第五章 5.1.1任意角-人教A版高中数学必修第一册教学课件

5.1.1任意角第五章三角函数数学学习目标①掌握正角、负角、零角及象限角的定义，理解任意角的概念.②掌握终边相同的角的表示方法.③会判断角所在的象限.学习重难点重点：

任意角的概念，象限角的表示.难点：

终边相同的角的表示.课堂导入情境在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等?课堂导入问题在初中时大家学过角的概念，它的范围是多大?有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.顶点边边初中定义答案

0°~360°.课堂探究思考：(1)体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢?(2)经过1小时，秒针、分针各转了多少度?探究一角的概念课堂探究角的概念平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.角的构成要素：终边、始边、顶点、旋转方向.始边终边顶点ABO旋转方向探究一角的概念课堂探究任意角按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.探究一角的概念课堂探究

画出下列各角：α=210°，β=−150°，γ=−660°.探究一角的概念课堂探究相等角如果角α与角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称

α=β.

角的加法设α，β是任意两个角，规定把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是

α+β.探究一角的概念课堂探究相反角把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为−α.角的减法α−

β

＝α＋(−β)探究一角的概念课堂探究思考1

为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置?xoyx第一、第二、第三或第四象限，坐标轴上.探究二象限角课堂探究思考2

如果角的终边在第几象限，那么就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何象限.−50°，405°，210°，−200°角分别是第几象限角?−50°xyO第四象限角xyo405°第一象限角xyO210°第三象限角xyO−200°第二象限角探究二象限角课堂探究思考3

第二象限角一定比第一象限角大吗?不一定.象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.探究二象限角课堂探究探究三终边相同的角思考1

−32°，328°，−392°角是第几象限角?这些角有什么内在联系?−32°−392°xyO328°都是第四象限角，这些角相差360°的整数倍.课堂探究探究三终边相同的角思考2

所有与−32°角终边相同的角，连同−32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗?S={β|β=−32°+k·360°，k∈Z}.思考3

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示?S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.课堂探究探究三终边相同的角思考4

终边在x轴非负半轴、非正半轴，y轴非负半轴、非正半轴上的角分别如何表示?在x轴非负半轴：α=k·360°，k∈Z；在x轴非正半轴：α=180°+k·360°，k∈Z；在y轴非负半轴：α=90°+k·360°，k∈Z；在y轴非正半轴：α=270°+k·360°，k∈Z.课堂探究例1

在0°~360°范围内，找出与−950°12'角终边相同的角，并判定它是第几象限角.解因为−950°12'=129°48'−3×360°，所以在0°~360°范围内，与−950°12'角终边相同的角是129°48'，它是第二象限角.课堂探究【跟踪训练1】−2024°角是

(

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析−2024°=−6×360°+136°，136°角是第二象限角，所以−2024°角是第二象限角.B课堂探究例2

写出终边在y轴上的角的集合.解在0°~360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角(如图).因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z}，而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z}，于是，终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z}={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)180°，k∈Z}={β|β=90°+n·180°，n∈Z}.课堂探究【跟踪训练2】解析终边在坐标轴上的角的大小为90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α=k·90°，k∈Z}.故选D.D终边与坐标轴重合的角α的集合是(

)A.{α|α=k·360°，k∈Z}B.{α|α=k·180°+90°，k∈Z}C.{α|α=k·180°，k∈Z}D.{α|α=k·90°，k∈Z}课堂探究解S={β|β=45°+k·180°，k∈Z}.S中适合不等式−360°≤β<720°的元素β有−315°，−135°，45°，225°，405°，585°.例3

写出终边在直线y=x上的角的集合S.S中满足不等式−360°≤β<720°的元素β有哪些?课堂探究【跟踪训练3】终边在直线y=−x上的角的集合是(

)A.{α|α=k·360°+135°，k∈Z}B.{α|α=k·360°−45°，k∈Z}C.{α|α=k·180°+225°，k∈Z}D.{α|α=k·180°−45°，k∈Z}D评价反馈1.

若集合A={α|α为第一象限角}，B={α|α为锐角}，C={α|α为小于90°的角}，则下面关系正确的是(

)A.A=B=C

B.A⊆CC.A∩C=B

D.B∪C⊆CD解析由已知得B⫋C，所以B∪C=C，故D正确.评价反馈2.

如图，若角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包含边界)，则角α构成的集合是

.

{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°，k∈Z}评价反馈3.

在0°到360°范围内，找出与下列度数角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：(1)−120°；(2)640°.解(1)与−120°角终边相同的角的集合为M={β|β=−120°+k·360°，k∈Z}.当k=1时，β=−120°+360°=240°，所以在0°到360°范围内，与−120°角终边相同的角的度数是240°，这个角是第三象限角.(2)与640°角终边相同的角的集合为M={β|β=640°+k·360°，k∈Z}.当k=−1时，β=640°−360°=280°，所以在0°到360°范围内，与640°角终边相同的角的度数是280°，这个角是第四象限角.课堂小结1.角的定义平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.2.角的分类正角：射线按逆时针方向旋转形成的角负角：射线按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不作旋转形成的角知识归纳课堂小结