广东省揭阳市2024-2025学年高三下学期第三次月考数学检测试题（含答案）

广东省揭阳市2024-2025学年高三下学期第三次月考数学检测试题一、选择题（给出的选项中只有一项是符合题目要求的,每小题5分,共8小题,满分40分.）1．已知集合=,=,,则等于（）A.（1,2） B. C. D.2．已知角的终边经过点,则（）A． B． C． D．3．已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点F的距离为12,到y轴的距离为9,则p=（）A．2 B．3 C．6 D．94.已知为等比数列,为数列的前项和,,则的值为 （）A．3 B．18 C．54 D．1525．已知向量,且的夹角为锐角,则的取值范围为（）A． B．C． D．6.从1,2,3,4,5,6,7这7个数任选3个不同数排成一个数列,则得到的数列为等差数列的概率为（）A． B． C． D．7．若函数的两个零点分别为和,则（）A． B． C． D．8．已知点在曲线上,⊙过原点,且与轴的另一个交点为,若线段,⊙和曲线上分别存在点、点和点,使得四边形（点,,,顺时针排列）是正方形,则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（）．A．曲线上不存在”完美点”B．曲线上只存在一个“完美点”,其横坐标大于C．曲线上只存在一个“完美点”,其横坐标大于且小于D．曲线上存在两个“完美点”,其横坐标均大于二、多项选择题（每小题全对得6分,部分答对得部分分,有错误选项得0分,共3小题,满分18分）9．下列说法中正确的是（）A．已知离散型随机变量,则B．一组数据148,149,154,155,155,156,157,158,159,161的第75百分位数为158C．若,则事件与相互独立D．根据分类变量与的观测数据,计算得到,依据的独立性检验可得：0.10.050.012.7063.8416.635变量与独立,这个结论错误的概率不超过0.05附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值10．已知正方体的边长为2,且为棱的中点,点在正方形的边界及其内部运动,且满足与底面所成的角为,给出下列四个结论：()

①存在点使得；②点的轨迹长度为；③三棱锥的体积的最小值为；④线段长度最小值为．其中所有正确结论的序号是()A.①B.②C.③D.④11．已知函数在处取得极值,且在上单调,则下列结论中正确的是（

）A．的取值范围是B．不可能有两个零点C．若在上有最小值,则的取值范围是D．当时,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是三、填空题（每小题5分,共3小题,满分15分.）12．若复数是纯虚数,则实数．13.设,若,则.14．已知是定义在上的增函数,函数的图象关于点对称,若实数,满足等式,则的最大值为．四、解答题（要求写出必要的过程）15．（本题满分13分）在锐角中,角的对边分别为,已知(1)求角；(2)若,求面积的取值范围....................13分16．（本题满分15分）某公司升级了智能客服系统,在测试时,当输入的问题表达清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为,当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.(1)求智能客服的回答被采纳的概率；(2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立）,设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差.17．（本题满分15分）如图,正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直,已知,,点在线段上.(1)求证：平面平面；(2)当直线与平面所成角的正弦值为时,求.18．（本题满分17分）在中,点,,的周长为6.(1)求点的轨迹的方程；(2)若椭圆上点处的切线方程是,①过直线上一点引的两条切线,切点分别是、,求证：直线恒过定点；②是否存在实数,使得,若存在,求出的值,若不存在,说明理由.19．（本题满分17分）给定正数与无穷数列,若存在,当时,都有,则称数列具有性质．(1)求证：数列具有性质；(2)若无穷数列具有性质,求证：存在正数,使得；(3)若对任意正数,数列都具有性质,则称为“—数列”．若正项数列是“—数列”,试判断数列是否也是“—数列”,并证明你的结论．（注：）答案一、选择题（给出的选项中只有一项是符合题目要求的,每小题5分,共8小题,满分40分.）1．已知集合=,=,,则等于（D）A.（1,2） B. C. D.2．已知角的终边经过点,则（A）A． B． C． D．3．已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点F的距离为12,到y轴的距离为9,则p=（C）A．2 B．3 C．6 D．94.已知为等比数列,为数列的前项和,,则的值为 （C）A．3 B．18 C．54 D．152【详解】由题意可得：当时,,即,①当时,,即,②联立①②可得,则．5．已知向量,且的夹角为锐角,则的取值范围为（A）A． B．C． D．【详解】由的夹角为锐角,即,即,解得；当共线时,,解得,此时满足,此时两向量夹角为,于是的夹角为锐角时,.6.从1,2,3,4,5,6,7这7个数任选3个不同数排成一个数列,则得到的数列为等差数列的概率为（A）A． B． C． D．【详解】从给定的7个数中任取3个的试验有个基本事件,能构成等差数列的事件含有：公差为的个,公差为的个,公差为有个,共18个基本事件,所以得到的数列为等差数列的概率为.7．若函数的两个零点分别为和,则（A）A． B． C． D．【详解】函数,其中,由,得,而,因此,即,则即,故.8．已知点在曲线上,⊙过原点,且与轴的另一个交点为,若线段,⊙和曲线上分别存在点、点和点,使得四边形（点,,,顺时针排列）是正方形,则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（B）．A．曲线上不存在”完美点”B．曲线上只存在一个“完美点”,其横坐标大于C．曲线上只存在一个“完美点”,其横坐标大于且小于D．曲线上存在两个“完美点”,其横坐标均大于【详解】如图,如果点为“完美点”则有,以为圆心,为半径作圆（如图中虚线圆）交轴于,（可重合）,交抛物线于点,当且仅当时,在圆上总存在点,使得为的角平分线,即,利用余弦定理可求得此时,即四边形是正方形,即点为“完美点”,如图,结合图象可知,点一定是上方的交点,否则在抛物线上不存在使得,也一定是上方的点,否则,,,,不是顺时针,再考虑当点横坐标越来越大时,的变化情况：设,当时,,此时圆与轴相离,此时点不是“完美点”,故只需要考虑,当增加时,越来越小,且趋近于,而当时,；故曲线上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于．故选．二、多项选择题（每小题全对得6分,部分答对得部分分,有错误选项得0分,共3小题,满分18分）9．下列说法中正确的是（BC）A．已知离散型随机变量,则B．一组数据148,149,154,155,155,156,157,158,159,161的第75百分位数为158C．若,则事件与相互独立D．根据分类变量与的观测数据,计算得到,依据的独立性检验可得：0.10.050.012.7063.8416.635变量与独立,这个结论错误的概率不超过0.05附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值【详解】对于A：据二项分布的方差公式可得,∴,∴A错误；对于B：,根据百分位数的定义,这组数据的第75百分位数为第8个数158,∴B正确；对于C：∵,∴,∴,根据事件独立性的定义可知,事件与相互独立,∴C正确；对于D：根据的值以及常用的概率值与相应临界值可知,依据的独立性检验,可得变量与相互独立,即认为变量与不相互独立,犯错误的概率大于0.05小于0.1,∴D错误．10．已知正方体的边长为2,且为棱的中点,点在正方形的边界及其内部运动,且满足与底面所成的角为,给出下列四个结论：(ABC)

①存在点使得；②点的轨迹长度为；③三棱锥的体积的最小值为；④线段长度最小值为．其中所有正确结论的序号是()A.①B.②C.③D.④【详解】对于①,当在中点上时,如图,连接,,

因为正方体,所以面,,所以,由中位线定理得,而,面,所以面,所以,故①正确,对于②,所以与底面所成的角为,故,而面,所以,因为为棱的中点,所以,所以点的轨迹半径为1的个圆,故长度为,故②正确,对于③,如图,连接,

由正方体性质得,面,所以,由勾股定理得,所以四边形是平行四边形,而,所以四边形是矩形,所以,设中点为,如图,作,

而面,面,所以,因为,面,所以面,而正好在的轨迹上,所以当运动到时,到面距离最短,此时可以得到是的中位线,由勾股定理得,所以,所以体积的最小值为,故③正确,对于④,若最小,则最小,连接,,如图,当共线时取得最小值,

由勾股定理得,此时,得,故④错误.11．已知函数在处取得极值,且在上单调,则下列结论中正确的是（

ACD

）A．的取值范围是B．不可能有两个零点C．若在上有最小值,则的取值范围是D．当时,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是【详解】选项A：由题得,若,则,单调递增,不存在极值,又因为在处取得极值,所以必有．当时,可知在处取得极小值,且在上单调递增,符合题意；当时,可知在处取得极大值,但在上先减后增,不合题意．综上,的取值范围是,故A正确．选项B：由选项A可知的极大值为,极小值为,因为,所以极大值,当极小值,即时,有两个零点,故B错误．选项C：要使在上有最小值,应满足,即,解得,故C正确；选项D：当时,,令,显然是奇函数,且,因此不等式,可化为,即,由于是奇函数,（结论：任意三次函数的图象均为中心对称图形,且对称中心为点,其中是的二阶导数的零点）所以,又,且在上单调递增,（函数在上单调递增,将的图象向上平移个单位长度得到的图象,所以与的单调性相同）,因此,即,于是,由于,因此,则,故实数的取值范围是,故D正确．三、填空题（每小题5分,共3小题,满分15分.）12．若复数是纯虚数,则实数．【正确答案】213.设,若,则.14．已知是定义在上的增函数,函数的图象关于点对称,若实数,满足等式,则的最大值为．【详解】由函数的图象关于点对称,向左平移个单位,知函数的图象关于点对称,故函数为奇函数,可转化为由是定义在上的增函数,两边平方得,且,即点是以为圆心,半径为1的下半圆,如图示：令,即作直线,上下平移,当直线与圆相切于点A时,取得最小值即,解得或（舍去）则的最小值为,的最大值为四、解答题（要求写出必要的过程）15．（本题满分13分）在锐角中,角的对边分别为,已知(1)求角；(2)若,求面积的取值范围.【详解】（1）由正弦定理得：,......................................1分即,,...................3分,...................4分,又；...................6分（2）由正弦定理得：,,,...................8分在锐角中：,解得：,...................10分,,,则...................13分16．（本题满分15分）某公司升级了智能客服系统,在测试时,当输入的问题表达清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为,当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.(1)求智能客服的回答被采纳的概率；(2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立）,设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差.【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”,“输入的问题表达不清晰”,依题意,,,.................4分因此,所以智能客服的回答被采纳的概率为...................7分（2）依题意,的所有可能取值为0,1,2,3,,..................8分,,............12分所以的分布列为.0123...........13分数学期望；.............15分17．（本题满分15分）如图,正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直,已知,,点在线段上.(1)求证：平面平面；(2)当直线与平面所成角的正弦值为时,求.【详解】（1）证明：由正方形有,............1分又平面平面,平面平面,所以平面,............3分又平面,所以,............4分过点作,则,,,所以,所以,即,...........5分又,所以平面,............6分又平面,所以平面平面；............7分（2）由（1）知两两互相垂直,分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系如图：则有,............8分设,则,设,则有,解得,得,............9分所以,设平面的法向量为,则有,.....10分令,得,...........11分设直线与平面所成角为,所以.....13分解得或,..................14分所以或...................15分18．（本题满分17分）在中,点,,的周长为6.(1)求点的轨迹的方程；(2)若椭圆上点处的切线方程是,①过直线上一点引的两条切线,切点分别是、,求证：直线恒过定点；②是否存在实数,使得,若存在,求出的值,若不存在,说明理由.【详解】（1）因为点,,所以,..................1分又的周长为,所以,..................3分所以点在以,为焦点的椭圆上（除长轴上两顶点外）,..................4分其中,,所以,..................5分所以点的轨迹的方程为（）...................6分

（2）①设切点坐标为,直线上的点的坐标,..............7分则切线方程分别为,又两切线均过点,即,从而点、的坐标都适合方程,而两点之间确定唯一的一条直线,故直线的方程是,.................10分显然对任意实数,点都适合这个方程,故直线恒过定点...................11分

②将直线的方程,代入椭圆方程,得,即,..................12分显然,,,