是(-1,0)o

问题6；你能由函数y=2x?的性质，得到函数y=2(x+以的性质吗？

学习要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x<—1时，函数值y随x的增大而减小；

当x>一1时，函数值y随x的增大而增大；当x=-1时，函数取得最小值，最小值y=0。

11

问题7：在同一直角坐标系中，函数y=--(x+2)2图象与函数y=-^x2的图象有何关系？

11

(函数y=--(x+2)2的图象可以看作是将函数y=--X2的图象向左平移2个单位得到

的。)

1

问题8:你能说出函数y=-g(x+2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

1

(函数y=—£x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x=一2,顶点坐标是(一2,.0))。

1

问题9:你能得到函数y=1(x+2)2的性质吗？

J

学习要点：让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当X<—2时，函数值y随X的增大

而增大；

当x>—2时，函数值y随工的增大而成小；当x=-2时，函数取得最大值，最大值y=

Oo

四、课堂练习：P15练习1、2、3O

五、小结：

1.在同一直角坐标系中，函数y=a(x—h)2的图象与函数y=ax2的图象有什么联系和区另

2.你能说出函数y=a(x—h)2图象的性质吗？

六、作业P16练习4,5

21.2二次函数的图象和性质

2.二次函数y=W+bx+c的图象和性质

第3课时二次函数产於什犷+左的图象和性质

学习目标：

1.使学生理解函数y=a(x+hy+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系；

2.会确定函数y=a(x+hy+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

3.让学生经历函数+hy+k性质的探索过程，理解函数y=a(x+hT+k的性质.

重点难点：

重点：确定函数y=a(x+hy+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x+h)2

+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x+hy+k的性质是学习的重点。

难点：正确理解函数y=a(x+hy+k的图象与函数丫=小的图.象之间的关系以及函数y=a(x+h)2

+k的性质是学习的难点。

学习过程：

一、提出问题

1.函数y=2x?+l的图象与函数y=2x?的图象有什么关系？

(函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x?的图象向上平移一个，单位得到的)

2.函数y=2(x—l)2的图象与函数y=2x2的.图象有什么关系？

3.函数y=2(x—iy+l图象与函数y=2(x-l)2图象有什么关系？函数y=2(x-iy+l有哪些性

质？

二、试一试

你能填写下表吗？

y=.2x2向右平移向上平移

的图象1个单位1个单位y=2(x-l)2+l的图

y=2(x-l)2

象

开口方向向上

对称轴y轴

顶点(0-,0)

问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x—1产+1与函数y=2(x—I?、y=2x2图象的关系

吗？

问题3:你能发现函数y=2(x-iy+l有哪些性质？

.对于问题2和问题3,教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共

识；

函数y=2(x—1>+1的图象可以看成是将函数y=2(x—仔的图象向上平称1个单位得到

的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当xVl时，函数值y随x的增大而减小.，当x>l时，函数值y随x的增大而增大；当

x=l时，函数取得最小值，最小值尸1。

三、做一做

问题4:在图3中，你能再画出函数y=2(x—I?—2的图象，并将它与函数y=2(x—厅的

图象作比较吗？

11

问题5：你能说出函数y二一素x—iy+2的图象与函数y二一；^2的图象的关系，由此进一

J3

步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

11

(函数.y=--(x-l)2+2的图象可以看成是将函数y=-Tx2的图象向右平移一个单位再向

J3

上平移2个单位得到的，其开口向下，对.称轴为直线x=l,顶点坐标是(1,2)

四、课堂练习：练习1、2、3、4o

练习第4题提示：将一3x2—6x+8配方，即

222

.y=-3x-6x+8=-3(X+2X)+8=-3(X+1)+11

五、小结

1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑？

六、作业：

1.已知函数y=6x-y=6(x—3)?+3和y=6(x+3)2—3。

⑴在同一直甭坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=6x2得到抛物线y=6(x—3y+3和抛物线

y=6(x+3)2—3;

(4)试讨沦函数y=6(x+3)2—3的性质；

3.不画图象，直接说出函数y=-2x2—5x+7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

4.函数y=2(x—iy+k的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？

教后反思：

21.2二次函数的图象和性质

2.二次函数y=W+bx+c的图象和性质

第4课时二次函数y=a^+bx+c的图象和性质

学习目标：

1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图.象。

2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及

性质的过程，理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。

重点难点：

重点：用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点

坐标是学习的重点。

b

难点：理解二次函数y=ax2，+bx+c(a乎0)的.性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x=

Na

b4ac—b2

(-T-,1~)是学习的难点。

za4a

学习过程：

一、提出问题

1.你能说出函数y=—4(x—2y+l图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

2.函数.y=—4(x—2)2+1图象与函数y=-4x2的图象有什么关系？

(函数y=-4(x—2)2+1的图象可以看成是将函数y=.—4x2的图象向右平移2个单位再

向上平移1个单位得到的)

3.函数y=—4(x—2)2+1具有哪些性质？

(当xV2时，函数值y随x的增大而增大，当x>2时，函数值y随x的增.大而减小；当

x=2时，函数取得最大值，最大值y=l)

15

4.不画出图象，你能直接说出函数y=—]x2+x—5的图象的开口方向、对称轴和顶点

坐标吗？

15

5.你能画出函数y=—Qx2+x—耳的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？

二、解决问题

15

由以上第4个问题的解决我们已经知道函数y=-5*2+乂一5的图象的开口方向、对称

15

轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数丫=—/+乂-5的图象,

进而观察得到这个函数的性质。

解：⑴列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；

x…一2—101234

1111

62与2262

⑵描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

15

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=-g?+x—彳的图象。

说明：⑴列表时，应根据对称轴是x=l,以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相

应的函数值。相应的函数值是相等的。

⑵直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位

不同。所以要根据具体问题.，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。

让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；

当x<l时，函数值y随x的增大而增大；当x>l时，函数值y随x的增大而减小；

当x=l时，函数取得最大值，最大值y=-2

三、做一做

1

1.请你按照上面的方法，画出函数y=^x2—4x+10的图象，由图象你能发现这个函数

具有哪些性质吗？

学习要点

⑴在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教.师点评。

2.通过配方变形，说出函数y=-2x?+8x—8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，

这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少？

学习要点

⑴在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最

大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？

以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一

个二次函数y=ax2+bx+c(aW0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把

结果写出来吗？

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；

bbbbbbb2

y=ax2,+bx+c=a(x2+pc)+c=a[x2+p:+(^)2—(^)2]+c=a[x2+pc+(^)2]+c——

b4ac—b2

当a>0时，开口向上，当aVO时，开口向下。

b4ac—b2

对称轴是x=—b/2a,顶点坐标是(一丁，一~)

Za4a

四、课堂练习：

练习第1、2、3题。

五、小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？

六、作业：

1.填空：

⑴抛物线y=xZ-2x+2的顶点坐标是_______；

5

(2)抛物线y=2x?—2x—5的开口,对称轴是；

⑶抛物线y=—2x2—4x+8的开口,顶点坐标是________；

1

(4)抛物线y——矛2+2x+4的对称轴是________；

⑸二次函数y=ax?+4x+a的最大值是3,则a=.

2.画出函数y=2x2—3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。

3.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(l.)y=3x2+2x；(2)y=—x2—2x

1

(.3)y=-2x2+8x—8.(4)y=pi2—4x+3

4,求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质？

*3.二次函数表达式的确定

会用一般式、顶.点式，两根式，求二次函数的解析式，

学习目标

体会待.定系数法思想的精髓

学习重点会用一般式、顶点式.，两根式，求二次函数的解析式，

学习难点体会待定系数法思想的精髓

学习.过程

一、【合作复习】

1.二次函数的一般形式为.

顶点坐标(),对称轴为最大(小)值为

2、二次函数的顶点式为

顶点坐标(),对称轴为最大(小)值为

二、【自主学习】

阅读课本12—13页，体会用会待定系数法求二次函数的解析式的思路

例1.已知二次函数的图象经过点A(O,-1)、B(1,O)、C(-l,2);求它的关系式.

三、【合作交流】

例2.已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1),

求这个二次函数的解析式

例3.抛物线与％轴交与点(1,0)、(-3,0),求这个抛物线的解析式

四、【课堂练习】

1.已知一条抛物线的开口大小与y=相同但方向相反，且顶点坐标是(2,3),则该抛物

线的关系式是.

2、已知一条抛物线是由y=2/平移得到，并且与x轴的交点坐标是(-1,0)、(2,0),则

该抛物线的关系式是.

3.已知一条抛物线与y=-2/的形状相同，开口方向相同，对称轴相同，且与y轴的

交点坐标是(0,-3),则该抛物线的关系式是.

4、根据下列条件求二次函数的.解析式：

(1)函数图像经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,-2)

(2)函数图像的..顶点坐标是(2,4)且经过点(0,1)

(.3)函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点(1,0)和(5,0)

五、【课堂作业】

1.二次函数的顶点是（2,-1）,该抛物.线可设为

2..二次函数y=奴2+bx+c与y轴交与点（0,-10）,则可知c=.

3.抛物线的顶点坐标为（-2,3）,且经过点（-1,7）,求此抛物线的解析式.

4.已知抛物线y=ax?+bx+c的图象过点（0,0）、（12,0）,最低点的纵坐标为-3,求该抛物

线的解析式.

六、【中考体验】

1.已知二次函数y=/+6x+c的图象经过点A（-1,12）、B（2,-3），求这个二次函数的解

析式

2.二次函数丁="/+以+。的图象如图所示，请将A、B、C、D点的坐标填在图中.

请用不同方法求出该函数的关系式.

⑴选择点的坐标，用顶点式求关系式如下：

（2）选择点的坐标，用式求关系式如.

下：

21.3二次函数与一元二次方程

第1课时二次函数与一元二次方程

学习目标：

1.探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有

两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与尸分S是实数）交点的横坐标.

'、基础扫描

1-元二次方程a/+bx-\-c=0根的判别式

当△>0时当△<0时当4=0时

2一元一次方程七-+6=0（专才0）和一次函数了=h+/>（上中0）后，讨论了它们之间的关

系.当一次函数中的函数值尸0时，一次函数尸版+6就转化成了一元一次方程_______,

且一次函数尸h+6（左中0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解.

二、探究1

一元二次方程af+Zjx+cuOQ*O）和二次函数,『af+bx+az中0）,它们之间是否也存

在一定的关系呢？

函数：①V=A2+2Jr②y=^—2x+1®y=~2x+2

A2—2x+1=0(3)JS2—2x+2=0

一元二次方程根的形式：(1)A_0有____—(2)A_0有______(3)A_0有____

一元二次方程的解：⑴__________(2)____________⑶___________

函数与X轴交点的个数：①②③

函数与X轴交点的坐标：,①(2)_③

结合元二次方程根的形式和函数与X轴交点的个数得出的结论是：

结合一元二次方程的解和函数与X轴交点的坐标得出的结论是：

（3）二次函数y=ax2+6x+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的

根有什么关系？

探究2

我们已经知道，竖直上抛物体的高度方(m)与运动时间心)的关系可以用公式方=—5P+

由l+瓦表示，其中方o(m)是抛出时的高度，是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/5

的速度竖直向上抛起，小球的高度力(m)与运动时间底)的关系如下图所示，那么

(1)力与「的关系式是什么？

(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流.

(3)在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m?你是如

何知道的？

三、知识超市

1.抛物线y=a(x—2)(x+5)与x轴的交点坐标为.

2.抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个交点，则m二.

3.二次函数y二kx?+3x—4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围.

4.抛物线y=x2—2x+3的顶点坐标是抛物线y=x2—2x+3可变形为

y-(x——)(x+—)且与x轴交点的坐标与y轴交点的坐标,

5画出函数y=x2—2x+3的草图

6.已知抛物线y=mx2+(3—2m)x+m—2(mWO)与x轴有两个不同的交点.

(1)求m的取值范围；

(2)判断点P(1,1)是否在抛物线上；

(3)当m=l时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，

并过P'、Q、P三点，画出抛物线草图.

四、课后总结：

21.3二次函数与一元二次方程

第2课时二次函数与一元二次不等式

学习目标：

i.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次不等式之间的联系；

2.使学生能够运用二次函数解一元二次不等式.

重点难点：

重点：使学生理解二次函数与一元二次不等式的联系.

难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是学习的难点.

学习过程：

一、引言

-在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计

算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学

们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、探索问题

问题：画出函数y=x2—x—3/4的图象，根据图象回答下列问题。

⑴图象与x轴交点的坐标是什么；

3

⑵当x取何值时，y=0?这里x的取值与方程X?—x—]=0有什么关系？

（3）你能从中得到什么启发？

学习要点

1.先让学生回顾函数y=ax2+bx+c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y=

3

x2—X—]的图象。

2.教师引导学生观察函数图象，回答⑴提出的问题，

13

得到图象与x轴交点的坐标分别是（一》0）和（亍o）0

6.对于问题（3）,教师组织学生分组讨论、交流，达

3

成共识：从“形”的方面看，函数y=x2—x—1的图

3

象与X轴交点的横坐标，即为方程X2—X—的图⑷

3

解；从“数”的方面看，当二次.函数y=x2—x—1的函数值为。时，相应的自变量的值即为

3

方程X2—X—的解。更一般地，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方

程ax2+bx+c=0的解；当二次函数y=ax.2+bx+c的函数值为0时，相应的自变量的值即

为方程ax2+bx+c=0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。

三、试一试

根据问题的图象回答下列问题。

.⑴当x取何值时，yVO?当x取何值时，y>0?

1313

（当一5<乂<5时，y<0；当xV—]或x>5时，y>0）

⑵能否用含有x的不等式来描述⑴中的问题？（能用含有x的不等式采描述⑴中的问

33

题，即x2-x--<0的解集是什么?x2—x-]>0的解集是什么?）

想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？

让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：

⑴从“形”的方面看，二次函数y=ax?+bj+c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即

为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标.即为一元二次

不等式ax2+bx+c<0的解。

（2）从“数”的方面看，当二次函数y=ax?+bx+c的函数值大于0时，相应的自变量的

值即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解；当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时，

相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bc+cV0的解。这一结论反映了二次函数与一

元二次不等式的关系。

四、课堂练习：P34练习1、2。

五、小结：1.通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑？

2.若二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴无交点，试.说明，元二次方程ax?+bx+c

=0和一元二次不等式ax2+bx+c>0>ax2+bx+c<0的解的情况。

六、作业：

2

已知函数y=x—x—20

⑴先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象

(2)观察图象确定：x取什么值时，①y=0,②y>0；③yVO。

21.4二次函数的应用

第1课时二次函数在面积最值问题中的应用

学习目标：

1、会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值