数学 2025《高中考前》高考冲刺考试方法答题技巧高考预测数学热点16　椭圆含答案

数学2025《高中考前》高考冲刺考试方法答题技巧高考预测数学热点16椭圆热点16椭圆年份202220232024角度题号角度题号角度题号新高考Ⅰ卷椭圆的定义及方程16椭圆的几何性质5——新高考Ⅱ卷——椭圆的几何性质5椭圆的定义及方程5【考向一】椭圆的定义及方程【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(A)A.x216+y24=1(y>0) B.x2C.y216+x24=1(y>0) D.y2【审题思维】设M(x,y)(y>0),由题意及中点坐标公式可得点P的坐标,利用代入法,即可求得线段PP'的中点M的轨迹方程.【题后反思】1.相关点法求轨迹方程的步骤(1)动点M(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上运动;(2)寻求关系式x0=f(x,y),y0=g(x,y);(3)将x0,y0代入已知曲线方程;(4)整理关于x,y的关系式得M的轨迹方程.2.定义法求轨迹方程的步骤(1)判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义;(2)设标准方程,求方程中的基本量;(3)求轨迹方程.3.参数法求轨迹方程的步骤(1)选取参数k,用k表示动点M的坐标;(2)得动点M的轨迹的参数方程x(3)消参数k,得M的轨迹方程;(4)由k的范围确定x,y的范围,确保完备性与纯粹性.【典例2】(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MFA.13 B.12 C.9 D.6【审题思维】①由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=6②利用基本不等式求最值【题后反思】椭圆定义应用的三种类型及解题策略求方程通过对题设条件分析、转化,明确动点满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程焦点三角形问题利用定义求焦点三角形的周长和面积.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理,其中对|PF1|+|PF2|=2a两边同时平方是常用技巧求最值抓住|PF1|+|PF2|=2a,可利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值;利用定义|PF1|+|PF2|=2a转化或变形,借助三角形性质求最值【提醒】1.注意椭圆的定义中的常数大于|F1F2|,避免了动点轨迹是线段或者不存在的情况.2.椭圆标准方程中,a,b,c三个量之间满足a2=b2+c2,而并非c2=a2+b2.【考向二】椭圆的几何性质【典例1】(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1A.233 B.2 C.3 D【审题思维】分别求出椭圆C1和C2的离心率,根据e2=3e1建立关于a的方程求解.【题后反思】1.椭圆中与长度有关的常用结论(1)椭圆中的通径为过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段,其长度为2b(2)椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a+c,最小距离为a-c.2.求椭圆离心率(或其范围)的两种常用方法【提醒】(1)解关于离心率e的方程时,常忽视离心率e的取值范围而产生增解现象;(2)在求与椭圆上点P有关的最值问题时常用到几何性质,也是容易被忽视,从而导致错误.【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB的2倍,则m=(A.23 B.23 C.-23 D【审题思维】①联立方程组,通过方程思想求出m的取值范围②将面积之间的关系转化为点到直线的距离间的关系求m【题后反思】1.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x12.求解弦长的三种方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解;(2)当直线斜率存在时,联立直线与曲线的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系及弦长公式求解;(3)当弦过焦点时,可结合焦点弦公式求解弦长.3.解决圆锥曲线中与弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解;(2)点差法:设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),代入圆锥曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立弦的中点和直线斜率的关系.【真题再现】1.★★☆☆☆(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|=(B)A.1 B.2 C.4 D.52.★★☆☆☆(2022·全国甲卷)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为A.32 B.22 C.12 3.★★★☆☆(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l的方程为x+2y-2【模拟精选】1.★★☆☆☆(2024·海西模拟)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的射线分别与椭圆C和圆M:x2+y2-2x-15=0相交于点P,Q,过点P作PH⊥F1Q,垂足为H,O为坐标原点,则|A.43 B.32 C.2 D2.★★☆☆☆(2024·武汉模拟)已知椭圆x2a2+y22=1(a>2)的两焦点分别为F1,F2.若椭圆上有一点P,使∠F1PF2=120°,则△PF1A.32 B.433 C.3 D3.★★★☆☆(2024·安康模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,且满足∠F1MF2=90°,MF2延长线交椭圆于另一点C,|MF2|=2|A.x29+y2=1 B.x25C.x29+y24=1 D.4.★★★☆☆(2024·西安三模)已知定点P(2,0)与椭圆x236+y29=1上的两个动点M,N,若PM⊥PN,则·的最小值为(A.83 B.13 C.233 D5.★★★☆☆(2024·桂林三模)已知椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点,其中点A在x轴上方且=2,则B点的横坐标为(A.12 B.32 C.-74 6.★★★★☆(2024·上饶模拟)如图所示,曲线C是由半椭圆C1:x24+y23=1(y<0),半圆C2:(x-1)2+y2=1(y≥0)和半圆C3:(x+1)2+y2=1(y≥0)组成,过C1的左焦点F1作直线l1与曲线C仅交于A,B两点,过C1的右焦点F2作直线l2与曲线C仅交于M,N两点,且l1∥l2,则|AB|+|A.3 B.4 C.5 D.67.★★★☆☆(2024·菏泽模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2的一条直线与C交于A,B两点,|BF2|=1,∠F1AF8.★★★★☆(2024·长沙三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A,B两点.若|AB【创新演练】1.★★★★☆(2024·上海一模)椭圆具有如下的声学性质:从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点.有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑,某人站在一个焦点处大喊一声,声音向各个方向传播后经墙壁反射(不考虑能量损失),该人先后三次听到了回音,其中第一、二次的回音较弱,第三次的回音较强;记第一、二次听到回音的时间间隔为x,第二、三次听到回音的时间间隔为y,则椭圆的离心率为(B)A.x2x+y C.y2x+y 2.★★★★☆(2024·绍兴模拟)单位向量a,向量b满足|a+b|=12a·b+2,若存在两个均满足此条件的向量b1,b2,使得b1+b2=λ(b2+a).设a,b1,b2在起点为原点时,终点分别为A,B1,B2,则S△AA.23 B.3 C.4 D.2热点17双曲线年份202220232024角度题号角度题号角度题号新高考Ⅰ卷——求双曲线的离心率16求双曲线的离心率12新高考Ⅱ卷——————【考向一】双曲线的定义及方程【典例1】(2024·天津高考)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PFA.x22-y28=1 B.C.y24-x28=1 D.【审题思维】设|PF1|=m,|PF2|=n→由双曲线的定义得m-n=2a→由△PF1F2是面积为8的直角三角形→m2+n2=(2c)2,12mn=8→由直线PF2的斜率为2→tan∠F1F2P=mn=2,即m=2n→求出m,n的值→进而求出a,b的值→得到双曲线的方程【题后反思】双曲线定义应用的三种类型及解题策略求方程通过对题设条件分析、转化,明确动点满足双曲线的定义,便可直接求解其轨迹方程焦点三角形问题解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义、正弦定理或余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方建立与|PF1|·|PF2|的关系求最值利用||PF1|-|PF2||=2a转化或变形,借助三角形的性质或构造出“两点之间线段最短”求最值【提醒】1.不能漏掉“绝对值”,否则轨迹是双曲线的一支;2.“常数”小于|F1F2|,否则轨迹是两条射线或不存在;3.确定焦点所在的坐标轴位置,否则容易漏解或错解.【典例2】(2023·天津高考)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P②.已知|PF2|=2①,直线PFA.x28-y24=1 B.C.x24-y22=1 D.【审题思维】①利用点到直线的距离求出|PF2|,进而求得b的值②联立方程组求出垂足P的坐标③通过斜率公式建立关于a,b,c的关系式【题后反思】巧设双曲线标准方程的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上:设为x2a2-y2b2(2)焦点在y轴上:设为y2a2-x2b2(3)与双曲线x2a2-y2b2=1共焦点:设为x2a2-λ-y2(4)与双曲线x2a2-y2b2=1具有相同渐近线:设为x2a(5)渐近线为y=kx:设为k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)渐近线为ax±by=0:设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).【考向二】双曲线的几何性质【典例1】(2024·北京高考)已知双曲线x24-y2=1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为±1【审题思维】根据已知条件,设出直线方程,再与双曲线方程联立,再分类讨论,并结合判别式,即可求解.【题后反思】1.直线与双曲线的相交弦设直线y=kx+m交双曲线x2a2-y2bP1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则|P1P2|=(x1-x2)2+(y1同理可得|P1P2|=1+1k2|y1-y2这里|x1-x2|,|y1-y2|的求法通常使用根与系数的关系,需作以下变形:|x1-x2|=(x|y1-y2|=(y2.双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0【典例2】(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则【审题思维】由题意求出|F1A|,|F2A|→利用双曲线的定义求出a→利用|F2A|=b2a=5求得b2→根据c2=a2+b2求得c→代入离心率公式求得结论【题后反思】求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a,b,c的值,由c2a2=a2(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.【提醒】1.双曲线中a,b,c三个量之间满足c2=a2+b2,注意不要与椭圆中a,b,c之间的关系混淆;2.双曲线的离心率大于1,椭圆的离心率e∈(0,1).求它们的离心率,不要忽视这一前提条件,否则会产生增解或扩大取值范围的情况.【真题再现】1.★☆☆☆☆(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为F1(0,4),F2(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(C)A.4 B.3 C.2 D.22.★★☆☆☆(2023·全国甲卷)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,A.15 B.55 C.2553.★★★☆☆(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)4.★★★☆☆(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-23,则C的离心率为

5.★★☆☆☆(2022·全国甲卷)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值2(答案不唯一,满足1<【模拟精选】1.★☆☆☆☆(2024·兰州三模)已知双曲线C:y23m+2-x2m=1(A.y=±12x B.y=±22x C.y=±2x D.y=±2.★★☆☆☆(2024·葫芦岛模拟)已知点F是双曲线x2-y29=1的左焦点,点P是双曲线上在第一象限内的一点,点Q是双曲线渐近线上的动点,则|PF|+|PQ|的最小值为(A.8 B.5 C.3 D.23.★★☆☆☆(2024·东城二模)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,A.x23-y2=1 B.x2-C.x26-y22=1 D.x24.★★★☆☆(2024·南昌三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,若△F1AB的周长为10A.[52,5] B.[32,3] C.[12,25.★★★☆☆(2024·杭州模拟)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1,F2,直线l过点F2且平行于C的一条渐近线,l交C于点P,若·=0,则A.3 B.2 C.5