广东省中山市2024-2025学年高二下学期4月期中数学检测试题（含答案）

广东省中山市2024-2025学年高二下学期4月期中数学检测试题一、单选题1.设三次函数f(x)的导函数为f’(x)，函数y=xf’(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是（

）A．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(−3B．f(x)的极大值为f(−3)，极小值为f(3C．f(x)的极大值为f(-3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(-3)2.设n∈N+，化简CA．7nB．167n3.某同学计划2023年高考结束后，在A,B,C,D,E五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为（

）A．15B．25C．34.若曲线y=lnx+aA．12B．1C．35.已知函数f(x)及其导函数f’(x)，若存在x0使得f(x0)=f’(x0A．y=xB．y=exC．y=cosxD．y=6.设函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f’(x)<g'(x)，则当x∈(a,b)时（

）A．f(x)<g(x)B．f(x)>g(x)C．f(x)+g(a)<g(x)+f(a)D．f(x)+g(b)<g(x)+f(b)7.如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（

）A．72B．56C．48D．368.已知a=ln4+14，b=2e，c=A．a<b<cB．a<c<bC．c<a<bD．b<c<a二、多选题9.下列问题属于排列问题的是（

）A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳B．从10人中选2人去游泳C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数10.已知函数f(x)=x3A．a=3B．f(x)在[-1,1]上单调递减C．D．f(x)的图象关于原点中心对称11.已知函数fxA．fxB．fxC．点01是曲线y=fD．直线y=2x是曲线y=fx三、填空题12.函数y=x13.圆周上有2n个等分点(n>1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_______14.函数fx四、解答题15.计算题(1)计算：A(2)已知C1716.已知数列an满足：a1=(1)求证：数列an(2)求数列an的通项公式及其前n项和S17.已知函数f(x)=13(1)求函数f(x)在x=3处的切线方程；(2)求函数f(x)在[0,3]上的最大值与最小值．18.设函数f(x)=In(2x+3)+x(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[−319.已知函数f(x)=12(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1）处切线的方程；(2)试讨论函数f(x)的单调区间．答案与试题解析1.D当x<-3时，y=xf'(x)>0，即f'(x)<0，当-3<x<3时，f'(x)⩾0，当x>3时，f'(x)<0，所以f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(-3)．2.B因Cn所以Cn1+故Cn故选：B．3.B在A,B,C,D,E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：C5A大学恰好被选中的基本事件为：C1所以A大学恰好被选中的概率为：410故选，B4.C【正确答案】C【详解】由题得，f(x)=y=lnx+a所以f'(x)=1−lnx−a则曲线y=lnx+ax在点(1,a)处的切线的斜率为，k=又因曲线y=lnx+a所以(1-a)×2=-1，解得a=3故选，C5.D【正确答案】D【详解】对于A，f(x)=x，则f'(x)=1，令f(x)=f'(x)，则x=1，故有巧值点。对于B，f(x)=ex，则f'(x)=e方程有解，故有巧值点。对于C，f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx，令f(x)=f'(x)，则sinx+cosx=0，即2sin(x+π4对于D，f(x)=1x的定义域为x∈(0,+∞)，则f'(x)=−而f(x)>0，显然f(x)=f'(x)无根，故无巧值点。故选，D6.C【正确答案】C【详解】对于AB，设f(x)=-2x，g(x)=1，则f'(x)=-2，g(x)=0，满足题意，若x=-1∈(a,b)，则f(x)=2>1=g(x)，故A错误。若x=0∈(a,b)，则f(x)=0<1=g(x)，故B错误。对于CD，因函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f’(x)<g'(x)，令h(x)=f(x)-g(x)，则h'(x)=f'(x)-g'(x)<0，所以h(x)在R上单调递减，因x∈(a,b)，所以h(b)<h(x)<h(a)，由h(x)<h(a)得f(x)-g(x)<f(a)-g(a)，则f(x)+g(a)<g(x)+f(a)，故C正确。同理得f(x)+g(b)>g(x)+f(b)，故D错误。故选，C7.C将四个区域标记为ABCD，第一步涂A，有4种涂法。第二步涂B，有3种涂法。第三步涂C，有2种涂法。第四步涂D，有2种涂法。根据分步乘法计算原理可得，共有4×3×2×2=48种着色方法，故选，C8.B【正确答案】B【详解】设f(x)=lnx+1x，则令f'(x)>0得0<x<1，令f'(x)<0得x>1，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，又因a=ln4+14=f(4)，b=2e=lne+1e且e<π<4，所以f(e)>f(π)>f(4)，即b>c>a，故选，B9.A,D对于A，从6人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工不同，是排列问题；对于B，从10人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题。故选：AD10.A,B,Cf(x)=x3-ax+1，则f'(x)=3因函数f(x)d图像在x=2处的切线斜率为9，所以f'(2)=12-a=9，解得a=3，故A正确。f(x)=x3-3x+1，x∈R，f'(x)=3(x−1)(x+1)令f'(x)⩽0，得−1⩽x⩽1，所以f(x)在[-1,1]上单调递减，故B正确。由于limΔx→0函数f(x)=x3-3x+1，x∈R，f(−x)=−所以f(x)+f(-x)=2，则f(x)的图象关于点(0,1)中心对称，故D错误。故选，ABC11.A,Cfx在−3333所以x=±33是极值点，故因f−33=1+2所以，函数fx在−∞当x⩾33时，fx⩾f3综上所述，函数fx有一个零点，故B令ℎx=x3−x则ℎx是奇函数，00是将ℎx的图象向上移动一个单位得到f所以点01是曲线y=fx的对称中心，故可得x=±1，又f1当切点为11时，切线方程为y=2x−1，当切点为−11时，切线方程为故D错误，故选AC．12.1设x=t∴x=t∴y=t−t∵y为开口向下，对称轴为t=1∴y在[0,12)∴y在x=12时取得最大值13.2n(n-1)由题得，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，因圆周上有2n个等分点，所以共有n条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，所以可作2n-2个直角三角形，根据分步乘法计数原理得共有n(2n-2)=2n(n-1)个。14.(0,∵函数fx∴lnxx−设g(x)=lnxx(x>0)，则函数g(x)与y=g'(x)=1−lnx当x∈(0,e)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(e,+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，所以函数g(x)在x=e时，取最大值g(e)=1e又因当x→0时，g(x)→−∞，当x→+∞时，g(x)>0且g(x)→0，故函数g(x)的大致图像如下所示：由图得0<k2<15.(1)-5【正确答案】-5【详解】A(2)x=2或x=3C17所以3x=2x+2或3x+2x+2=17解得，x=2或x=316.(1)解答见详解【详解】由题得，an+1∴a所以数列an(2)解答见详解【详解】由（1）得，an−1所以前n项和S17.(1)解答见详解【详解】因f(x)=13x3则所求切线的斜率为f'(3)=5，且f(3)=-1，故所求切线方程为y=5x-16。(2)解答见详解【详解】因f(x)=13x3所以f'(x)=x令f'(x)=0，得x=2或x=-2（舍去）当x∈[0,2]，f'(x)⩽0，函数f(x)单调递减，当x∈[2,3]，f'(x)⩾0，函数f(x)单调递增，所以f(x)的极小值为f(2)=83又f(0)=2，f(3)=-1，所以f(x)的最大值为2，最小值为−1018.(1)解答见详解；f(x)=In(2x+3)+x2，定义域为(−且f′当−32<x<−1当−1<x<−1所以f(x)在区间(−3在区间(−1,−1(2)解答见详解由(1)得，f(x)在区间[−34,又f(−3所以f(x)在区间[−34,19.(1)解答见详解【详解】当a=1时，f(x)=12x2所以f'(1)=0，又f(1)=−3所以f(x)在点(1，f(1）处切线的方程为y=−3(2)解答见详解【详解】由题得，f'(x)=x−(a+1令f'(x)=0，解得x=a或x=1a若0<a<1，a<1a，所以f(x)的单调增区间为(0,a)和(1a,