一轮复习理数版：第四单元 导数及其应用

第四单元导数及其应用

教材复习课“导数”相关基础知识一课过

导数的基本运算

［过双基］

1.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

f（x）=c（c为常数）f(x)=0

a）=/（"GQ*）f(x)=nx"~l

f(x)=sinxf(x)=cos_x

f(x)=cosXf(x)=—sin_x

f(x)=af(x)=ax\n_a

f(x)=exf(x)=ex

/(x)=log«x(a>0,且〃W1)f'(x)-/

J、7xlna

/(x)=lnxf(x)=1

2.导数的运算法则

（i）［）w±a刘=f（x）±g'（X）；

(2)[]力仪刈'=f(x)g(x)+f(x)g'(x)；

网/'(x)g(x)—兀r)g'(X)

⑶Lg（x）J(g(x)WO).

3.复合函数的导数

复合函数y=/（g（x））的导数和函数〃=g（x）的导数间的关系为"'=yj•g',即y对

x的导数等于j对"的导数与“对x的导数的乘积.

［小题速通］

1.下列求导运算正确的是（）

AG+5=1+3B-(log2X)'=去

xD.(x2cosx)r=_2sinx

C.(3*)'=3log3e

解析：选B(x+3'=l—~2；(logix)'=:2；(3")'=3xln3;(x2cosx)'=2xcosx-x2sin

x,故选B.

2.函数兀r)=(x+2a)(x-a)2的导数为()

A.2(x2-a2)B.2(x2+a2)

C.3(x2-a2)D.3(x2+a2)

解析：选C=(x+2a)(x—a)2=x3—3a2x+2a3,

f'(x)=3(x2—a2).

3.函数/>)=〃1+3/+2,若/(-1)=4,则。的值是()

,19口16

A.§B.y

c1310

C式D式

解析：选D因为r(x)=3a*2+6x,

所以/'(-l)=3a-6=4,

，

所uc以"=§10.

4.(2016•天津高考)已知函数/i»nQx+De*,/'(x)为八x)的导函数，则/'(0)的值为

解析：因为/>)=(2x+l)e*,

所以/'(r)=2ex+(2x+l)ex=(2x+3)ex,

所以(0)=3e°=3.

答案：3

5.函数y=EQ：+l)的导数为.

,_ln(2x+1)'[ln(2x+l)]'工厂/ln(2x+l)

解析：y

(2x+l),,2x,

2x+1-x-ln(2x+l)药一ln(2x+l)

2x-(2x+l)ln(2x+1)

(2x+l)x2

K安,2x—(2x+l)ln(2x+l)

答案7=后正?

［清易错］

1.利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x")'="x"T中"W0且"GQ*,

(cosx)'=_sinx.

2.注意公式不要用混，如(M)，=/加〃，而不是=x/T.

1.已知函数/U)=siiix—cosx,若r(X)=，X),则tanx的值为()

A.1B.—3

C.-1D.2

解析：选B,:f(x)=(sinx-cosx)'=cosx+sinx,

又r(工)=加),

:.cosx+sinx=^sinx-jcosx,

/.tanx=-3.

2.若函数兀r)=2*+lnx且，3)=0,则2%i2"=()

A.-1B.1

D.In2

(x)=2Jln2+1,由/'(a)=2"ln2+1=0,得2"ln2=一《，则Eln2=-1,

解析：选A

即2flln2"=-1.

导数的几何意义

［过双基］

函数/(尤)在点刈处的导数r(xo)的几何意义是在曲线y=/U)上点如丁的)处的切线的斜率(瞬

时速度就是位移函数s(f)对时间f的导数).相应地，切线方程为y一%=牝(Xjj＞(x一理).

［小题速通］

1.(2018•郑州质检)已知＞=_/")是可导函数，如图，直线y=fcr+2

线y=_/U)在x=3处的切线，令g(x)=j^x),g'(x)是g(x)的导函数，

g'(3)=()

A.-1B.0

C.2D.4

解析：选B由题图可知曲线y=_/a)在x=3处切线的斜率等于一；，.*./(3)=—1,

Vg(x)

=A/(X),：.gr(x)=f(x)+xfr(x),：.gf(3)=f(3)+3f(3),又由题图可知人3)=1,所以g，(3)=1

+3X=0.

2.设函数/(x)=Hnx,则点(1,0)处的切线方程是.

解析：因为/'(x)=lnx+l,所以/'(1)=1,所以切线方程为x-y-l=0.

答案：X—j—1=0

3.已知曲线＞=2炉的一条切线的斜率为2,则切点的坐标为.

解析：因为=4x,设切点为(/n,n)9则4m=2,所以机=；,贝4〃=2义

一/则切点的

坐标为

答案:

4.函数y=/(x)的图象在点拉(1,犬1))处的切线方程是y=3x—2,则人1)+，(1)=

解析：因为函数y=_/i>)的图象在点M(l,川))处的切线方程是y=3x-2,所以/'(1)=3,且

/(1)=3X1-2=1,所以式1)+//⑴=1+3=4.

答案：4

［清易错］

1.求曲线切线时，要分清在点尸处的切线与过尸点的切线的区别，前者只有一条，而后者包

括了前者.

2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

1.若存在过点(1,0)的直线与曲线7=/和7=⑪2+竽x—9都相切，则。等于()

«-25„-21

A.—1或一记B.一1或彳

C.或一卷D.T或7

解析：选A因为y=d,所以<=3x2,

设过点(1,0)的直线与y=%3相切于点(M,xo),

则在该点处的切线斜率为左=3后，

3

====

所以切线方程为y—Xo3XQ(X—XQ)9即y3x^x—又(1,0)在切线上，则XQO或XQT,

1525

当即=0时，由y=0与7=〃y+亍；一9相切，可得。=一

3272715

当劭=弓时，由丁=7%一丁与7=依2+彳工-9相切，可得a=-1,所以选A.

2.(2017•兰州一模)已知直线产2x+l与曲线j=x3+ax+ft相切于点(1,3),则实数b的值为

解析：因为函数y=x3+ax+b的导函数为y'=3x2+a,所以此函数的图象在点(1,3)处的切线

斜率为3+a,

3+a=2,

所以,解得

3=1+〃+。,b=3.

答案：3

利用导数研究函数的单调性

［过双基］

1.函数/(X)在某个区间(〃，方)内的单调性与，(“)的关系

(1)若/(x)>0,则/(x)在这个区间上是增加的.

(2)若/(x)<0,则/(x)在这个区间上是减少的.

(3)若/■'(x)=0,则/(x)在这个区间内是常数.

2.利用导数判断函数单调性的一般步骤

⑴求,(x).

(2)在定义域内解不等式/(x)>0或/•'(x内0.

(3)根据结果确定/(©的单调性及单调区间.

［小题速通］

1.函数｛X)=2d—9f+12x+l的单调减区间是()

A.(1,2)B.(2,+°0)

C.(一8,1)D.(一8,1)和(2,4-00)

解析：选A解(x)=6f-18x+12<0可得l<x<2,所以单调减区间是(1,2).

2.已知函数八x)的导函数/'(幻=依2+加+。的图象如图所示，则/(X)的图象可能是()

解析：选D当x<0时，由导函数，(x)=ax2+Z>x+c<0,知相应的函数/(x)在该区间内单调

递减；当x>0时，由导函数/'(x)=ax2+Bx+c的图象可知，导函数在区间(0,X。内的值是大于0

的，则在此区间内函数八x)单调递增.只有D选项符合题意.

3.已知/：x)=f+ox+31nx在(1,+8)上是增函数，则实数。的取值范围为()

A.(-8,—2^/6］B.(-8,坐］

C.［-2^6,+8)D.［-5,+8)

解析：选C由题意得/'(x)=2x+a+：=2*+；*+320在(1,+8)上恒成立台g(x)=2f+

7=/—24>0,

ax+320在(1,+8)上恒成立0/=.2-24忘0或(一彳W1,0-2祈WaW2加或a>2而o

名(1)=5+心。

a2—2祈，故选C.

［清易错］

若函数y=Ax)在区间(〃，份上单调递增，则，(幻20,且在(〃，3的任意子区间，等号不恒成

立；若函数y=/(x)在区间3,3上单调递减，则/，(x)<0,且在(用方)的任意子区间，等号不恒成

立.

若函数式")=/+“2+帆”+1是R上的单调增函数，则m的取值范围是.

解析：V/(x)=x3+x2+mx+1,

:・f(x)=3x2+2x+m.

又・・V(x)在R上是单调增函数，・•・/(x)20恒成立，

，4=4-12m<0,即m

答案：住，+°°)

利用导数研究函数的极值与最值

［过双基］

1.函数的极大值

在包含刈的一个区间3,勿内，函数y=Ax)在任何一点的函数值都小王X。点的函数值，称点

xo为函数y=/(x)的极大值点，其函数值/(刈)为函数的极大值.

2.函数的极小值

在包含斯的一个区间3,份内，函数y=/(x)在任何一点的函数值都大至xo点的函数值，称点

刈为函数y=/W的极小值点，其函数值/(X。)为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值，极大

值点与极小值点统称为极值点.

3.函数的最值

(1)在闭区间［a,@上连续的函数/U)在［a,与上必有最大值与最小值.

(2)若函数/(x)在［a,6］上单调递增，则刎为函数的最小值，曲为函数的最大值；若函数/(x)

在［a,句上单调递减，则©为函数的最大值，改为函数的最小值.

［小题速通］

1.如图是/(X)的导函数/'(X)的图象，则/(X)的极小值点的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选A由图象及极值点的定义知，人外只有一个极小值点.

2.若函数八X)=1+.了2+3工-9在x=-3时取得极值，则a的值为()

A.2B.3

C.4D.5

解析：选D/'(x)=3x2+2ax+3,由题意知/'(-3)=0,Pp3X(-3)2+2aX(-3)+3=0,

解得a=5.

3.(2017•济宁一模涵数兀》:)=¥一加x的最小值为()

A.lB.1

C.0D.不存在

1X2—1

解析：选Af(x)=x—~=---,且x>0.令，(x)>0,得41;令(x)<0,得0vxvl.・\/(x)

在x=l处取得极小值也是最小值，JL/(1)=T—In1=T.

4.若函数式工)=$2—ax+lnx有极值，则。的取值范围为.

1x"-dx+1

解析：f(x)=x-«+-=-------------(x>0),

因为函数大刈=\：2—“X+EX有极值,

令g(x)=x2—ax+1,且g(0)=l>0,

所以3/、2解得。>2.

bd+k。，

答案：(2,+8)

5.设刈，应是函数加)=“3—的两个极值点，若工1<2Vx2，则实数。的取值范围是

解析：由题意，f(x)=3x2—4ax+a2=0,得3=:或a.

a>2,

a

又•.”iV2V*2,.*.XI=T,X2=a/.,)a/.2<a<6.

39g

答案：(2,6)

［清易错］

1./'(斯)=0是xo为兀r)的极值点的既不充分也不必要条件.例如，f(x)=x3,f(0)=0,但

x=0不是极值点；又如八x)=|x|,x=0是它的极小值点，但r(0)不存在.

2.求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论.

1.(2017•岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是(j

A.y=x3B.j=ln(—x)

r.2

C.y=xeD.j=x+-

解析：选D因为A、B为单调函数，所以不存在极值，C不是奇函数，故选D.

2.设函数{x)=*3—3x+l,工仁［-2,2］的最大值为M，最小值为,〃，则M+nz=.

解析：f(X)=3X2-3,

由f'(x)>0可得x>l或x<—1,

由r(x)<0可得一1<X<L,

所以函数式x)的增区间是［-2,-1］,［1,2］,减区间是［-1,1］.

又因为八-2)=—1,八-1)=3,c1)=-1,{2)=3,

所以M=3,m=—l,

所以M+桃=2.

答案：2

定积分

［过双基］

1.定积分的概念

在/%(x)dx中，a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间［a,@叫做积分区间，麴叫做被积

函数，%叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.

2.定积分的性质

(1)Cbkf(x)dx^kCbf(x)dx(k为常数);

aa

Q)/比(M土钮M]dx=J*/i(x)dx士/%(x)(Lr；

⑶//lx)dx=jV(x)dx+/y(x)dx(其中a<c<b).

3.微积分基本定理

一般地，如果八X)是区间［a,0上的连续函数，并且尸'(》)=/&),那么£破欣=尸(力一尸3),

这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼茨公式.

其中尸(x)叫做八x)的一个原函数.

bIb

为了方便，常把尸®一尸⑷记作尸(X),即//(x)dx=F(x)|=尸3)一尸3).

［小题速通］

lgx,x>0,

{x+£3/df,xWO,/(/⑴)=1，则。的值为()

A.1B.2

C.-1D.-2

解析：选A因为/U)=lg1=0,/(0)=r3/必=/=屋，所以由心i))=i得〃3=i,所以

Jo0

2・/1(炉+*)&=

1

解析:+x)dx=9+上

o2,

答案：e-；

3.(2015•天津高考)曲线与直线y=x所围成的封闭图形的面积为

解析：如图，阴影部分的面积即为所求.

y=x,

由得A(l,l).

ly=x

故所求面积为s=

答案：I

［清易错］

定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.

由曲线和直线x=0,x=l,y=/所围成的图形（如图所示）的面积为（）

11

CD4

解析：选O由题意及图形可得阴影部分的面积

S=Q-x2^dx+（x?-/dx

11

2+&="）।4

02

□双基过关检测

一、选择题

1.已知函数八x）=logM（a>0且aWl）,若/'（1）=-1,贝！Ja=（）

A.eB.|

C.AD.；

解析：选B因为（x）=・p所以/'（1）=含=一1，所以加a=1l,所以a=：.

2.直线y=^+l与曲线》=?+招+办相切于点A（l,3）,则2〃+8的值为（）

A.-1B.1

C.2D.-2

解析：选C由曲线>=—+依+万，得y'=2x+a,

1+1=3,k=2,

由题意可得-k=2+a,解得•a=0,

_l+a+b=3,b=2,

所以2a+b=2.

3.函数y=2x3—3f的极值情况为（）

A.在x=0处取得极大值0,但无极小值

B.在x=l处取得极小值-1,但无极大值

C.在x=0处取得极大值0,在x=l处取得极小值一1

D.以上都不对

解析：选Cy'=6x2—6x,

由y'=6x2—6x>0,可得x>l或x<0,

即单调增区间是(一8,o),(1,+°°).

由y'=6x2—6x<0,可得Ovxvl,

即单调减区间是(0,1),所以函数在x=0处取得极大值0,在x=l处取得极小值一1.

4.若f(x)=-$2+Mnx在(1,+8)是减函数，则机的取值范围是()

A.[1,+°°)B.(1,+°0)

C.(一8,1]D.(一8,1)

解析：选。由题意，r(x)=—在(1,+8)上恒成立，即机在(1,+8)上恒成

立，又因为才>1,所以血<1.

5.函数次幻=(%—3)，的单调递增区间是()

A.(一8,2)B.(0,3)

C.(1,4)D.(2,+8)

解析：选。依题意得了'(x)=(x—3)'ex+(x—3)(ex)/=(x—2)ex,令(x)>0,解得x>2,

・\危0的单调递增区间是(2,+8).故选D.

6.已知函数/U)=x(x—m)2在x=l处取得极小值，则实数机=()

A.0B.1

C.2D.3

解析:选Bf(x)=x(x2—2mx+m2)=x3—2mx2+m2x,所以f'(x)=3x2—4mx+m2=(x—m)(3x

-m).由f'(1)=0可得m=l或m=3.当m=3时，『(x)=3(x-l)(x-3),当l<x<3时，(x)<0,

当xvl或x>3时，f'(x)>0,此时在x=l处取得极大值，不合题意，・・・m=l,此时f，(x)=(x-

l)(3x—1),当;<x<1时，(x)<0,当或x>l时，f'(x)>0,此时在x=l处取得极小值.选

7.由曲线y=x2—l,直线x=0,x=2和x轴所围成的封闭图形的面积是(

A.J*2(x2-l)dx

B.y2|x2-l|rfx

C.J*2(x2—l)dx

D.^fx2-l)dx+J*2(l—x2)dx

解析：选B作出封闭图形的示意图如图所示,

易得所围成的封闭图形的面积是

5=^(l-x2)dx+f2(x2—l)dx=p2|x2—l|dx.

J011J0

1—2*,xWO,

8.若函数/(x)=3,的值域为[O,+8),则实数。的取值范围是()

X—3x+a,x>0

A.[2,3]B.(2,3]

C.(-8,2]D.(一8,2)

解析：选A当xWO时，0段/出=1-2*<1;

当x>0时，f(x)=x3~3x+a,f(x)=3x2—3,

当xG(0,l)时，f(x)<0,<x)单调递减，

当xG(l,+8)时，f(X)>O,/x)单调递增,

所以当x=l时，函数次x)取得最小值加)=1-3+。=。-2.由题意得OWa—2W1,解得2WaW3,

选A.

二、填空题

9.若函数/(x)=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是.

解析：由题意知人》)的定义域为(0,+°°),f'(x)=l+p要使函数/(x)=x+alnx不是单调函

数，则需方程1+：=0在(0,+8)上有解，即X=一°,.•.”<0.

答案：(一8,0)

10.已知函数/(x)=lnx-r(—l*+3x-4,则/(1)=.

解析：(x)=：—2/'(―l)x+3,

：.f(-l)=-l+2f(-1)+3,

：.f(-l)=-2,：.f(l)=l+4+3=8.

答案：8

11.已知函数八x)的图象在点M(l,_/U))处的切线方程是y=%+3,则｛1)+/'(1)=.

117

解析：由题意知/'(，

1)=5N,/U)=5X1+3=5N

71

(1)=2+2=4-

答案：4

x-12

12.已知函数g(x)满足g(x)=g'(l)e—g(0)x+1x,且存在实数x0,使得不等式2m—l^g(x0)

成立，则实数机的取值范围为.

解析:g'(x)=gz(l)ex-1—g(O)+x,

令x=l时，得g'(l)=g'(1)—g(O)+l,

•••g(O)=l,g(O)=g,(l)e0-1=l,

：.g'(l)=e,

/.g(x)=ex—x+jx2,g'(x)=ex_1+x,

当x<0时，g'(x)<0,当x>0时，g'(x)>0,

:.当x=0时，函数g(x)取得最小值g(O)=L

根据题意得2/n—l》g(X)min=l,

答案：口，+8)

三、解答题

13.已知函数兀v)=x+2+伙xWO),其中a,Z>ER.

(1)若曲线y=Ax)在点P(2,7(2))处的切线方程为y=3x+L求函数八期的解析式；

(2)讨论函数/(x)的单调性；

(3)若对于任意的。士，2)不等式/(x)W10在?，1］上恒成立，求实数的取值范围.

解：(W(x)=l-?(x=0),

由已知及导数的几何意义得/'(2)=3,则°=一8.

由切点P(2,八2))在直线y=3x+l上可得-2+8=7,解得5=9,所以函数人x)的解析式为八x)

7+9.

⑵由⑴知r(x)=i-4(x^o).

当“WO时，显然/'(x)>0,这时/U)在(一8,0),(0,+8)上是增函数.

当”>0时，令/1'(x)=0,解得x=±\/^,

当x变化时，f(x),/U)的变化情况如下表：

(—8,—

X—yfa(—y[a,0)(0,\[a)y[a(y[a9+0°)

W)

f(X)+0——0+

於)极大值极小值

所以当a>0时，/)在(一8,—y［a),(y［a,+8)上是增函数，在(一,，0),(0,g)上是减

函数.

(3)由⑵知，对于任意的2］，不等式於00在印11上恒成立等价于，/(力W1"即

口」L4」

'39

«、4%对于任意的“仁［1,2］成立，从而得bg,

、bW9-a

所以实数B的取值范围是(一8,:.

y/j3

14.已知函数兀r)=w+1—Inx—5,其中adR,且曲线y=/U)在点(1,{1))处的切线垂直于

直线y=%.

⑴求a的值；

(2)求函数/(*)的单调区间与极值.

解：⑴对於)求导，得r(刈=卜步一">。)，由兀v)在点(1,八1))处的切线垂直于直线y=5,

35

知r(I)=_4_0=_2,解得°=不

r53

(2)由(1)知犬*)=4+耳―1!1X一5，

,,X2—4x—5

则r(期=—命一，

令r(*)=0，解得x=—1或x=5.

因为X=-1不在八x)的定义域(0,+8)内，故舍去.

当xG(0,5)时，f(x)<0,故直x)在(0,5)内为减函数；

当xG(5,+8)时，f(x)>0,故式x)在(5,+8)内为增函数.

由此知函数兀r)在x=5时取得极小值八5)=-In5,无极大值.

高考研究课(一)

导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点

［全国卷5年命题分析］

考点考查频度考查角度

导数的几何意义5年7考求切线、已知切线求参数、求切点坐标

定积分未考查

导导数数的的运运算算

［典例］(1)(2018•惠州模拟)已知函数式x)=；cosx,则向T)+『9)=()

A-Tb-T

(2)已知力(x)=sinx+cosx,—+1(x)是球(x)的导函数,即万(x)f(x),力(x)=,'(x),…，fn

+i(x)=f,,'(x),n£N*,则方oi8(x)等于()

A.—sinx—cosxB.sinx-cosx

C.sinx+cosxD.cosx-sinx

(3)已知函数式x)的导函数为/'(x),且满足｛X)=2A/(l)+lnx,则/'(1)=()

A.—eB.—1

C.1D.e

［解析］(DV/(x)=­Acosx+^(—sinx),

(()=—:+《•(—D=—*

(2)V/i(x)=sinx+cosx,

(x)=cosx-sinx,

:.力(x)=灵'(x)="sinx-cosx,

・\A(x)=力'(x)="cosx+sinx,

，人(x)=f4'(x)=sinx+cosx,

・\。(好是以4为周期的函数，

:•于2oi8(x)=fi(x)=cosx—sinx,故选D.

(3)由｛X)=2A/(l)+lnx,得/'(x)="’(l)+%

⑴=4,⑴+i,则r⑴=-i.

［答案］(1)C(2)D(3)B

［方法技巧］

~~L可导函数的求导步骤

(1)分析函数y=/Cr)的结构特点，进行化简；

(2)选择恰当的求导法则与导数公式求导；

(3)化简整理答案.

2.求导运算应遵循的原则

求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算

量，提高运算速度，减少差错.

［即时演练］

1.(2018•江西九校联考)已知y=(x+l)(x+2)(x+3),则y'=()

A.3X2-12X+6B.X2+12X-11

C.X2+12X+6D.3X2+12X+11

解析：选D法一：y'=(X+2)(X+3)+(X+1)(X+3)+(X+1)(X+2)=3X2+12X+U.

法二：".,J=(X2+3X+2)(X+3)=X3+6X2+11X+6,

：.y'=3X2+12X+11.

2.已知函数八x)=xlnx,若(x())=2,贝！I斯=.

解析：f'(x)=lnx+l,由/'(xo)=2,

即lnx()+l=2,解得x()=e.

答案：e

导数的几何意义

导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题的第(1)问

中，难度较低，属中、低档题.

常见的命题角度有：

(1)求切线方程；

(2)确定切点坐标；

(3)已知切线求参数值或范围；

(4)切线的综合应用.

角度一：求切线方程

1.已知函数｛x)=ln(l+x)—x+f,则曲线》=八工)在点(1,｛1))处的切线方程是.

13

解析：•••/'四=1一1+2》，⑴=5,网)=1112,...曲线>=〃)在点(1,加))处的切线

3

方程为y-ln2=T(X-1),即3x-2j+21n2-3=0.

答案：3x-2y+21n2-3=0

角度二：确定切点坐标

2.已知函数八x)=£(x>0),直线/：x—2=0.若直线/与曲线y=/(x)相切，则切点横坐标

的值为.

e'x—e"pxfx-1)

解析：由1Ax)=》(x>0),得/'(x)=-7-=—p—(x>0).

当xG(0,l)时，f(x)<0,兀r)单调递减，当XG(1,+8)时，f(x)>0,八X)单调递增.

根据直线/的方程x=ty+2,可得I恒过点Q,0).

①当f=0时，直线1:x=2垂直于x轴，不与曲线y=_/(x)相切，舍去；

②当fWO时，设切点A(xo,jo),直线/可化为y=｝一,,斜率左=2=/'(必二，*“答~~~,

又直线/和曲线y=/(x)均过点A(xo,jo),则满足了。=%。—,=慧，

exo(xo—1)ex(xo—1)(12、孙―1x—2x—11-、--2，

所以/=o卬孙=(JxL7)GT=—0r.G0T=7,两边约去，后，可得(X。一

2).迎」_=i,化简得看一4斯+2=0,

即

解得x0=2±\[2.

综上所述，切点的横坐标为

答案：2±^2

角度三：已知切线求参数值或范围

3.(2017•武汉一模)已知a为常数，若曲线y=ax2+3x—Inx上存在与直线x+y—1=0垂直的

切线，则实数a的取值范围是.

解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1,

所以y'=2ax+3—；=1有正根，

即262+2*—1=0有正根.

当时，显然满足题意；

当aVO时，需满足/20,解得一;WaVO.

综上，Q2一

答案：[T，+8)

4.若两曲线>=*2—1与y=alnx-l存在公切线，则正实数a的取值范围是.

解析：设y=alnx—1的切点为(xo,泗)，求导y'=£,

则切线的斜率为包，

所以公切线方程为y—(a\nx—l)=~(x—x),

0Xo0

联立方程y=f-1可得¥一aE%o=O,

Xo

由题意，可得/=(—^2—4(〃—a加xo)=O,

则a=4xo(l-Inxo).

令/1")=4*2(1一加x)(x>0),则f(x)=4x(l—21nx),

易知，函数於)=4f(l—In%)在(0,#)上是增函数，在(#,+8)上是减函数，

所以函数/U)=4f(l-ln工)的最大值是八/)=2e,

则正实数a的取值范围是(0,2e].

答案：(0,2e]

角度四：切线的综合应用

X

5.已知函数大幻=帆111(%+1),g(x)=R7j(x>—1)・

(1)讨论函数方(幻=/口)一g(X)在(-1,+8)上的单调性；

(2)若)=/耳)与)=观幻的图象有且仅有一条公切线，试求实数机的值.

,m1m(x+l)—1

解：(1)尸(x)=/(x)-g(幻=干-^^5=®1)L(X>T),

当机W0时，F'(x)<0,函数F(x)在(-1,+8)上单调递减.

当,”>0时，由尸'(x)<0,得一1<%<一1+工，所以函数尸(x)在-1+5)上单调递减;

由r(x)＞o,得*＞—i+A，所以函数尸(X)在(-1+A，+8)上单调递增.

综上所述，当机W0时，函数F(x)在(-1,+8)上单调递减，

当机＞0时，函数歹(X)在(-1,—1+J上单调递减，在(-1+\,+8)上单调递增.

111

(2)函数式工)=m111(^+1)在点(〃，mIn(〃+1))处的切线方程为y-m\n(a+l)=~^~^x—a)9

即y=3x+mE(a+l)一署•

函数g(x)=#j在点(方，售力处的切线方程为ye工)2(x一方),

1户

即y=(b+l)2x+(b+l)2'

^+1-(F+17，①

因为丁=/3)与y=g(x)的图象有且仅有一条公切线，即1,2

1/_1_八mab

^ln(«+l)-tt+1-(6+1)2,②

所以有唯一数对(a,b),满足这个方程组，

由①得〃+1=帆3+1)2,代入②消去〃整理得：2m\n(b+1)+^_|_^+mlnm—m—1=0,关于

仅方＞—l)的方程有唯一的解，

2

令h(b)=2mln(ft+1)+^_(_^+mlnm—m—1,

.,,小2m22MA+1)-1］

则nh(切=讦I一而亍=―(5+1)2—，

方程组有解时，帆＞o,所以入3)在(-1,—1+J上单调递减，在(-1+5,+8)上单调递增，

所以/z3)min=^(—1+J=帆一帆Em—1,

因为〃f+8,h(b)-^+°09bf—1,h(b)^+0°f

所以只需m—mlnm-1=0.

令p(m)=机一机In机一1,则p'(m)=-In/在m＞0时为单调递减函数，且帆=1时，p’(M

所以P(m)max=P(l)=0,

2

所以，〃=1时，关于贴＞一1)的方程2Mn3+l)+市+Mn丁丁1=0有唯一解，此时“

=8=0,公切线为了=”.

［方法技巧］

利用导数解决切线问题的方法

f

(1)已知切点A(x(),汽刈))求斜率左，即求该点处的导数值：k=f(x0).

(2)已知斜率左，求切点A(X1,/(X1)),即解方程/'(X1)=«.

(3)已知过某点M(xi,｛网))(不是切点)的切线斜率为左时，常需设出切点A(xo,f(Xo)),利用左

犬不)一/(网)

求解.

XI-XQ

定积分及应用

x2,xG［0,1］,