江苏省徐州市九里中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析）

江苏省徐州市九里中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（

）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种2．函数的导函数（

）A． B． C． D．3．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极大值4．已知曲线在点处的切线方程为，则（

）A．， B．，C．， D．，5．函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（

）A． B． C． D．6．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（）A． B．C． D．7．若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．设，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列命题正确的是（）A．B．已知函数在R上可导，且，则C．若函数都是可导函数，，则D．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s10．函数满足，则正确的是（

）A． B．C． D．11．（多选）如果函数对定义域内的任意两实数（）都有，则称函数为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是（）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为(结果用数值表示).13．函数在区间上的最大值为14．若函数在上是增函数，求实数的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题）15．从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．16．已知函数，x∈R．(1)过点做曲线的切线，求切线方程；(2)求函数在区间上的最大值和最小值．17．已知函数在处有极大值.(1)求实数的值；(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.18．已知函数fx=lnx+a1讨论函数fx2不等式fx＞1在x∈1219．已知函数．(1)当时，求的单调增区间；(2)证明：当时，．

参考答案1．【答案】D【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.故选D.2．【答案】B【详解】由得，故选B.3．【答案】A【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C,D的结论．【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，故选A.4．【答案】C【详解】由题可得，∴，，将代入，得，∴.故选C．5．【答案】B【详解】设点则可以把看成两点的斜率，把看成曲线在点的切线斜率，把看成曲线在点的切线斜率，再作出图形进行数形结合分析：由图可得，即.故选B.6．【答案】C【详解】因为在区间上单调递增，所以，即在上恒成立，令且，则，即在上单调递增，所以，故.故选C.7．【答案】C【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点，而函数在上单调递增，则或，解得或，所以实数a的取值范围是.故选：C.8．【答案】B【详解】设，（），则.令得，所以函数在区间单调递增.因为，所以，即，即，所以．故选B.9．【答案】BCD【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，由导数运算法则知，C正确.对于D，由，求导得，因此质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s，D正确.故选.10．【答案】AC【详解】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减，对于A，，，则，A正确；对于B，，，则，B错误；对于C，，，则，C正确；对于D，，，则，D错误.故选AC.11．【答案】ACD【详解】令，对于定义域上的任意，当，恒有，即，可得函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”．对于A，，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故A正确；对于B，，，，所以单调递增函数，则函数是“F函数”．故B错误；对于C，，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故C正确；对于D，，，，当时，，单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故D正确.故选ACD.12．【答案】24【详解】4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为.13．【答案】【详解】因为，所以为偶函数，当时，，.易知当时，，，则，所以在上单调递增，所以在上的最大值为，根据偶函数的性质可知，函数在区间上的最大值为.14．【答案】【详解】由已知在上恒成立，即在上恒成立，设，则，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，所以.15．【答案】(1)24(2)12【详解】（1）三位数有三个数位，故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．（2）分三个步骤完成：第1步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．16．【答案】(1)；(2)最大值是，最小值是1.【详解】（1）函数，求导得，设过点的曲线的切线切点为，而点不在曲线上，则，解得，因此，，切线方程为，所以所求切线方程为.（2）当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，则，又，，所以函数在区间上的最大值是，最小值是1.17．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由函数，求导可得，由函数在处取极大值，则，解得或，当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极大值，符合题意.综上所述，；（2）由（1）可得函数，求导可得，令，解得或，可得下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的极大值为，极小值为，函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，如下图：由图可得，则.18．【答案】1当a⩽0时，fx在0,+∞上单调递增，当a＞fx在a,+∞上单调递增，在0,a上单调递减；22【详解】1由题可得，f'x=1当a⩽0时，f'x＞0，fx当a＞0时，令f'x=0若x＞a，f'x＞0，故fx若0＜x＜a，f'x＜0，综上，当a⩽0时，fx在0,+∞当a＞0时，fx在a,+∞上单调递增，在0,a2因为fx＞1在x∈12,3上恒成立，等价于lnx+ax＞令gx=x−xlnx则g'x=−当x∈12,1时，g'x＞当x∈1,3时，g'x＜0所以gxmax所以a＞1故实数a的最小整数值是2