《空间向量的数量积运算》教学设计

15/153.1.3空间向量的数量积运算(陈菊仙)一、教学目标（一）核心素养 通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．（二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律．2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．（三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律．2．空间向量的模长公式和夹角公式．3．空间向量数量积在立体几何中的应用．（四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空：已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作．如果，那么向量，互相垂直，记作．已知两个非零向量，，则叫做，的的数量积，记作．零向量与任何向量数量积为．特别地，．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？①数乘结合律：，②交换律：，③分配率：．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？①若为单位向量，则；②若，为非零向量，则；③；④若，为非零向量，则；⑤（当且仅当，共线时等号成立）．2．预习自测（1）已知向量，满足：，，，则（）A． B． C． D．【知识点】空间向量的夹角公式．【解题过程】∵，∴．【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．【答案】D．（2）在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）A． B． C． D．【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设，则，∴，故与所成角的大小为．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．【答案】B．（3）在平行六面体中，，，，，，则．【知识点】空间向量的模长．【解题过程】，故．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算．【答案】．（4）已知线段，在平面内，，线段，且，，，则，间的距离为．【知识点】空间向量的模长．【解题过程】，故，间的距离为．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算．【答案】．(二)课堂设计1．知识回顾 （1）空间向量线性运算法则和运算律； （2）共线向量定理的两种表达形式； （3）共面向量定理的两种表达形式．2．问题探究探究一由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动①类比提炼概念 前面我们说过，两个非零向量，一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答）已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则叫做向量，的夹角，记作．如果，那么向量，互相垂直，记作．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备．●活动②巩固理解，深入探究同样的，那数量积的定义呢？（抢答）已知两个非零向量，，则叫做，的的数量积（innerproduct），记作．零向量与任何向量数量积为0．特别地，．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义．●活动③深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答）①数乘结合律：，②交换律：，③分配率：．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．探究二探究空间向量数量积的性质★▲●活动①类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答）①若为单位向量，则；（解释：，转化为投影）②若，为非零向量，则；（解释：）③；（解释：）④若，为非零向量，则；（解释：定义的变形式）⑤（当且仅当，共线时等号成立）．（解释：）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点．●活动②巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，，可用于证明空间向量垂直；第③条，，是空间向量的模长公式；第④条，，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．探究三探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动①归纳梳理、理解提升 通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量，的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识．●活动②互动交流、初步实践例1设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①；②；③；④．正确的是（）A．①② B．②③ C．③④D．②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；，不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【答案】D．同类训练已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别为，，的中点，则以下运算结果为的是（）A． B． C．D．【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】由已知可得，所以．【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．【答案】B．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练．活动③巩固基础、检查反馈例2已知空间四边形OABC中，OB=OC，且，则的值为（）A． B． C．D．【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设，，，由已知得，且．所以，所以．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【答案】A．同类训练已知空间向量，，两两夹角为，其模都为，则等于（）A．B．C．D．【知识点】空间向量的模长公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵，，∴，∴，∴．【思路点拨】先计算，，，再利用模长公式展开计算．【答案】A．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固．●活动④强化提升、灵活应用例3已知PO，PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，且，求证：．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线l的方向向量，同时取向量，，∵，∴．∵，且，∴，∴．又∵，∴．【思路点拨】将向量用，来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若，则．【答案】见解题过程．同类训练已知，是平面内的两条相交直线，如果，，求证：．【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在内任作一直线，分别在，，，上取非零向量，，，．∵与相交，∴向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对，使．∵，，∴，即．∴垂直于内的任意直线，∴．【思路点拨】将内的任意直线的方向向量表示为，的线性组合，从而利用数量积证明，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度．3.课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作．如果，那么向量，互相垂直，记作．（2）已知两个非零向量，，则叫做，的的数量积（innerproduct），记作．零向量与任何向量数量积为0．特别地，．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：，②交换律：，③分配率：．（3）空间向量的数量积的性质有：①若为单位向量，则；②若，为非零向量，则；③；④若，为非零向量，则；⑤（当且仅当，共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．（三）课后作业基础型自主突破 1．下列命题中正确的是（）A．B．C．D．若，则 【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】对于A项，，故A错误；对于C项，数量积不满足结合律，故C错误；对于D项，有，所以，但不一定等于，故D错误．B项是数量积的性质． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】B． 2．已知，为单位向量，其夹角为，则（）A． B． C． D． 【知识点】向量数量积的运算． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵，，∴． 【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则． 【答案】B． 3．在三棱锥中，，，，则（） A． B． C． D． 【知识点】空间向量数量积的运算． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】．【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算. 【答案】A．4．在三棱锥中，已知，则是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【知识点】空间向量数量积的运算． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵，∴，即． 【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形． 【答案】B． 5．已知，，为圆上的三点，若，则与的夹角为． 【知识点】空间向量的夹角． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】∵，∴点是中点，故为直径，根据圆的性质，有，即． 【思路点拨】利用几何性质，点是中点，是直角所对的圆周角． 【答案】． 6．已知，，中每两个向量的夹角都是，且，，，试求出的值． 【知识点】向量模长公式． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵，∴． 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算． 【答案】．能力型师生共研7．已知，，，，，若，则．【知识点】向量垂直与数量积的关系． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵，∴，即，则，即，∴，． 【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解． 【答案】．8．直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（） A． B． C． D．【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设．，，，∴，∵，，∴，又∵，，∴． 【思路点拨】将与用．，表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值． 【答案】C．探究型多维突破9．在正三棱柱中，若侧面对角线，求证：．【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设，，，，，∵，且，，∴，∴，∴，∴． 【思路点拨】将，，用，，表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化． 【答案】见解题过程． 10．三棱柱中，，，在平行四边形内是否存在一点，使得平面？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设，，，假设存在点，使得平面，不妨设，则，而，∴，要使平面，只需，，即，，∴，，解得，，，∴存在点，使得平面． 【思路点拨】在平面内将表示为，利用垂直条件列式解出，的值，从而确定点的位置． 【答案】见解题过程．自助餐 1．下列命题中，①；②；③；④．其中真命题的个数为（） A．个 B．个 C．个 D．个 【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】①②③正确，④不正确，因为与的方向不一定相同，故不一定相等． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】C． 2．已知向量，满足，，且与互相垂直，则． 【知识点】向量数量积的运算，夹角公式． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵与互相垂直，∴，即，∴，∴，故． 【思路点拨】先求出，再利用向量夹角公式． 【答案】．3．设，，，是空间不共面的四点，且满足，，，则（）A．是钝角三角形 B．是锐角三角形 C．是直角三角形 D．无形状不确定 【知识点】数量积定义的应用． 【数学思想】转化思想 【解题过程】∵，∴，故为锐角，同理与均为锐角． 【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定． 【答案】B． 4．已知，是两异面直线，，，，，，，且，，则直线，所成的角为（） A． B． C． D． 【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程