新湘教版七年级上册数学培优讲义

七年级上册

第一章有理数

第一讲有理数

益思对话

认识数学领域中的中国面孔

"一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现它的国力强大。”一一（法）拿破仑

自1840年鸦片战争始，腐败的清王朝屡次对外战争的失败，致使国门洞开，一次次丧

权辱国的割地赔款，使国人清醒地认识到西方世界科学技术之强大，而科学技术的强大又是

建立在基础科学的强大之上，而基础科学的语言与工具之一就是数学，虽然，中华民族有着

渊远博大、自成一派的数学体系，甚至从公元一世纪至十一世纪初长达一千多年的时间里傲

立于世界数学之巅，但随着十四世纪中叶明王朝建立之后，统治者奉行八股文的科举制度，

在国家科举考试中大幅度削减数学内容，自此中国古代数学开始全面衰弱，而几乎与此同时，

西方世界正值文艺复兴时期，崇尚科学之风盛行，近代高等数学也在这种氛围中开始萌芽、

发展、壮大，并为科学技术的发展提供了强有力的工具，而我国直至十九世纪末才开始近代

高等数学的学习与研究，虽然经过几代数学工作者的奋力追赶，但时至今日仍能深切感受到

与西方发达国家之间不小的差距，世界著名华人数学家、沃尔夫奖获得者陈省身曾说，我所

做的一切只为实现一个理想一一使中国成为21世纪数学大国，正是这种共同理想的激励之

下，一批又一批志士仁人前赴后继投身其中。

益思互动

1.整数和分数统称为有理数。

2.有理数还可以这样定义：

形如巴（其中m,p均为整数，县相#0）的数是有理数，这种表达形式被用来证明或

m

判断某个数是不是有理数。

3.有理数的数系表:

正整数

咽辱

员整数

布嵬数,正有JH小数

数正无取博界小教

分如

负有m小数

负分和

负无双循环小数

正整改

正有理数，【正分败

有理数1军

负整数

负分数

4.有理数可以用数轴上的点表示。

5.零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。

6.如果两个数的和为0,则称这两个数互为相反数，如果两个数的积为1,则称这两

个数互为倒数。

7.有理数的运算法则：

(1)加法：两数相加，同号的取原来的符号、并把绝对值相加；异号的取绝对值较大

的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0;一个数与0

相加，仍得这个数。

(2)减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

(3)乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘，积

为0o

乘方：求〃个相同因数口的积的运算称为乘方，记为

(4)除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

益思练场

1.下列说法中，正确的是()

A.负数和负分数统称为有理数B.正分数、负分数统称为分数

C.正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D.0不是有理数

2.把下列各数填相应的大括号里:

45

1,——,8.9,-7,-,-3.2,+1008,-0.06,28,-9.

56

正整数的有：｛｝；负整数的有：｛

正分数的有：｛）；负分数的有：｛

3.数轴上原点及其左边的点表示是（）

A.负整数B.正整数C.负数D.负数和0

4.如下图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长

度到达点C,若点C表示的数为1,则点A表示的数为（）

A.7B.3C.-3D.-2

5.数轴上到原点的距离为2的点所表的数是

6.请你指出下图中哪些不是数轴？并说出你判断的理由。

2

益思精析

类型一：有理数的概念

【例1.1]有如下四个命题：

①有理数的相反数是正数；②负数与正数的和为零；③两个负有理数的比值是正数;

④两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和。其中真命题有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【例1.2]一组数按规律依次为：q=-2,%=5,%=-7,….

（1）请猜想：依此规律的=；（2）如果我们定义一种新运算；

【变式1】定义一种对正整数〃的"F运算J①当”为奇数时，结果为3加+5；②当”为偶

数时，结果为外（其中k是使外为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取”=26,

则

若〃=499,则第449次"F运算”的结果是

类型二：比较大小

【例2】比较。与2a的大小

【变式2.1］已知有理数a,b满足一1＜。＜0,0＜》＜1,那么一。仇"廿厂^〃中最大数

是，最小数是o

【变式2.2］下列说法正确的是（）

A."黑"和"白"是具有相反意义的量B."快"和"慢"是具有相反意义

的量

C."向北走4.5m"和"向南走8m”是具有相反意义的量D."+15m”就表示向东走15m

【例3.1］有如下4个判断性语句：①符号相反的数互为相反数；②任何有理数的绝对值

都是非负数；③一个数的相反数一定是负数；④如果一个数的绝对值等于它本身，那么这

个数是正数，其中正确的有（）个。

A.1B.2C.3D.4

【变式3.1］数。在数轴位置如下图所示，那么a,-a」，-1大小顺序为。（用

aa

不等号连接）

【变式3.2］有理数。等于它的倒数，有理数6等于它的相反数，则

r2008

。2008_____

42008

类型二：科学计数法

【例4.1］据统计全球每分钟大约会有340000名婴儿诞生，婴儿出生数用科学计数法可表

示为名。

【例4.2］尽管受到国际金融危机的影响，但长沙市经济依然保持了平衡增长，据统计，截

止到今年4月底，我市金融机构存款余额约为1193亿元，用科学记数法应记为()

A.LigSxlO1。元B.1.193x10"元c.1.193x1012元D.1.193x1()13元

【变式4】横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥(ShellzhenBayBridge)是中国唯一倾斜的独

塔单索面桥，大桥全长4770米，这个数字用科学计数法表示为(保留两个有效数字)()

A.47xl02B.4.7X103C.4.8xio3D.5.0xlO3

【例4.31已知一个四位数的正整数用科学计数法，在保留三位有效数字以后为5.76x103,

则满足该条件的四位数有()个。

A.8B.9C.10D.11

【变式4.1】已知一个五位数的正整数用科学计数法,在保留三位有效数字以后为2.73X10'

则满足该条件的五位数有个。

类型三：找规律

【例5】观察下面一组数据，探求其规律：-工,2,-.

234567

(1)写出第7、8、9项的三个数；

(2)第2010个数是什么？

(3)如果这一组数据无限排列下去，与哪两个数越来越近?

【变式5］已知为=（—1）〃+1时，％=0；当〃=2时，2=2;当〃=3时，的=0；

则q+%+/+%++〃6的值为

益思拓展

A.夯实基础

1.如果两个数的和为正数，那么（）

A.这两个数都是正数B.一个数为正，一个数为0

C.两个数一正一负，且正数绝对值大D.必属上面三种之一

2.下列说法正确的是（）

A.负数没有倒数B.大于1的正数的倒数比自身小

C.任何有理数都有倒数D.-1的倒数是1

3.某市水质检测部门20XX年全年共监测水量达28909.6万吨，将数字28909.6用科学

记数法（保留两位有效数字）表示为（）

A.2.8x104B.2.9x104C.2.9x105D.2.9xltf

4.今年某市约有102001名应届初中毕业生参加中考，10200（用科学记数法)

A.0.102x106B.1.02x105c.10.2X104D.102X103

B.能力拓展

5.一个数的平方是4,这个数的立方是()

A.8B.-8C.8或一8D.4或一4

6.有如下三个结论

甲：a、b、c中至少有两个互为相反数,贝!Ja+6+c=0；

乙：a、b、c中至少有两个互为相反数，则（a+》）2+s+c）2+（c+a）2=o；

丙：a、b、c中至少有两个互为相反数，则（a+））（b+c）（a+c）=0。

其中正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

7.如果一个有理数的偶次幕是正数，那么这个有理数（）

A.一定是正数B.一定是负数C.是正数或是负数D.可以是任意的有理数

8.已知甲数是9的相反数，乙数比甲数的相反数大6,则乙数比甲数大。

C.综合创新

9.在等式3xn-2xn=15的两个方格内分别填一个数，使这两个数互为相反数且等式

成立，则第一个方格内的数是。

10.已知根、〃互为相反数，〃乃互为倒数，x的绝对值等于3,求

%3—(1+m+n+ab)x2+(m+n)x2001+(—ab)2m的值。

11.在五环图案内，分别填写五个数,a,4c,d,e,如图,其中a,》,c是三个连续偶

数

(a<Z?),d,e是两个连续奇数(d<e),且满足a+8+c=d+e,例如，请

你在0到20

之间选择另一组符合条件的数填入下图:

12.已知x、y互为相反数，a、6互为倒数，且|“=2,贝1］（%+丁）—加2+（"）201。=

b

13.三个互不相等的有理数，既可以表示为1,。+反。的形式，也可以表示为0,—,。的形式，

a

试求标总+尸侬的值。

第二讲数形结合话数轴

益思对话

笛卡尔(ReneDescartes,1596-1650),法国数学家，笛卡尔在数学上的最大贡献是提

出了解析几何学的主要思想和方法，并指明了其发展方面，他在《几何学》中，将逻辑、

几何、代数方法结合来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的轮廓，从此，数和形就走

到了一起。

数形结合切换体验

想体验一下数形相结合吗？问题是笛卡尔与欧拉都研究过的，你想试一试吗？

如图，四个图a、b、c、d都称作平面图，观察图6和表中对应数值，探究其中的规

律并作答。

(1)数一数每个图各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少区域，并将结果填

入表中(其中b已填好)。

«bcd

图abcd

顶点数(V)7

边数(E)8

区域数(F)3

(2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系。

数学符号的严历

在和科学的发展过程中，人类创造了用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比

语言、文字更简练、更直观、更具一般性。

纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的教学符号的使用又反过来促进了数学的

发展，历史就是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步继续走下去，数学的每个进步

都伴随着新的数学符号的产生。

"+"是15世纪德数数学家魏德美创造的，它的意思是：在横线上加上一竖，表示增加。

"―"也是德国数学家魏德美创造的，它的意思是：从加号中减去一竖，表示减少。

"x"是18世纪美国教学家欧德莱最先使用的，它的意思是：表示增加的另一种方法，

因而把加号斜过来写。

V”是18世纪瑞士人哈纳创造的，它的含义是分解的意思，因此用一条横线把两个圆

点分开。

"="是16世纪英国学者列科尔德创造的，列科尔德认为世界上再也没有比这两条平行

且相等的直线更相同的东西了，所以用来表示两数相等。

17世纪初，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中，第一次使用"、厂"表示根号。

17世纪德国数学家莱布尼茨在几何学中用"s"表示相邻似，用"之”表示全等。

益思互动

为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的在关模型,

如直尺，杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴(numberaxis)

模型，数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象。

数学一开始就是研究"数"和"形"的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来。

数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形

来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想一一数形结合思想。

利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥

梁，主要体现在：

1.运用数轴直观地表示有理数(rationalnumber)；

2.运用数轴形旬地解释数相反数(oppositenumber)；

3.运用数轴准确地比较有理数的大小；

4.运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题。

益思练场

1.--------的值是()

2

A.B.—C.-2D.2

22

2.若同=-a,则下列不等式中，成立的是（）

A.a<0B.a<0C.a>0D.a>0

3.实数。、人在数轴上的位置如图所示，则下列各式中，正确的是（）

-i_ai_

A.a>0B.b<0C.a>bD.a<b

4.如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位长度的点是（）

ABCD

-4-3-2-16i234

A.点DB.点AC.点A和点DD.点B和点C

5.若X<0,则一,等于（)

A.0B.XC.—xD.以上答案都不对

6.绝对值小于3.5的整数有（)

A.8个B.7个C.6个D.5个

7.若|加—3|+(〃+2)2=0,则%+2〃的值为()

A.-4B.-1c.0D.4

8.如果。与1互为相反数，那么|a+2|等于（）

A.2B.-2C.1D.-1

9.实数。、人在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）

01i

A.a+b>QB.a-b>0C.a-b>0D.—>0

b

益思精析

类型一：绝对值的几何意义

【例1】（1）数轴上有A、B两点，如果点A对应的数是—2,且A、B两点的距离为

3,那么点B对应的数是一。

2

（2）点A、B分别是数-3,—-在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到

2

A'B、且线段A'B'的中点对应的数是3,则点A,对应的数是—，点A移动的距离

是O

231

【变式1.11将—0.25,2.3,-0.15,0,——,——,——,0.05按从小大的顺序排

322

列，并用"<”连接：.

【变式1.2］把满足2<|。区5中的整数。表示在数轴上，并用不等号连接。

【变式1.3】20XX年8月8日，第29届奥运会在北京开幕，5个城市的国际标准时间

（单位：时）在如图的数轴上表示，那么北京时间20XX年8月8日20时应是（）。

A.伦敦时间20XX年8月8日11时B.巴黎时间20XX年8月8日13时

C.纽约时间20XX年8月5时D.首尔时间20XX年8月8日19时

缸妁伦敦巴要北京首尔

【例2】阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示数a、b,A、B两点之间的距离表示为|AB|,当A、B两点中有

一点在原点时，不防设点A在原点，如图①，|AB|=|OB|=|Z?|=|a-b|；

当A、B两点都不在原点时：

(1)如图②上，点A、B都在原点的右边，|AB|=|OB|-|0A|=\b\-\a\=b-a=\a-b\i

(2)如图③，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|—|OA|=网一时=(一人)一(一。)=|。一"；

(3)如图④,点A、B都在原点两边|AB|=|OA|+|OB=|a|+网=4+(—中=|。一切.

叫RxQ44k产4。--Q4.

则ao>ib-oio-

6⑪0⑥

综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|。-加.

回答下列问题：

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；

(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x

为;

(3当代数式|x+l|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是0

【变式2.1］如下图，已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、1、-1,那么|a+l|

表示()

A.A、B两点间的距离B.A、C两点间的距离

C.A、B两点到原点的距离之和D.A、C两点到原点的距离之和

I1I_______I.

C08A

【变式2.2］求|%-2|+归-4|的最小值。

2012

【变式2.3］若x=2JJl!j|x-l|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=

2013

【变式2.4］设y=|x—l|+|x+l|,则下面四个结论中正确的是（）。

A.y没有最小值B.只有一个x使y取最小值

C.有有限个X使y取最小值D.有无限多个X使y取最小值

类型二：绝对值的应用

［例3］李明家在一条东西走向的街道上，他家东面100米处有一家超市A,西面600

米处有一家医院B,李明在东面离家800米的学校C上学，若李明家为原点，向东为正方向，

以100米为单位长度，画出数轴。

（1）超市A、医院B、学校C各表示的数是多少？

（2）超市A到医院B的路程是多少？

（3）一天李明从家去医院打针，然后赶回学校上课，最后回家，李明这天所走的路程

是多少？

【变式3.1］按照要求在数轴上完成点的移动，并说明移动后的点所表示的数。

(1)点A在数轴上表示的数是-2,将点A向右移动5个单位长度，点S表示的新数

是多少？

如图(1),数轴上A、B两点所表示的有理数的和是o

实数。、人在数轴上的位置如图(2)所示，则下列结论正确的是()

A.a+b>0B.a-b>0C.ab>0D.—>0

b

-4-3-2-10123-101

8⑵

【变式3.2】在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如下图所示。

有下面四个结论：

@abc<Q',(^)\a-b\+\b-c\=\a-c\；(3)(a-b)(b-c)(c—a)>0；@\a\<X-bc,其

中，正确的结论有()o

A.4个B.3个C.2个D.1个

abe

-I01

【变式3.3］已知。、b为理数，且4>0,》<0,。+6<0将四个数。,6,-。,一6按由小

到大的顺序排列是=

【变式34］已知两数a、b,如果。比4大,试判断⑷与旧的大小。

类型三：数轴与绝对值

【例4】已知㈤=1,网=2,|c|=3,且那么a+b-c=

【变式4.1］已知m=2,求Q的值。

【变式4.2］已知|〃|=2,网=3,求a+Z?的值。

【变式4.3］已知：|a+》|+|a—"=2＞，在数轴上给出关于。、b的四种情况如图所

示，则成立的是.,（写出所有正确的序号）

a0b

①

0。

③

【例5】电子跳蚤落在数轴上的某点Ko,第一步由K。向左跳一个单位K1,第二步由K]

向右跳两个单位到K2,第三步由K2向左跳三个单位到K3,第四步由K3向右跳四个单位

到......按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K]0G所表示的数恰是19.94,试

求电子跳蚤的初始位置K。点所表示的数。

【变式5】(1)工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E,一只工具箱应该放

在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？

(2)如果工作台由5个改为6个，那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工

具所走的路程之和最短？

(3)当流水线上有〃个工作台时，怎样放置工具箱最适宜？

向思拓展

A.夯实基础

1.(1)如果数轴上一点A所表示的数是3,那么与点A相距4个单位的点所表示的数

是O

(2)数轴上，在表示100到200的点之间，表示整数的点共有个，在表示-100

到-200的点之间，表示整数的点总共有个。

2.如下图，数轴上A、B两点分别对应实数。、b,则下列结论正确的是()

_B_,_A_.”

i-10o1

A.a+b>QB.ab>OC.a—b^QD.|。|一例>0

3.a、人在数轴上的位置如图所示，把a、b、-a,―方按照从小到大的顺序排列,

并用"〈"连接起来。

4.文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20777

处，玩具店在书店东边100m处，小明从书店沿街向东走了40m,接着又向东走了-60相，

此时小明的位置在()

A.文具店B.玩具店C.文具店西边40mD.玩具店东边-60加

B.能力拓展

5.试求,一1|+|九—2|的最小值。

6.若a>0,6<0,则使|x-a|+|x-b|=a->成立的x的取值范围是

7.父亲是儿子现在年龄时，儿子已经10岁了，当儿子是父亲现在年龄时，父亲将82

岁，问父子相差几岁？

8..已知数轴上有A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么点B对应的

数是。

C.综合创新

9.已知a<5,比较⑷与4的大小。

10.已知|a-加=1,旧一c|=3,则|a-c|=

11.若则使|九一〃|+|%+川=。一6成立的工的取值范围是

12、在某寄宿制中学，有十位同学要去洗衣服，而洗衣服的地方只有一个水龙头，每次

只能让一位同学洗衣服，其他同学得等待，这十位同学洗衣服所花的时间分别是

6,3,5,7,2,8,4,9,3,10,现在要你帮他们安排一下洗衣服的顺序，使得他们等待的时间总和

最小，怎样安排？最少等待时间为多少？

13.在数轴上，N点与原点的距离是N点与30所对应的点之间的距离的4倍，那么N

点表示的数是多少？

第三讲绝对值

益思对话

马丁•加德纳(MartinGardner,1914-),当代美国作家，《科学美国人》杂志的主编，他以

撰写趣味数学文章而闻名于世，有“数学园丁"、"数学传教士"的美称，《科学美国人》杂志

数学游戏专栏20余年的连载文章，使他成为"数学神庙的守护神”，著有《数学游戏》、《啊

哈！灵机一动》等。

茶杯与硬币

这是一道如今称为"急转弯”的问题，它自身的喻义已打破人们传统的思维，而向着诡辨

方向发展，这也许正是灵机一动！

【题】如图，四枚硬币放在三只玻璃杯中，使每只玻璃杯中的硬币数都是奇数。

【解】奇数个奇数和仍是奇数，这样的问题似乎无解，但请你注意下面的解法一一将其

中两只玻璃杯摞起来，就找到答案了。(注：此题还有其他解答，读者不妨一试)。

益思互动

1.在数轴上，数。对应的点与原点的距离称为数。的绝对值，记作时。

2.任何一个数。的绝对值都是非负数，也就是说，任何一个数a的绝对值都不小于零，

即|a|>00

3.任何一个数a的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即时2a,且

|a|>-ao

4.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

5.两个负数，绝对值大的反而小；两个数，若绝对值相等，则这两个数可能相等，也

可能互为相反数。

6.常用公式：卜之卜同2="；同=时.1小

IIdI

7.在数轴上，忖的意义是数x对应的点与原点的距离；|x-a|的意义是数x对应的点

与数。的对应点之间的距离。

益思练场

1.在下列语句：①—5是相反数；②一5与+3互为相反数；③—5是5的相反数；

④—3和+3互为相反数；⑤0的相反数是0,其中正确的是（）

A.①②B.②③⑤C.①④⑤D.③④⑤

2.一个数的相反数小于它本身，这个数是（）

A.有理数B.正数C.负数D.零

3.若即b互为相反数，且则有（）

Z?八b，bb

A.—>0B.——1C.——0D.—=—1

aaaa

4.在所有的有理数中，绝对值最小的是o

5.在数轴上,与表示5的点的距离等于10的点有个,它们表示的数分别是

6.当人<0时，—=；若叵^=1,则尤为o

7.化简|3.14|-»|的结果是（）

A.3.14—7iB.3.14+7iC.71—3.14D.—n—3.14

益思精析

类型一：去绝对值问题

【例1】三个数a、b、C在数轴上的对应的点如图所示，化简a+|a+4—卜―3―d

01

【变式1.1】化简：+|(2+Z?|-|c-4/|+2|/?-c|(^<Z?<0<c)

【变式1.2】已知〃、b、。在数轴上表示的数如图年示，请化简:

B+4-B—4—卜—d—|c—z?|+W—卜24

IIII.

c60a

类型二：求值问题

【例2】已知,一1|=2,曰=3,且a>b,则a+b为

1y

【变式2】已知|x|=4,|y|=—,且孙<0,则-的值等于

2y

类型三：非负数问题

【例3】若|x+l|与卜―2|互为相反数，求

—i—+---------------++-------------i------------的值。

(x+2)y(x+3)(y+l)(x+2008)(y+2006)

【变式3】如果|加一3|+(〃+2尸=0|,则方程3m+2=x+〃的解是。

类型四：分类讨论问题

［例4］已知♦、b、。满足(a+Z?)(Z?+c)(c+a)=0,且aZ?c<0,则代数式

的值为_______。

l«l\b\|c|

【变式4】若abwO,则g+_L不能等于—2,0,1,2这四个数中的()

1«1闻

A.-2B.0C.1D.2

类型五：几何意义问题

［例5］忖具有非负性，其最小值为了，试探究机为有理数时，|加-2|+|加-5］有没

有最小值？如果有，求出这个最小值；如果没有，请说明理由。

【变式5】代数式门+“+卜—1z+归+叫的最小值为

【变式5.1］试求,―1+|x—2|+|x—2|+--+卜—201$的最小值。

类型六：条件绝对值问题

［6］已知〃、b>c>d是有理数，|。一4W9,上一,V16,且|。一5-<:+4=25,

那么性=O

【变式6］已知同=5,网=3,且,一闿=/?—〃，那么〃+/?=

佥思拓展

A.夯实基础

1.—|---|的值是)

2

]_£

A.B.C.-2D.2

22

画4

2.数一|—I是）

2003

A.B.C.非正数D.零

3.若。为有理数，则下列说法中，正确的是（）

A.|。+1|的值是正数B.—1。+1|的值是负数

C.IM+1的值是正数D.—H+l的值小于1

B.能力拓展

4.使代数式-土皿的值为正整数的x值是（）

X

A.正数B.负数C.非零的数D.不存在的

5.a的相反数是最大的负数，方的绝对值是最小的正整数，则a+b=

6.已知。、b、c为有理数，且|工。—20|+|。+1|=0,求"的值。

7.如果同=3,网=5,那么4的绝对值等于

C.综合创新

8.若卜4=一。，则下列不等式中，成立是（）

A.a<0B.a<QC.6/>0D.a>0

9.已知—=y—且N=3,|y|=4,求孙的值。

10.已知a、b、c都是负数，并且上一4+|丁一。|+2一0|=0，贝1J*z是（）

A.负数B.非负数C.正数D.非正数

2001

若x=2则N+卜―1|+|%-2|+|%—3|+归_4+卜一目=

2002

12.试求卜―2|+|x—4|++|x—2012|的值。

13.已知a,瓦c,d为四个连续的正整数，在它们之间添加上“+”，“一”符号，并依次

计算，所得可能的最小非负数是多少？若只能用“一”和绝对值，但不需要依次（自然顺序）,

则所得的最小非负数是多少？

第四讲有理数及其运算

益思对话

数学中的两大"诺贝尔奖"

大家都知道诺贝尔奖中没有数学这个科学之王的份额，这无疑使在数学中取得成就的

人失去了受表彰的机会，正是在这种情况下，世界上先后树起了两个数学大奖：一个是四年

颁发一次的菲尔兹奖，另一个是每年颁发的沃尔夫大奖，这两个奖项被人们称为"数学中的

诺贝尔奖”。

菲尔兹奖

菲尔兹奖是用已故加拿大数学家、教育学家J.C菲尔兹的姓氏命名的，为了使北美洲数

学迅速发展并赶上欧洲，他第一个在加拿大推进研究生教育，并全力筹备和主持了1924年

在多伦多召开的第届国际数学家大会，这是在欧洲之外召开的第一次国际数学家家大会，正

是这次大会使他过分劳累，从此健康状况再也没有好转，当他得知这次大会的经费有结余时，

就萌发了把它作为基金设立一个国际数学奖的念头，他为此积极奔走于欧美各国谋求广泛支

持，并打算于1932年在苏黎民召开的第九届国际数学家大会上亲自提出建议，但不幸的是

未等到大会开幕他就去世了，他立下遗嘱，把自己留下的遗产加到上述剩余的经费中，第九

届国际数学家大会立即接受了这一建议，为赞菲尔兹的远见卓识，组织才能和他为促进数学

事业的国际交流的所表现的无私奉献的伟大精神，大会一致同意将该奖命为"菲尔兹奖"。

它的产生很特点：数学界的国际权威学术团体一一国际数学联合会主持，从全世界第

一流40岁以下的数学家中评选；在每隔4年召开一次的国际数学大会上隆重颁奖，开始时

每次获奖者只有2人，1965年，得到一位不希望透露姓名的人的赞助后而从1966年起获奖

者增加到2〜4人，因此获奖的机会比诺贝尔和沃尔夫奖还要少；获奖者是当时最著名的、

成果最卓著的数学家。

沃尔夫奖

1976年1月1日，沃尔夫及其家族捐献1000万美元成立了沃尔夫基础会，其宗旨主

要是为了促进全世界科学艺术的发展。

沃尔夫1897年生于德国，其父是德车汉诺威城的一位五金商人，也是该城犹太社会的

名流，沃尔夫曾在德国研究化学，并获得博士学位，第一次世界大战前，他移居古巴，他用

近20年的时间，做了大量实验，历近艰辛，成功地发明了一种熔炼废渣回收铁的方法，从

而成为万百富翁，1961~1973年，他曾任古巴驻以色列大使，他沃尔夫基金会的倡导者和

主要捐献人，活尔夫于1981年逝世。

沃尔夫基金会的理事会主席由以色列政府官员担任，评奖委员会由世界著名的科学家

组成，以前沃尔夫基金会只设数学、物理、化学、医学、农业5个奖，后增设艺术奖，于是

现在有6个奖，1978年开始颁发，通常是每年颁发一次，由于沃尔夫数学关具有终身成就

奖的性质，所以获奖的数学家都是蜚声数坛的当代数大师，他们的成就在相当程度上代表了

当时数学的水平和进展。

一、有理数的运算归根结底是运用符号法则，确定结果的符号后再运算各项的绝对值

是基本法，在有理数的运算过程中，虽然掌握运算法则是关键，但是由于题目的种类繁多，

特点不一，别是有些数学竞赛题，往往数值大，项数多，次数高，显得很复杂，其实大多数

有隐含的某种规律，因此运算技巧不可忽视，而技巧来自细心的观察和大胆的探索，有理数

满足的运算律：

①加法交换律：a+b=b+a；

②)加法结合律：(a+>)+c=a+(b+c)；

③乘法交换律：ab=ba；

④乘法结合律：(ab)c=a(bc)；

⑤乘法对加法的分配律：a(Jb+c}=ab+ac..

二、有理数的运算是代数的重点，也是难点。对于数学这门基础性很强的学科，学会

巧算，有利于打牢基础，提高代数解题能力，培养我们思维的灵活性和敏捷性。

有理数的计算常用的技巧与方法有：

1.拼凑法；

(1)一般把同号的数加在一起；

(2)遇到分数可反分母相同的结合起来相加；

(3)遇到小数应当把当中相加得整数的小数结合起来；

(4)代数和为零的数加在一起；

(5)遇到因数是分数时，可把便于约分的因数结合在一起；

(6)遇到因数是小数时，可把相乘得整数的因数结合在一起。

2.活用分配律:

(1)遇到〃个分母不同的分数

的代数和乘以一个数时，若通分较繁，可分配律简化计算；

(2)遇到4〃个积的代数和，而每个积里恰好有相同的因数，可逆用分配律使计算简

化。

3.数列求和。

益思练场

1.写成省略加号和括号的形式后为-6-7-2+9的式子是()

A.(-6)-(+7)-(-2)+(+9)B.-(+6)-(-7)-(+2)-(+9)-(46)

C.(—6)+(—7)—(+2)—(—9)D.-6-(+7)+(-2)-(-9)

2.有理数。、b在数轴对应的位置如图1-5所示，则a+Z?的值()

~i0a»

A.大于0B.小于0C.等于0D.大于a

3.一只蚂蚁从某点M出发，在一条直线上来回爬行，把它向右爬行的路程记为正数，

向左爬行的路程记为负数，爬过的各路路程分别为：—3cm,10cm,—8cm,+5cm,

—6cm,+12cm,—10cm。

(1)这只蚂蚁最后是否回到出发点M?

(2)蚂蚁离出发点M最远时是多少？

4.若干个不等于。的有理数相乘，积的符号(

A.由因数的个数决定B.由正因数的个数决定

C.由负因数的个数决定D.由负因数和正因数的个数决定

5.若两个有理数的和与它们的积都是正数，则这两个数()

A.都是正数B.是符号相同不为0的数

C.都是负数D.都是非负数

6.计算:

159(2)(-9)x(一：)x：x(一5)

(1)(---)x(---)

1810

益思精析

类型一：加减运算问题

【例1】(-0.125)+(-0.75)+|--|+i

I4J8

2275

【变式1】(1)-0.6-0.08+----------0.92+2+—

51111

+9+Y

44

类型二：乘除运算问题

【例2】计算：

(2)17x18-(37)次.々4188)x

(4)(-36)xf|+-|--|j+|-5|

(3卜1：*+1

⑸99x、99||

【变式2】（I）4.21X[-：]+[-：]X2.7914

(2)4-x25+32y-4+0.25xl24

⑶—[I]x3-4+1-|bg+8x]-：

11

(4)-16-(0.5-1+—x[-2-(-3)27]-|--0.52|

3o

类型三：裂项相消问题

[例3]-L+J-+J-++——!——

1x22x33x42011x2012

357911131517

【变式3.1】—+一

26122030425672

【变式3.2】Ix2+2x3+3x4++2011x2012

类型四：数列求和问题

【例4】111

-H-----

281024

1111111

【变式4.1】H---1----1----1-----1-----F~\------