数学 2025《高中考前》高考冲刺考试方法答题技巧高考预测热点21　函数与导数的综合应用含答案

数学2025《高中考前》高考冲刺考试方法答题技巧高考预测热点21函数与导数的综合应用年份202220232024角度题号角度题号角度题号新高考Ⅰ卷利用导数研究函数的极值10——导数的综合应用10新高考Ⅱ卷——导数的综合应用6,11导数的综合应用11【考向一】利用导数研究函数的单调性【典例1】(2023·全国甲卷改编)已知定义在区间(0,π2)上的函数f(x)=8x-sinxcos3x①,则f(x)的单调递增区间②是【审题思维】①求函数f(x)的导数f'(x)②解不等式f'(x)>0即可得到函数f(x)的单调递增区间【题后反思】1.导数与函数图象的关系函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢f'(x)>0且越来越大f'(x)>0且越来越小函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f'(x)<0且越来越小,绝对值越来越大f'(x)<0且越来越大,绝对值越来越小【提醒】(1)在区间(a,b)内,f'(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充分条件,而不是充要条件;(2)研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,对于原函数,要注意其图象在区间内的单调性;而对于导函数,则应注意其函数值与零的关系.2.求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f'(x).(3)在定义域内解不等式f'(x)>0,得到函数f(x)的单调递增区间;在定义域内解不等式f'(x)<0,得到函数f(x)的单调递减区间.(4)书写相同类型单调区间之间用“逗号”或“和”隔开,切记不可用“∪”.【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增①,则a的最小值②为(C)A.e2 B.e C.e-1 D.e-2【审题思维】①f'(x)=aex-1x②分离参数求函数的最值【题后反思】1.求参数范围的常见类型和解题技巧已知可导函数f(x)在区间D上单调递增(或单调递减)转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)对x∈D恒成立问题,要注意“=”是否取到已知可导函数f(x)在某一区间上存在单调递增(或单调递减)区间实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化为不等式问题已知f(x)在区间D上的单调性,区间D中含有参数先求出f(x)的单调区间,令D是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围已知f(x)在区间D上不单调f(x)在D上有极值点,且极值点不是D的端点2.分离参数求解不等式恒成立问题【考向二】利用导数研究函数的极值与最值【典例1】(多选题)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)=alnx+bx+cx2(aA.bc>0 B.ab>0C.b2+8ac>0 D.ac<0【审题思维】求出函数f(x)的导数f'(x)⇒f'(x)在(0,+∞)上有两个变号零点⇒转化为一元二次方程有两个不相等的正根判断作答.【题后反思】求函数的极值或极值点的步骤(1)求f'(x),不要忘记函数f(x)的定义域;(2)求方程f'(x)=0的根;(3)检查在方程的根的左右两侧f'(x)的符号,确定极值点或函数的极值.【典例2】(2022·全国乙卷)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1①在区间[0,2π]的最小值、最大值②分别为(D)A.-π2,π2 B.-3πC.-π2,π2+2 D.-3π2【审题思维】①求导,利用导数与函数的关系研究函数的单调性②求出函数的极值与端点值,比较大小确定函数的最值【题后反思】求函数f(x)在[a,b]上的最值的方法(1)若函数在区间[a,b]上单调递增或单调递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值;(2)若函数在区间[a,b]内有极值,则要先求出[a,b]上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成;(3)若函数f(x)在区间(a,b)上有唯一极值点,则这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.【真题再现】1.★★★☆☆(多选题)(2024·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则(ACD)A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时,f(x)<f(x2)C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)2.★★★☆☆(多选题)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(AD)A.当a>1时,f(x)有三个零点B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点C.存在a,b,使得x=b为曲线f(x)的对称轴D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心3.★★★★☆(2023·全国乙卷)函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是(B)A.(-∞,-2) B.(-∞,-3) C.(-4,-1) D.(-3,0)4.★★☆☆☆(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=alnx+bx取得最大值-2,则f'(2)=(BA.-1 B.-12 C.12 5.★★★☆☆(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3-x+1,则(AC)A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线6.★★★☆☆(2023·全国乙卷)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是

[5-12,1【模拟精选】1.★★☆☆☆(2024·广元模拟)如图是y=f(x)的导函数f'(x)的图象,对于下列四个判断,其中正确的判断是(D)A.当x=-1时,f(x)取得极大值B.f(x)在[-2,1]上是增函数C.当x=1时,f(x)取得极大值D.f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数2.★★★☆☆(2024·哈尔滨模拟)若函数h(x)=lnx-12ax2-2x在[1,4]上单调递增,则实数a的取值范围为(AA.(-∞,-1] B.(-∞,-1)C.(-∞,-716] D.(-∞,-73.★★★☆☆(2024·杭州模拟)函数f(x)=(x-2)ex-e2x-2的极小值为(B)A.e2-2 B.-2e2-2 C.2-2e2 D.-2-e24.★★★★☆(2024·雅安模拟)已知0为函数f(x)=(ax+1-a)ex-x-3的极小值点,则a的取值范围是(A)A.(-1,+∞) B.(-e,+∞)C.(-1e,+∞) 5.★★★★☆(2024·深圳模拟)已知函数f(x)=aex+lnax+2-2,若f(x)>0恒成立,则正实数a的取值范围是(A.0<a<e B.a>e2 C.a>e D.a>2e6.★★★☆☆(多选题)(2024·扬州模拟)已知正实数m,n满足lnm=n·em+lnn(e是自然对数的底数,e≈2.718),则(ACD)A.m=n·em B.n=m·enC.n-1em的最大值为1e2 D.方程7.★★★★☆(多选题)(2024·邵阳三模)英国数学家泰勒发现了如下公式:sinx=x-x33!+x55!-x77!+…,cosx=1-xA.sin1<cos1B.sin1≈0.84(精确到小数点后两位)C.cosπ3<1-D.当x>0时,sinx>x-x8.★★★★☆(2024·济南模拟)已知函数f(x)=e2x-1-e1-2x+sin(π2x-π4)+1,则不等式f(2x+1)+f(2-x)≥2的解集为[-2,+∞)9.★★★★☆(2024·成都模拟)若函数f(x)=(x-a)x+lnx在(0,+∞)上无极值点,则a的取值范围为(-∞,22].

【创新演练】1.★★★★☆(多选题)(2024·郑州模拟)已知M={α|f(α)=0},N={β|g(β)=0},若存在α∈M,β∈N,使得|α-β|<n,则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)=32-x-1与g(x)=x2-aex互为“1度零点函数”,则符合条件的实数a的取值范围为(BC)A.(2e,4e) B.(1e,3e2) C.(3e2,4e2) 2.★★★★☆(