2024-2025学年河南省郑州市十校联考高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省郑州市十校联考高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=−1+3i，则zA.−1+3i B.−1−3i2.直线a不平行于平面α，且直线a不属于α，则下列结论成立的是(

)A.α内的所有直线与a异面 B.α内不存在与a平行的直线

C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内的直线与a都相交3.已知等边三角形ABC的边长为1，BC=a，CA=b，AB=A.3 B.−32 C.324.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为(

)A.1：2

B.1：3

C.5.若非零向量AB与AC满足(AB|AB|+ACA.三边均不相等的三角形 B.直角三角形

C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形6.在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B=π3，b2=9A.32 B.2 C.77.已知△ABC的外接圆圆心O，且2AO=AB+AC，|OA|=|ABA.14BC B.34BC 8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是(

)A.若sinA>sinB，则A>B

B.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB

C.若acosB−bcosA=c，则△ABC一定为直角三角形

D.若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC可以是钝角三角形二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=i1−2i，则下列结论正确的是(

)A.|z|=55

B.z−在复平面内对应的点位于第四象限

C.若z(a−i)(a∈R)是实数，则a=−2

D.若u∈C，10.如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放入一个球状物体，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则(

)A.此圆锥的侧面积为8π

B.球的表面积为16π3

C.原玻璃杯中溶液的体积为16π3

D.11.在△ABC中，AB=4，AC=6，A=π3，点D为边BC上一动点，则(

)A.BC=27

B.当AD为角A的角平分线时，AD=1235

C.当点D为边BC上点，BD=2DC时，AD=4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.三个平面最多可以将空间分成几个部分______．13.如图，测量河对岸A、B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得：∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是______．14.已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,3)，点B(1+2,3−22)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转3π4后得到点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B、C、D的坐标分别是(−1,3)、(3,4)、(2,2)．

(1)求顶点A的坐标；

(2)在线段AD上是否存在一点E满足AC⊥BE，若存在，求|AE|16.(本小题15分)

已知复数z=(m2−1)+(m+1)i.(m∈R)

(1)若z−在复平面内的对应点位于y=2x上，求m的值；

(2)若z在复平面内的对应点位于第二象限，求m的取值范围；

(3)若z为纯虚数，设z3，z2−z在复平面上对应的点分别为A，B17.(本小题15分)

如图是一个奖杯的三视图，(尺寸如图，单位：cm)试根据奖杯的三视图计算它的

(1)体积V；

(2)表面积S.(参考数据：π≈3.14，5≈2.24，18.(本小题17分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+3asinC−b−c=0

(1)求角A；

(2)若a=2，△ABC的面积为3，求b，c；

(3)若a=3，且△ABC为锐角三角形，D19.(本小题17分)

如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ(0<θ<π,θ≠π2)角的两条数轴，e1，e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下OM=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OM的仿射坐标，记为OM=(x,y)，已知在θ仿射坐标系下OA=(3,1),OB=(1,1)．

(1)求向量2OA+OB，OA−OB的仿射坐标；

参考答案1.C

2.B

3.B

4.B

5.D

6.C

7.A

8.D

9.AC

10.ABD

11.ABC

12.8

13.2014.215.解：(1)设A(x,y)，又B(−1,3)、C(3,4)、D(2,2)，

∴BC=(4,1)，AD=(2−x,2−y)，

又四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，

故2−x=4,2−y=1,解得x=−2,y=1,

∴顶点A的坐标为(−2,1)．

(2)存在．

由(1)可知，AC=(5,3)，AD=(4,1)，BA=(−1,−2)，

设AE=λAD(0<λ<1)，则BE=BA+AE=BA+λAD=(4λ−1,λ−2)．

又AC⊥BE，∴5(4λ−1)+3(λ−2)=0，即23λ−11=0，

解得，λ=1123，即|AE||AD|=1123．

16.解：(1)由z=(m2−1)+(m+1)i，

得z−=(m2−1)−(m+1)i，则其在复平面内的对应点为(m2−1,−m−1)，

由题意得−m−1=2(m2−1)，整理得2m2+m−1=0，

解得m=−1或m=12；

(2)复数z在复平面内的对应点为(m2−1,m+1)，

由点(m2−1,m+1)位于第二象限，

得m2−1<0m+1>0，解得−1<m<1，

则m的取值范围为(−1,1)；

(3)已知z为纯虚数，则m2−1=0m+1≠0，解得m=1，

则z=2i，z3=(2i)3=−8i，z2=(2i)2=−4，z2−z=−4−2i，

可得OA=(0,−8)，OB=(−4,−2)，

则向量OA在向量OB上的投影向量的坐标为OA⋅OB|OB|2OB=1620(−4,−2)=(−165,−85)．

17.解：(1)根据三视图知几何体由四棱台，棱柱，球组合而成，

又V台=13ℎ(S上+S上S下+S下)=13×2(80+80×320+320)=11203cm3，

V球=43πr3=43×π×23=32π3cm3，V柱=Sℎ=4×8×20=640cm319.解：(1)由已知