2024-2025学年高二下学期期中考试数学检测试卷（含答案）

2024-2025学年高二下学期期中考试数学检测试卷考生须知：

1.

本试卷分为试题、答题卡两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.

认真填写所在班级、姓名、教育ID。准确粘贴条形码。

3.

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为

(

)A.6，8 B.6，6 C.5，7 D.6，2某物体做自由落体运动的位移s(t)=12gt2，g=9.8 m/s2A.从1 s到(1+Δt)s这段时间的平均速度 B.从0 s到1 s这段时间的平均速度

C.在t=1 s这一时刻的瞬时速度 D.在t=Δts这一时刻的瞬时速度函数fx=ln2xA.12x B.1ln2x C.1x某大学四名学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有(

)．A.9种 B.13种 C.64种 D.81种已知函数f(x)=x2⋅sinx，则fA.0 B.π C.π24 已知函数f(x)在x=x0处可导，f'(x0)=0是函数f(x)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示，则f'(1)−f(1)=(

)A.1 B.−1C.0 D.−为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t).甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论：①

在t1②

在t2③

在[t④

在[t其中所有正确结论的序号是(

)A.①② B.①③④ C.②③ D.①③曲线f(x)=ln(2x−1)上的点到直线2x−y+3=0的最短距离是(

)A.1 B.2 C.5 D.已知函数f(x)=aex①当a≤0时，f(x)在区间(0,+∞)上单调递减； ②当0<a<1e时，③当a≥1e时，f(x)有最大值． A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。若A53=4Cnx2+1x在复平面内，复数z=21+i，则z的虚部是

．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有

种.(用数字作答)共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock竞争函数”进行近似估计，其解析式为S(x)=xaxa+(1−x)a,x∈[0,1],a>0(其中参数a表示市场外部性强度，a越大表示外部性越强).给出下列四个结论：①S(x)过定点12,12；②S(x)在[0,1]上单调递增；③S(x)其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法个数．(1)全体排成一行，其中男生必须排在一起;(2)全体排成一行，男、女各不相邻;(3)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边;(4)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．17.(本小题15分)已知函数f(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)求函数fx的单调区间．18.(本小题15分)如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF/​/DE，DE⊥AD，AD⊥BE，AF=AD=12DE=1，AB=2．

(Ⅰ)求证：BF/​/平面CDE；

(Ⅱ)求二面角B−EF−D的余弦值；

(Ⅲ)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面19.(本小题15分)设椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A、(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．20.(本小题14分)已知函数f(x)=ax−(2a+1)lnx−2x，g(x)=−2alnx−(1)当a>0时，求f(x)的单调区间;(2)若存在x∈[1e,e2]21.(本小题14分)已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1<i2<…<im)，若ai1<ai2<…<aim，则称新数列ai1，ai2，…，aim为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．

(1)写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；答案和解析1.【正确答案】A

【分析】本题考查两个计数原理的综合应用，属于基础题．

解：根据分步乘法计数原理，可知从甲地经过乙地到丙地的走法种数为2×3=6；

又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走，由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地的走法种数为6+2=8．2.【正确答案】A

【分析】根据题意，由导数的定义分析可得答案．

本题考查平均变化率的计算，属于基础题．

解：s(1+Δt)−s(1)Δt=s(1+Δt)−s(1)(1+Δt)−1=24.5m/s，

所以24.5 m/s是该物体从1 s3.【正确答案】C

【分析】利用简单复合函数的求导公式进行求解【详解】f'x故选：C4.【正确答案】D

【分析】本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．

根据已知及分步乘法计数原理的计算，求出不同的选法．

解：由题知，每名大学生都有3种选择，根据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3=81种选法．

故本题选：D．5.【正确答案】B

【分析】本题考查导数的乘法运算，属于基础题．

由基本函数的求导公式以及求导法则求导，即可代入求值．解：

f'(x)=2x⋅sin x+x故选：B6.【正确答案】B

【分析】本题考查了函数极值的概念，充分、必要、充要条件的判断，属于容易题．

函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是：f'(x0)=0且

解：函数f(x)在x=x0处可导，f'(x0)=0推不出函数f(x)在点x0处取得极值；

反之，函数f(x)在点x0处取极值，必有f'(x0)=0．

故7.【正确答案】A

【分析】本题考查导数及其几何意义，是基础题．

由切线经过的两点求得切线的斜率与切线方程，得到f'(1)，进一步求得f(1)，即可求得．

解：∵切线过点(2,0)与(0,−1)，

∴f'(1)=−1−00−2=12，

则切线方程为y=12x−1，取x=18.【正确答案】D

【分析】本题考查平均变化率和瞬时变化率的概念，属于中档题．

解：对于①，在t1时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①对于②，在t2时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的f'(t2对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在[t2,t3对于④，在[t1,t2]和[t9.【正确答案】C

【分析】本题考查了利用导数研究曲线的切线方程和点到直线的距离，属于基础题．

设曲线上过点P(x0,y0)的切线平行于直线2x−y+3=0，此切点到直线2x−y+3=0的距离最短，由f'(x解：设曲线上过点P(x0,y0∵f'(x)=2∴f'(x0)=∴曲线f(x)=ln(2x−1)上的点P(1,0)到直线2x−y+3=0的距离最短，

为d=|2−0+3|210.【正确答案】C

【分析】本题考查利用导数研究函数单调性、极值、最值，属于综合题．

求出函数

f(x)

的导数，讨论a的范围，判断函数的单调性，从而判断极值点的个数及函数的最值问题．解：

f(x)=aex−对于①，因为

x>0

，所以

ex当

a≤0

时，

f'(x)=aex−x <0

，则

f(x)

在区间

(0,+∞)对于②，令

f'(x)=aex−x=0

，得

a=xe当

g'(x)=1−xex >0

时，则

x<1

；当

所以函数

g(x)

在

(−∞,1)

上单调递增，在

(1,+∞)

上单调递减，所以当

x=1

，

g(x)又当

x

趋近于

−∞

时，

g(x)

趋近于

−∞

，

g(0)=0

，当

x

趋近于

+∞

时，

g(x)

趋近于

0

，所以可作出函数

g(x)=x

由图可知，当

0<a<1e

时，直线

y=a

与

即方程

f'(x)=aex−x=0当

x<x1

或

x>x2

时，

f'(x)>0

，当

则

f(x)

在

(−∞,x1)

和

(x2所以

x1

是函数

f(x)

的极大值点，

x2

是函数

故

f(x)

有两个极值点，所以②正确．对于③，当

a≥1e

时，

a≥xex

，即

f'(x)⩾0所以函数

f(x)

无最大值，所以③错误．则说法正确的个数为

2

，故选：C．11.【正确答案】6

解：由A 5 3=4Cn 2，得5×4×3=4×n(n−1)2，

即n2−n−30=0，解得n=6或n=−5(舍去12.【正确答案】84

【分析】

本题考查二项式定理中通项公式的应用：求常数项，属基本题型、基本方法的考查．

先写出通项，在通项公式中令x的系数为0，求出k，从而写出常数项．

解：(x2+1x)9的展开式中的通项为Tk+1=C9k(13.【正确答案】−1

【分析】本题考查了复数的概念与分类，复数的除法运算，共轭复数，属于基础题．

由复数除法化简成标准形式，再求出共轭复数，即可求虚部．解：z=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，

故−1．14.【正确答案】480

【分析】本题考查了排列的应用，考查了分类讨论的思想，属于拔高题．

就C的位置分类讨论即可．

解：如图六个位置．

若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有A55种情况；

若C放在第2个位置，则从3，4，5，6共4个位置中选2个位置排A，B，再在余下的3个位置排D，E，F，共A42·A33种排法；

若C放在第3个位置，则可在1，2两个位置排A，B，其余位置排D，E，F，则共有A22·A33种排法或在4，5，6共3个位置中选2个位置排A，B，再在其余3个位置排D，E，F，共有A32·A33种排法；

若C在第4个位置，则有A22A315.【正确答案】①②

【分析】本题考查函数中的新定义问题，函数的单调性，对称性，属于中档题

对于①：令x=12即可求得定点可判断①的正误；对于②对Sx求导，判断导函数在x∈0,1时的正负即可判断②的正误；对于③由②即可判断正误；对于解：对于①，在S(x)中，令x=12，则S12=对于②，S'x=ax1−xa−1xa+对于③，由②知Sx为单调递增，故不存在对称性，故③对于④，以a为自变量，设Sx为Ta，则∵a>0，故x1−xaxa+当x1−x<1，即0<x<12时，T'a当x1−x>1，即12<x<1时，T'a>0，随着故①②．16.【正确答案】解：(1)捆绑法.将男生看成一个整体，进行全排列.

再与其他元素进行全排列.共有A33A(2)插空法.先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有A3(3)位置分析法.先排最右边，除去甲外，有A61种，余下的6个位置全排有A66种，但应剔除乙在最右边的排法数A51A(4)定序排列.第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此A77=N×本题主要考查排列组合的方法，涉及到的方法有捆绑法，插空法，特殊位置优先排，定序排列，属于中档题．

(1)相邻问题用捆绑法，即将男生看成一个整体，进行全排列;

(2)不相邻问题用插空法：先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位;

(3)特殊位置先排列，分情况讨论，最后用加法原理求排列数;

(4)定序排列.先求全排列，再除以顺序数即可．点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．17.【正确答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x+lnx，定义域为x∈(0,+∞)，

∵f(1)=1+ln1=1，所以切点为(1,1)，

又f'(x)=1+1x，所以f'(1)=1+1=2，即切线的斜率等于2，

所以切线方程为：y−1=2(x−1)，整理得y=2x−1；

(2)f'(x)=a+1x=ax+1x，x∈(0,+∞)，

当a≥0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，

当a<0时，令f'(x)>0，即ax+1>0，解得0<x<−1a，

令f'(x)<0，即ax+1<0，解得x>−本题考查导数的应用，属于中档题．

(1)利用导数的几何意义求解；

(2)利用导函数研究函数的单调性即可求解．18.【正确答案】解：(Ⅰ)由底面ABCD为平行四边形，知AB/​/CD，

又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，

所以AB//平面CDE，

同理AF//平面CDE，

又因为AB∩AF=A，AB,AF⊂平面ABF，

所以平面ABF//平面CDE；

又因为BF⊂平面ABF，

所以BF//平面CDE；

(Ⅱ)连接BD，因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE⊥AD，

又DE⊂平面ADEF，

所以DE⊥平面ABCD，

又BD⊂平面ABCD，则DE⊥DB，

又因为DE⊥AD，AD⊥BE，DE∩BE=E，DE,BE⊂平面BDE，

所以AD⊥平面BDE，

又BD⊂平面BDE，

则AD⊥BD，

故DA, DB, DE两两垂直，

所以以DA, DB, DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(−1,1,0)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，

所以BE=(0,−1,2)，EF=(1,0,−1)，n=(0,1,0)为平面DEF的一个法向量，

设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z)，

由m⋅BE=0，m⋅EF=0，得−y+2z=0x−z=0,

令z=1，得m=(1,2,1).

所以cos<m,n>=m⋅n|m||n|=63，

如图可得二面角B−EF−D为锐角，

所以二面角B−EF−D的余弦值为63.

(Ⅲ)结论：线段BE上存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF，

证明如下：

设BQ=λBE=(0,−λ,2λ)(λ∈[0,1])，所以DQ=DB+BQ=(0,1−λ,2λ)，

本题考查了线面平行的判定，运用空间向量求二面角，立体几何中的探究性问题，考查了空间想象能力和运算能力，属于中档题．

(1)先证明平面ABF//平面CDE，进而证明BF//平面CDE；

(2)先证明DA, DB, DE两两垂直，然后建立空间直角坐标系，运用向量法求二面角即可；

(3)设BQ=λBE=(0,−λ,2λ)(λ∈[0,1])，平面CDQ的法向量为u=(a, b, c)，由u⋅DQ=019.【正确答案】解：(1)根据题意，c=2−1=1，∴F(1,0)，

∵l与x轴垂直，∴x=1，

由x=1x22+y2=1,

解得x=1y=22或x=1y=−22,

∴A1,22或1,−22，

kAM=221−2=−22，或kAM=222−1=22，

∴直线AM的方程为y=−22x+2或y=22x−2；

(2)证明：

①当l与x轴垂直时，OM为线段AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，

②当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x−1)，

A(x本题考查直线和椭圆的位置关系与韦达定理，直线的斜率与倾斜角，考查运算能力和转化能力，属于较难题．

(1)先得到F的坐标，再求出点A的坐标，进而求得直线AM的斜率，根据点斜式可得直线方程；

(2)分两种情况讨论，①与x轴垂直；②直线斜率为k的直线方程，联立方程化为一元二次方程，再由韦达定理，证明kMA+k20.【正确答案】解：(1)函数y=f(x)的定义域为0,+∞，

f'(x)=a−2a+1x+2x2=a(x−2)(x−1a)x2．

当a=12时，f'(x)≥0恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上为增函数；

当a>12时，当x∈(0,1a)，(2,+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)为增函数；

当x∈(1a,2)时，f'(x)<0，f(x)为减函数；

当0<a<12时，当x∈(0,2)，(1a,+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)为增函数；

当x∈(2,1a)时，f'(x)<0，f(x)为减函数．

综上，当a=12时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>12时，函数f(x)在(0,1a)，(2,+∞)上单调递增，在(1a,2)上单调递减；

当0<a<12时，函数f(x)在(0,2)，(1a,+∞)上单调递增，在(2,1a)上单调递减．

(2)f(x)≥g(x)等价于ax−(2a+1)lnx−2x≥−2alnx−2x，即ax−lnx≥0，

分离参数a得，a≥lnxx，x∈[1e,e2]．

令ℎ(