安徽省蚌埠市2023-2024学年高二数学下学期5月阶段性检测试题含解析

Page17考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列中，，且，则（）A.4 B.6 C.7 D.13【答案】C【解析】【分析】根据关系式代入计算即可.【详解】由题意可知，.故选：C.2.如果动点满足，则点的轨迹是（）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段【答案】D【解析】【分析】由题意可知方程表示出动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，而，从而可判断出其轨迹.【详解】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，即，所以点M的轨迹是线段．故选：D3.在空间直角坐标系中，已知三点坐标分别为，是过点且以为法向量的平面上的任意一点，则满足的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用向量的坐标表示，以及，列出方程，即可求解.【详解】由，可得，，因为，可得，所以，可得，即满足的方程是.故选：A4.若函数的图象在点处的切线方程为，则（）A.13 B.7 C.4 D.1【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，求出、的值，再代入计算可得.【详解】∵函数的图象在点处的切线方程为，，，由题可知，，，，，．故选：A5.若过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有3条，则该双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，得到在双曲线上，求得，得到的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】由题意，过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有3条，根据双曲线的几何性质，可得在双曲线上，可得，解得，又由双曲线的实半轴长，则半焦距，所以该双曲线的离心率.故选：C.6.已知在数列中，，若点在直线上，则=（）A.253 B.1021 C.1024 D.1027【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得，令，得到为等比数列，求得，进而求得数列的通项公式，即可求解.【详解】因为点在直线上，可得，所以，令，则，且，所以是首项为4，公比为2的等比数列，可得，所以，则．故选：B.7.小王家附近有A，B两家超市，小王第一次购物时从两家超市中随机选择一家，且去每家超市的概率相等.如果他第一次购物时去A超市，那么第二次购物去A超市的概率为0.7，如果他第一次购物时去B超市，那么第二次购物去A超市的概率为0.6，则小王第二次购物去B超市的概率是（）A.0.65 B.0.6 C.0.4 D.0.35【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合条件概率和全概率公式，准确计算，即可求解.【详解】解：设“第一次购物去A超市”，“第一次购物去B超市”，“第二次购物去A超市”，“第二次购物去B超市”，由题可知，，，则，所以．故选：D.8.如图，一个椭圆形花坛分为A，B，C，D，E，F六个区域，现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同．现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择，B区域必须种红花，则不同的种法种数为（）A.156 B.144 C.96 D.78【答案】A【解析】【分析】依题意对、、、区域所选颜色分三种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】除B区域外，其他区域的种法分三类：第一类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色，A区域选红色，有种不同的种法;第二类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的3种，C，F同色或D，E同色，A区域有2种选法，有种不同的种法;第三类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的2种，C，F同色且D，E同色，A区域有3种选法，有种不同的种法．综上可得，共有（种）不同的种法．故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数，满足，则（）A.当时，的最小值是 B.的最大值是C.的最小值是 D.的最小值是1【答案】BCD【解析】【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径，求出的取值范围，即可判断A、B；设，利用圆心到直线的距离小于等于半径，求出的取值范围，即可判断C，根据圆的性质判断D.【详解】由，得．该方程表示圆心为，半径的圆．设，则表示圆上的点（除去点和）与原点连线的斜率，由，则，解得或，所以（可以为），即当时，无最小值，的最大值是，故A错误，B正确；设，则，表示当直线与圆有公共点时直线在轴上的截距，则，解得，即的最小值是，故C正确；因为表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在轴上，所以当，时，取得最小值，且最小值为，故D正确．故选：BCD10.已知(，a为正常数)的展开式中各项系数的和为729，二项式系数的和为64，则（）A. B.展开式中无理项有3项C.展开式中系数最大的项是第4项 D.展开式中常数项为第5项【答案】BD【解析】【分析】根据题意得，求出，再由各项系数的和为729，利用赋值法可求出，然后结合二项式的性质逐个分析判断即可.【详解】依题意得，所以，因为展开式中各项系数的和为729，令，得，所以（负值舍去），对于A，，故A错误;对于B，展开式的通项，当时，展开式的对应项为无理项，故B正确;对于C，展开式中每一项的系数，由，得，所以，即展开式中第5项的系数最大，故C错误;对于D，令，得，所以展开式中常数项为第5项，故D正确．故选：BD11.已知函数及其导函数的定义域均是，是的唯一零点，且，则（）A. B.C D.【答案】AB【解析】【分析】构造函数，由已知求导可得在上单调递减，即可比较A正确，C错误，又是的唯一零点，所以，借助单调性可得，，即得B正确，D错误.【详解】令，则，由题意知，所以，即在上单调递减，所以，，故A正确，C错误.又是的唯一零点，所以，又在上单调递减，所以，，即，，故B正确，D错误.故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是________.【答案】5【解析】【分析】先求出，，则，结合图形可知，从而可求得结果.【详解】设椭圆的半焦距为，则，，所以，，，所以．如图，因为（当M在的延长线上时取等号），，所以．所以的最大值为5，故答案为：513.某金店用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个秤盘中)，今有5件物品，其质量分别为50克，60克、70克、80克，90克，有4个砝码，质量分别为10克、20克、30克、40克．若要求每次称量时所用的砝码数量最少，则用天平随机称某件物品(每件物品被选中的概率相同)的质量，所用的砝码数量的期望值为________.【答案】##【解析】【分析】设表示所用的最少砝码数，求出所对应的的值，即可求出数学期望.【详解】设表示所用的最少砝码数，则可列表如下：物品质量（克）506070809022233又每件物品被选中的概率均为，所以．故答案为：14.为参加一年一度的省高中生数学联赛，某中学先期举行选拔赛，根据初试成绩选出成绩优秀的20人进行复试.复试共设三道题，全部答对者获一等奖，答对两道者获二等奖，答对一道者获三等奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两题答对的概率均为a，第三题答对的概率为b若该生获得―等奖的概率为，获得二等奖的概率为p，则p的最小值为________.【答案】##【解析】【分析】依题意可得，获得二等奖的概率为，利用导数求出函数的最小值，即可得解.【详解】依题意，该生获得一等奖的概率为，，，．获得二等奖的概率为，，令，得．当时，，单调递减，当时，，单调递增．当时，取得最小值，.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前n项和为.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，若恒成立，求实数m的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意列式求，进而写出通项公式；（2）首先写出的表达式，由裂项相消法得出，结合恒成立问题分析求解．【小问1详解】设公差为d，由题意可得，解得，所以．【小问2详解】由（1）可得，则，若恒成立，则，所以实数m的最小值为.16.如图，正方体的棱长为2，M是棱AB的中点，P是棱上的点.（1）求直线DB1与平面所成角的正弦值.（2）当点Р在何处时，点P到平面的距离最小?最小值是多少?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；（2）设，，然后利用空间向量表示出点P到平面的距离，化简后可求出其最小值.【小问1详解】以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，设直线与平面所成的角为，平面的法向量为．易知，，由，即，解得，即直线与平面所成角的正弦值为．【小问2详解】设，，点P到平面的距离为d，则，由（1）知，平面的一个法向量为，，当，即点P与点重合时，．17.某公司举行新春联欢活动，活动有一个环节，所有员工抽取红包，每位员工可从下面两种方案中选择一种抽取红包.方案一：4个红包内分别装有现金200元，400元、400元，800元，参与抽红包的员工可从中随机抽取2个；方案二：员工通过手机扫公司提供的二维码进入活动页面抽取红包，每位员工可抽4次，每次抽中红包的概率均为，每个红包的金额均为元.员工甲通过方案一抽取红包，员工乙通过方案二抽取红包，记甲、乙抽取的红包总金额分别为，元.（1）求的分布列及期望；（2）若，求的值.【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】【分析】（1）依题意可得的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（2）记抽中元红包的次数为，则，根据二项分布的期望公式及期望的性质求出，从而得到方程，解得即可.【小问1详解】通过方案一抽取红包，由题意得的所有可能取值为，，，，所以，，，，所以的分布列为：60080010001200所以．【小问2详解】通过方案二抽取红包，次抽取，记抽中元红包的次数为，由题意知，则，所以，又，所以，解得．18.已知抛物线C：与椭圆E：的一个交点为，且E的离心率.（1）求抛物线C和椭圆E的方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程可求出，从而可求出抛物线的方程，再将点的坐标代入椭圆方程，结合和，从而可求出椭圆方程；（2）设直线为，，将直线方程代入抛物线方程，化简利用根与系数的关系，表示出，，由，得，化简后可得，代入可求得直线过的定点.【小问1详解】因为点在抛物线C：上，所以，得，所以抛物线方程为，因为点在椭圆E：上，离心率，所以，解得，所以椭圆方程为【小问2详解】由题意可知直线的斜率不为零，所以设直线为，，由，得，由，得，则，由题意可知直线，的斜率均存在且不为零，所以，，因为，所以，所以，则，所以，得，所以直线为，所以，所以直线恒过定点【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，第（2）问解题的关键是设出直线的方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，再结合化简求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.19已知函数.（1）若，求的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值（2）【解析】【分析】（1）求得，根据，令，得到函数的单调性，进而求得函数的极值；（2）根据题意，转化为恒成立，令，利用导数求得函数的单调性和最小值，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，进而求得实数a的取值范围．【小问1详解】解：若，可得，其定义域为，则，设，可得，则在上单调递增，所以，所以，令，可得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以在处有极小值，极小值为，无极大值．【小问2详解】解：由题意，函数的定义域为，因为恒成立，即恒成立，也即，即恒成立，令，则，令，得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以在处有极小值，也是最小值，，所以，所以（当且仅当时，等号成立），所以，，所以，令，则，当时，（当且仅当时取等号），所以，令，可得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以，当时