《空间向量及其加减运算》教学设计

13/133.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算(陈菊仙)一、教学目标（一）核心素养 通过本节课学习，使同学们理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的加减运算法则及运算律，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义，并通过空间几何体加深对运算的理解．（二）学习目标 1．理解空间向量的有关概念． 2．掌握空间向量的加减运算法则及运算律． 3．培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力，培养学生空间想象能力．（三）学习重点 1．空间向量的有关概念． 2．空间向量的加减运算的平行四边形法则和三角形法则． 3．空间向量的加减运算在空间几何体中的应用．（四）学习难点 1．对空间向量相关概念的理解及与平面向量的关系． 2．熟练掌握加减法的运算法则．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第84页至第85页，填空： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量可以用有向线段来表示．向量的起点是，终点是，则向量记作． 我们规定，长度为0的向量叫做零向量．模为1的向量称为单位向量．与向量为长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．方向相同且模相等的向量称为相等向量． 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． （2）写一写：空间向量的加法和减法运算的字母表示是什么？ ，．空间向量的加法运算满足的交换律和结合律是什么？，．2．预习自测（1）以下说法正确的是（）A．向量的长度与向量的长度相等B．零向量没有方向C．若空间向量，满足，则 D．空间中任意两个单位向量必相等【知识点】空间向量概念的应用．【解题过程】相反向量长度相同，A正确；零向量的方向为任意方向，B错误；向量相等既要长度相等，也要方向相同，C错误；单位向量方向不确定，D错误．【思路点拨】理解向量的各种概念．【答案】A．（2）向量的化简结果是．【知识点】空间向量加法的字母运算．【解题过程】【思路点拨】空间向量加法的字母运算的关键是首尾相接．【答案】．（3）向量的化简结果是（）A． B． C． D．【知识点】空间向量减法的字母运算．【解题过程】【思路点拨】利用相反向量的概念，将空间向量的加法运算转化为减法运算．【答案】B．（4）在正方体中，下列选项中化简后为零向量的是（）A． B．C． D．【知识点】在空间几何体中进行空间向量的加法运算．【解题过程】．【思路点拨】利用正方形中的平行四边形的性质进行空间向量的加法运算．【答案】C．(二)课堂设计1．知识回顾 （1）平面向量的定义及表示方法； （2）平面向量中零向量、单位向量、相反向量、相等向量的概念； （3）平面向量中加减法的平行四边形法则和三角形法则．2．问题探究探究一由平面向量类比空间向量的概念★●活动①类比提炼概念在必修四中，我们学习了平面向量的一些概念，那么在空间中，空间向量的概念和平面向量有什么异同呢？ 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（spacevector）．向量的大小叫做向量的长度或模（modulus）．【设计意图】从平面向量到空间向量，从二维到三维，体会概念的类比过程．●活动②辨析概念，理解特殊向量在平面向量中，我们是用什么来表示向量的呢？（抢答）与平面向量一样，空间向量可以用有向线段来表示．向量的起点是A，终点是B，则向量记作，其模记作或．【设计意图】通过深入类比，学生的思维逐步过渡到空间向量上．●活动③辨析概念，理解特殊向量与平面向量一样，空间向量也有一些特殊的向量． 我们规定，长度为0的向量叫做零向量（zerovector），记为．模为1的向量称为单位向量（unitvector）．与向量为长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equalvector）．【设计意图】通过概念辨析，加深对向量内涵与外延的理解，突破重点．探究二探究空间向量的加减法运算★●活动①平移类比，提炼运算法则空间任意两个向量一定共面吗？（抢答）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．已知空间向量，，我们可以把它们移到同一个平面内，以任意点O为起点，作向量，．类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法运算：，．【设计意图】通过平移类比，用平面向量引出空间向量的运算法则．●活动②巩固理解，深入探究平面向量的加法有哪些运算律呢？空间向量呢？（抢答） 交换律：，结合律：，空间向量的加法运算律和平面向量一致．【设计意图】通过抢答，学生在复习平面向量的加法运算律的同时，得到空间向量的加法运算律，理解更加深入．探究三探究空间向量的具体应用★▲●活动①归纳梳理、理解提升通过前面的学习，我们知道了空间向量是平面向量在空间的推广，各种概念、运算和平面向量基本一致．那有哪些内容和平面向量是不一样的呢？（抢答）在空间中，三个以上的向量进行加减法，要考虑三个向量不共面的情况．【设计意图】通过学生归纳知识点和方法，培养学生数学对比、归类、整理意识．●活动②互动交流、初步实践例1已知，为空间向量，以下命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则与的方向不同【知识点】空间向量大小和方向概念．【数学思想】转化思想．【解题过程】A中，向量相等还需要方向相同，故错误；B中，向量不能比较大小；D中，与可能为平行关系．【思路点拨】深刻理解向量的定义，既有大小又有方向．【答案】C．同类训练给出以下命题：①若向量是的相反向量，则；②空间向量的减法满足结合律；③在正方体中，必有．其中正确命题的个数是（）A． B． C． D．【知识点】空间向量的概念．【数学思想】转化思想．【解题过程】由相反向量的定义知①正确；减法不满足结合律，②错误；③中，符合向量相等的定义，正确．【思路点拨】熟悉、理解各种概念．【答案】C．【设计意图】通过概念辨析，学生对向量概念理解更加深刻．●活动③巩固基础、检查反馈例2在长方体中，，，，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：（1）单位向量共有多少个？（2）模为的向量有哪些？【知识点】空间向量的表示法，向量的模．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】（1）∵，∴向量，，，，，，，都是单位向量．（2）∵，∴向量，，，，，，，都是符合题意．【思路点拨】先找出满足条件的线段．【答案】（1）8个；（2），，，，，，，.同类训练在长方体中，，，，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：（1）与相等的向量有哪些？（2）试写出向量的相反向量．【知识点】空间向量的表示法，相等向量与相反向量．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】（1）∵，∴向量，，与相等．（2）同（1）分析，向量，，，是的相反向量．【思路点拨】先找出直线的平行线，再确定方向．【答案】（1），，；（2），，，．【设计意图】通过向量的列举，使学生对向量的各种概念更加熟悉，巩固基础．●活动④强化提升、灵活应用例3在平行六面体中，求证：．【知识点】空间几何体中向量的加法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴，，，且，∴．【思路点拨】将坐标的向量都用表示出来，再根据空间向量的加法法则得到答案．【答案】见解题过程．同类训练在平行六面体中，试用表示向量．【知识点】空间几何体中向量的加法和减法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】．【思路点拨】利用平移使所有向量的起点都为点，从而可使用三角形法则．【答案】．【设计意图】巩固空间向量的加减法运算，培养学生数形结合的能力．3.课堂总结知识梳理（1）在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（spacevector）．向量的大小叫做向量的长度或模（modulus）．（2）我们规定，长度为0的向量叫做零向量（zerovector），记为．模为1的向量称为单位向量（unitvector）．与向量为长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equalvector）．（3）已知空间向量，，以任意点O为起点，作向量，．我们可以定义空间向量的加法和减法运算：，．空间向量的加法交换律：，结合律：．重难点归纳（1）空间向量是平面向量在空间中的推广，是既有大小又有方向的量．要注意零向量，单位向量，相反向量，相等向量的规定．（2）两个空间向量的加减法的运算法则和运算律与平面向量类似；三个以上的空间向量进行加减法，要考虑三个向量不共面的情况．（三）课后作业基础型自主突破1．下列说法正确的是（）A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．若，则与的方向相同或相反D．若与是相反向量，则【知识点】空间向量的概念．【数学思想】转化思想．【解题过程】单位向量方向没有规定，A错误；零向量的相反向量是本身，B错误；向量的大小和方向没有必然联系，C错误．【思路点拨】深刻理解各种概念．【答案】D．2．在三棱柱中，与是________向量，与是________向量【知识点】相等向量与相反向量．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵，且与方向相同，∴与是相等向量，同理，与是相反向量．【思路点拨】熟记相等向量与相反向量的定义．【答案】相等，相反．3． 在空间四边形中，等于（）A． B． C． D．【知识点】空间向量的加减法．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】．【思路点拨】利用加法结合律和三角形法则．【答案】C．4．在三棱柱中，若，，，则（）A． B． C． D．【知识点】空间向量的加减法．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】【思路点拨】将一个向量通过加法法则拆分成已知向量．【答案】D．5．在长方体中，（）A． B． C． D．【知识点】空间向量的加法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】．【思路点拨】利用图形和加法结合律，依次运算．【答案】D．6．已知长方体，化简下列向量表达式：（1）；（2）．【知识点】空间几何体中向量的加减法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）．（2）．【思路点拨】熟练掌握加法的三角形法则．【答案】（1）（2）．能力型师生共研7．在空间四边形中，________．【知识点】空间向量的加减法运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】．【思路点拨】利用加法在正方体中的三角形法则．【答案】．8．已知正方体的中心为，则在下列各结论中，正确的共有（）①与是一对相反向量；②与是一对相反向量；③与是一对相反向量．④与是一对相反向量；A．个 B．个 C．个 D．个【知识点】相反向量的定义，向量的加减法．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】画图，利用向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．【思路点拨】数形结合，利用图形和平行四边形法则进行运算．【答案】C．探究型多维突破9．在正方体中，下列各式运算结果为向量的有（）．①；②；③；④．A．个 B．个 C．个 D．个【知识点】空间几何体中向量的加法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】①；②；③；④．【思路点拨】利用加法三角形法则和结合律．【答案】D．10．已知矩形，为平面外一点，，分别为，的中点，若，，，则________（用，，表示）．【知识点】空间几何体中向量的加减运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】．【思路点拨】利用中点性质，将向量用已知向量表示．【答案】．自助餐1．下列说法正确的是（）A．向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则他们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【知识点】空间向量的概念．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量与的长度都是线段的长度，A正确；将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则他们的终点构成一个球面，B错误；有向线段只是用来表示空间向量，两者并不相同，C错误；不相等的两个空间向量的模可能相等，D错误．【思路点拨】熟悉空间向量的概念．【答案】A．2．在平行六面体中，试用表示向量．【知识点】空间几何体中向量的加法和减法运算．【数学思想】数形结合思想【解题过程】．【思路点拨】利用平移使所有向量的起点都为点，从而可使用三角形法则．【答案】．3．在长方体中，设，，，则与的大小关系为（）A． B． C． D．不能确定【知识点】向量的加减法，向量的模．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】，，由长方体的对角线长度相等，可得．【思路点拨】画图，合理运算，由长方体的几何性质可得．【答案】C．4．已知长方体，________．【知识点】空间几何体中向量的加减法运算．【数学思想】数形结合思