福建省莆田市2024-2025学年高一下学期期中考试数学检测试题（含答案）

福建省莆田市2024-2025学年高一下学期期中考试数学检测试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.若向量，，，则（

）A．16 B．32 C．64 D．128在中，，，，则（

）A． B． C．或 D．或4.在中，已知，则△ABC的形状是（

）.A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰或直角三角形5.已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的体积为（）A．B．2C．4D．56.已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（

）A． B．6 C． D．37.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（

）A．高为2 B．母线长为3C．侧面积为14πD．体积为π在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（

）A．的虚部为 B．的模为C． D．10.如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（

）

A．B．C．的最大值为5D．若，则当三点共线时，11．如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（

）A．四边形ABCD的面积为B．该外接圆的半径为C．过D作交BC于F点，则D．三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）12．已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为__________13．微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在处观察该无人机（两人的身高忽略不计），为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100m，甲观察无人机的仰角为，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度，则这两个角可以是.（写出所有符合要求的编号，写错或写不全，均不得分）①和；②和;③和；④和.14.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为；若点是线段上的动点，则的最小值为.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）已知向量．(1)若，求实数k的值；(2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．16.（15分）在中，边的长分别为.(1)利用向量知识证明：；(2)在中，.求的值及的面积.（15分）①，，且；②；从以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.（1）求A的值；（2）若是锐角三角形且，求的取值范围.18.（17分）如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高．（1）求四棱台的表面积；（2）若把这块铁料最大限度地打磨成一个圆台，求消去部分与圆台的体积之比；（3）若先将整个棱台铁料融化成铁水（不考虑损耗），再把全部铁水凝固成一个实心圆柱，当圆柱的底面半径为何值时，圆柱的上下底面圆周长与侧面积的和最小.19.（17分）如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．(1)在仿射坐标系中，若，，且，求实数；(2)在仿射坐标系中，若，．①当时，求；②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值．题号1234567891011答案AADBCACDABACDBCD12.【详解】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径为，所以圆锥的表面积为.13.①③④【分析】①：根据已知先解得AC，然后可得；②：根据已知直接判断可知；③：先解得PA，然后可得；④：先由最小角定理的，解可得AC，然后可得.【详解】①：当已知和时，在利用内角和定理和正弦定理可得AC，然后在中，由三角函数定义可得PC，故①正确；②：当已知和时，在已知一角一边，在中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；③：当已知和时，在中已知两角一边，可解出PA，然后在中，由三角函数定义可得PC，故③正确；④：当已知和时，可先由最小角定理求得，然后解可得AC，最后在中，由三角函数定义可得PC，故④正确.故①③④14.【正确答案】【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质确定球心，即可计算半径及表面积，利用翻折后，由平面上两点之间距离最短确定Q位置，再由余弦定理求解最小值.【详解】如图，

设中点为O，由底面，底面，所以,又，，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因为，，所以，所以在中，，所以O为四棱锥外接球的球心，为该球半径，所以其表面积为；将绕AC翻折到与所在面重合，此时运动到处，连接，交AC于点Q，如图，

此时最小，因为，，所以，又，，所以.所以的最小值为.故；15.(1)(2)【分析】（1）求出向量的坐标，由求解即可；（2）由题意可得，且与不共线，据此求解即可.【详解】（1）解：因为，所以．因为，则，所以，解得．（2）解：由（1）知，所以．因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线．即，解得且，所以实数k的取值范围是．16.（1）略（2）在中,所以是锐角，.由，可得，而，所以，可得，则，故；17.【详解】解：（1）选①，因为，，且，所以，由正弦定理得：，即，，又因，所以，所以；选②，因为，所以，即，由正弦定理得：，又因，所以，所以；(2)因为，则，因为，所以，因为，所以，所以，所以18.（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取，中点，，连接，，，则，，，，，四棱台的表面积．（2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆与正四棱锥的上、下底面正方形相切，高为正四棱台的高，圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，高，则圆台的体积为：四棱台的体积为削去部分得体积为削去部分与圆台得体积之比为（3）设圆柱得地面半径为r，高为h，则，解得圆柱的上下底面圆周长与侧面积的和为当且仅当19.(1)(2)①；②【分析】（1）根据题意，结合，得出方程，即可求解；（2）①当时，利用数量积的公式，求得，，，结合向量的夹角公式