四川省大英中学2024−2025学年高二创新部下学期4月素质测评 数学试题（含解析）

四川省大英中学2024−2025学年高二创新部下学期4月素质测评数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则=（

）A．2 B．1 C．-1 D．-22．已知圆与抛物线的准线相切，则（

）A．1 B．2 C．4 D．83．2022年北京冬奥会期间，甲、乙、丙、丁4名大学生志愿者被派往延庆赛区承办的雪车、雪橇及高山滑雪三个项目参加志愿服务，每名志愿者都必须分配一个项目，每个项目至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一项目中，则不同的分配方案共有（

）A．42种 B．36种 C．30种 D．24种4．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（

）A．， B．，C．， D．，5．如图，小明从街道的处出发，选择最短路径到达处参加志愿者活动，在小明从处到达处的过程中，途经处的概率为（

）A． B． C． D．6．已知函数在上单调递增，则实数的最小值为（

）A． B．2 C． D．17．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（

）A．32 B．16 C．8 D．208．已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立，且为自然对数的底，则A．B．C．D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知离散型随机变量的分布列为01则下列说法正确的有（

）A． B． C． D．10．已知展开式中的二项式系数和为32，若，则（

）A．n＝5B．C．D．11．已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列结论正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若是增函数，则是减函数D．若是减函数，则是增函数三、填空题（本大题共3小题）12．假如女儿的身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程是，已知父亲身高为175cm，估计女儿的身高为cm．13．已知甲盒中有3个白球，1个红球，乙盒中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．先从甲盒中任取2个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球．计算从乙盒中取出的是红球的概率为．14．已知函数有两个零点，则的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．（1）求展开式中第8项的二项式系数及第4项的系数；（2）若，求.注：结果用数值表示.16．已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.17．推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．为调查居民对垃圾处理情况，某社区居委会随机抽取400名社区居民参与问卷调查并全部收回．经统计，有60%的居民对垃圾分类处理，其中女性占；有40%的居民对垃圾不分类处理，其中男性女性各占．(1)请根据以上信息完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为垃圾处理与性别有关？性别垃圾处理合计不分类分类男性女性合计(2)为了提高社区居民对垃圾分类的处理能力，该社区成立了垃圾分类宣传小组，利用周末的时间在社区进行垃圾分类宣传活动，并在每周宣传活动结束后，重新统计对垃圾不分类处理的居民人数，统计数据如下：周次12345对垃圾不分类处理的人数1201051009580请根据所给的数据，建立对垃圾不分类处理的人数与周次之间的经验回归方程，并预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数．附：，其中．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，．18．已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.19．已知函数.(1)时，求函数的极值；(2)时，讨论函数的单调性；(3)若对任意，当时，恒有成立，求实数的取值范围.

参考答案1．【答案】C【详解】因为离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，所以,所以.故选C.2．【答案】C【详解】因为，所以抛物线准线为又，所以圆心坐标为，半径为2由已知得：圆心到准线的距离为半径，则，所以故选C.3．【答案】C【详解】由题意甲、乙不能安排在同一项目中，故甲、乙各自参加一个项目的服务时，共有种分配方案，当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个项目的服务时，有种分配方案，故不同的分配方案共有种，故选C.4．【答案】C【详解】由题图中的对称轴知：，与(一样)瘦高，而胖矮，所以.故选C.5．【答案】D【详解】解：由题意，小明从处出发到达处，最短需要走四横三纵共七段路，共有条不同的路；小明从处到处，最短需要走两横两纵共四段路，共有条不同的路，从处到处，最短需要走两横一纵共三段路，共有条不同的路.所以小明从处到达处的过程中，途径处的概率.故选.6．【答案】A【详解】由题意得因为函数在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以，即实数的最小值为.故选A.7．【答案】B【详解】数学成绩近似地服从正态分布,，根据正态曲线的对称性知：位于分到分之间的概率是位于分到分之间的概率的一半，理论上说在分到分的人数是，故选B.8．【答案】A【详解】因为为定义在上的可导函数，且，则设则单调递增，即在R上单调递增，则，即，，即，故选A.9．【答案】AC【详解】由分布列的性质，得，故A对；，B错；，C对；，D错.故选AC.10．【答案】ABD【详解】由，得n＝5，A正确．令x＝0，得，B正确．因为n＝5，所以，C错误．令x＝－1，得，D正确．故选ABD．11．【答案】BD【详解】令函数，则，则在R上单调递增．当时，；当时，．A不正确，B正确．，是增函数，若是增函数，则的单调性不确定；若是减函数，则是增函数．C不正确，D正确．故选BD．12．【答案】165【详解】根据女儿身高为(单位：)关于父亲身高(单位：)的经验回归方程，当父亲的身高为时，.13．【答案】【详解】记“从乙盒中取出的是红球”为事件，“从甲盒中任取2个球”为事件，事件为“从甲盒中任取2个球均为白球”，事件为“从甲盒中任取2个球为一白一红”，，且互斥，所以.14．【答案】【详解】由，设，显然该函数在上单调递增，则，于是由题意知，有两个根，因,则故与有两个交点.由，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，即时，取得极大值为，且当时，，当时，，作出函数的简图.由图可得，要使有两个根，需使，解得.15．【答案】（1），；（2）.【详解】（1）展开式的通项是，所以展开式中第8项的二项式系数为，其第4项的系数为.（2）因，则令，得，令，得，所以.16．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由即可求解的通项公式，又根据等差数列的通项公式即可求解数列的通项公式；（2）由，从而根据裂项相消求和法及分组求和法即可求解.【详解】（1）解：因为，所以，当时，，由于满足，所以的通项公式为，因为数列是公差为的等差数列，，所以，所以；（2）解：因为，所以.17．【答案】(1)列联表见解析，认为对垃圾处理与性别有关，犯错误的概率不大于0.005．(2)；37．【详解】（1）由题意，则联列表为：性别垃圾处理合计不分类分类男性8080160女性80160240合计160240400零假设为：对垃圾处理与性别无关．

根据列联表中的数据，经计算得到．

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为对垃圾处理与性别有关，犯错误的概率不大于0.005．（2），，

，，

，

所以，

即所求的经验回归方程为；

令，得，所以预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数为37．18．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：不妨设左焦点为，上顶点为，则，所以，因为直线与椭圆相交于和两点，且，所以将点的坐标代入椭圆的方程，得，联立方程组，解得，所以椭圆的方程为；（2）解：设，若直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，消去得，则，又，所以，且，即，则，因为，所以，整理得，则，且恒成立，所以，又，且，所以，即；当直线的斜率不存在时，，又，解得，所以综上，的取值范围为.19．【答案】(1)极大值，无极小值(2)答案见解析(3)【详解】（1）当=时，=，∴，令=得，=，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，∴函数的极大值为=，无极小值；（2）当时，函数=，，①当时，，令=，得=，∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；②当时，令=，得=或，若，则，∴当时，