《抛物线的简单几何性质（第1课时）》教学设计

16/162.4.2抛物线的简单几何性质（第1课时）（名师：杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2.能根据抛物线的方程对抛物线几何性质进行讨论.（二）学习重点抛物线的几何性质及其运用.（三）学习难点抛物线几何性质的运用.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第68页至第69页.（2）想一想：如何推导抛物线的焦半径公式？（3）写一写：焦点分别在轴上的抛物线的范围、对称性、顶点.2.预习自测判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）抛物线的图象关于点对称.（）（2）抛物线没有渐近线.（）（3）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是.（）（4）抛物线的离心率等于1.（）【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】抛物线只是轴对称图形，没有对称中心，故（1）错误；由抛物线的定义知：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是，故（3）错误.【思路点拨】结合抛物线的定义和抛物线的方程判断.【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）√.（二）课堂设计1.知识回顾（1）抛物线的定义.（2）抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程.2.新知讲解探究一：探究抛物线的几何性质●活动①师生互动，探索性质类比椭圆、双曲线的研究过程，这节课我们来研究“抛物线的几何性质”.提醒学生从数(方程)和形(图像)两个角度去研究抛物线的几何性质.请学生自己先类比椭圆双曲线的几何性质的研究方法，必要时可与同桌讨论.类似研究双曲线的性质的过程，我们以为例来研究一下抛物线的简单几何性质：（1）范围数：由抛物线，所以抛物线的范围为，.形：抛物线在轴的右侧，当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.（2）对称性数：与关于轴对称，若点在抛物线上，即满足，则，即点也在抛物线上，故抛物线关于轴对称.形：从图像观察，关于轴对称，显而易见.注意：抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.（3）顶点定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.数：中，令则，即抛物线的顶点是形：从图像看，显然原点既是顶点.注意：这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同.（4）离心率定义：抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率.由定义知，抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.●活动②类比学习，归纳梳理对于其它几种形式的方程，它们的性质如何，学生分析回答：(通过对照完成表)标准方程图形FF焦点坐标准线方程范围对称性顶点离心率【设计意图】通过填表，培养学生类比、归纳学习能力.●活动③对比分析，深入理解【提出问题】与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？（由学生回答）（1）抛物线只位于___________个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有___________条对称轴，___________对称中心；（3）抛物线只有___________个顶点、___________个焦点、___________条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，其值为___________．探究二：抛物线的特殊量●活动①结合性质，研究概念（1）通径：标准方程中的几何意义.通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径.通径的长度越大开口越开阔利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.设抛物线上一点,则由抛物线的定义可得：焦半径公式：思考：其他三种标准的抛物线对应的焦半径公式呢？●活动②巩固基础，检查反馈例1.已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，所以，即因此，所求的抛物线方程为．【思路点拨】首先由已知点坐标代入方程，求参数p．【答案】．同类训练抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程.【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】椭圆方程为：，则抛物线的对称轴为轴，设抛物线的方程为.又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则，即.故所求抛物线方程为或.【思路点拨】先确定抛物线的形式，再依条件求待定参数.【答案】或.例2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（）A.10B.8C.6D.4【知识点】焦半径.【解题过程】设抛物线焦点为，则【思路点拨】过焦点的弦长分为上下两个焦半径，利用焦半径公式直接求解.【答案】B同类训练已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.【知识点】抛物线定义.【解题过程】由y2＝4x，知p＝2，F(1,0)，由抛物线定义，xA＋eq\f(p,2)＝|AF|，∴xA＝2－1＝1，因此AB⊥x轴，F为AB中点，从而|BF|＝|AF|＝2.【思路点拨】先利用焦半径公式求出，再计算.【答案】.例3.已知圆与顶点在原点，焦点在轴上的抛物线交于,两点，的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程.【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】依题意设所求抛物线方程为，焦点，则①②把②代入①得，所求抛物线方程为【思路点拨】求抛物线的方程时，一定要先根据题目条件准确地确定其形式，然后再由题目条件求出待定的系数.【答案】同类训练已知是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的方程.【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】由题意知：关于轴对称，焦点.设，则，故：.又，所以，即：.所以直线方程为：.【思路点拨】利用抛物线的几何关系解题.【答案】直线方程为：.3.课堂总结知识梳理（1）范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）对称性：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；（3）顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；（4）离心率：抛物线的离心率是确定的，等于1；重难点归纳设为抛物线的焦点，为抛物线上一点，则焦半径公式：.（三）课后作业基础型自主突破1．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq\r(2)，则△POF的面积为（）A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4【知识点】抛物线焦半径.【解题过程】设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，x0＝3eq\r(2)，代入抛物线的方程，得|y0|＝2eq\r(6)，S△POF＝eq\f(1,2)|y0|·|OF|＝2eq\r(3)，选C.【思路点拨】抛物线的焦半径公式：.【答案】C2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于（）A．4 B．4或－4C．－2 D．－2或2【知识点】抛物线焦半径.【解题过程】由题设条件可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，又点P在抛物线上，则.∵|PF|＝4∴eq\f(p,2)＋2＝4，即p＝4，∴k＝±4.【思路点拨】抛物线的焦半径公式：.【答案】B.3．(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为eq\r(2)，且右焦点与抛物线y2＝4eq\r(3)x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（）A.eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)【知识点】抛物线几何性质..【解题过程】∵抛物线y2＝4eq\r(3)x的焦点(eq\r(3)，0)为双曲线的右焦点，∴c＝eq\r(3)，又eq\f(b,a)＝eq\r(2)，结合a2＋b2＝c2，得e＝eq\r(3)，故选B.【思路点拨】利用圆锥曲线的几何性质解题.【答案】B过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为（）A．45° B．60°C．90° D．120°【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】设抛物线方为y2＝2px(p>0)．如图，∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B，∴∠A1FO＝∠FA1A，∠B1FO＝∠FB1B，∴∠A1FB1＝eq\f(1,2)∠AFB＝90°.【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题.【答案】C.5．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36eq\r(3)，则a＝________.【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】设正三角形边长为x.36eq\r(3)＝eq\f(1,2)x2sin60°，∴x＝12.当a>0时，将(6eq\r(3)，6)代入y2＝ax得a＝2eq\r(3)，当a<0时，将(－6eq\r(3)，6)代入y2＝ax得a＝－2eq\r(3)，故a＝±2eq\r(3).【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题.【答案】.6．已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取得最小值时的点P的坐标是________________．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】设P，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝，eq\o(BP,\s\up6(→))＝，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝＋y2＝eq\f(y4,16)＋eq\f(5,2)y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．【思路点拨】数量积问题坐标化转化为函数最值.【答案】.能力型师生共研7．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________________．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝eq\f(p,2)，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即eq\f(p,2)－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题.【答案】(－9,6)或M(－9，－6)8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么|PF|＝________.【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】如图，kAF＝－eq\r(3)，∴∠AFO＝60°，∵|BF|＝4，∴|AB|＝4eq\r(3)，即P点的纵坐标为4eq\r(3)，∴(4eq\r(3))2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8＝|PF|.【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题.【答案】.探究型多维突破9．如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.（1）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（2）若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝eq\r(5).所以|MN|＝2eq\r(|CO|2－d2)＝2eq\r(5－4)＝2.（2）设C(eq\f(y\o\al(2,0),4)，y0)，则圆C的方程为(x－eq\f(y\o\al(2,0),4))2＋(y－y0)2＝eq\f(y\o\al(4,0),16)＋yeq\o\al(2,0)，即x2－eq\f(y\o\al(2,0),2)x＋y2－2y0y＝0.由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋eq\f(y\o\al(2,0),2)＝0，设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，所以eq\f(y\o\al(2,0),2)＋1＝4，解得y0＝±eq\r(6)，此时Δ>0.所以圆心C的坐标为(eq\f(3,2)，eq\r(6))或(eq\f(3,2)，－eq\r(6))，从而|CO|2＝eq\f(33,4)，|CO|＝eq\f(\r(33),2)，即圆C的半径为eq\f(\r(33),2).【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题.【答案】（1）|MN|=2；（2）eq\f(\r(33),2).10．定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】如图，设F是抛物线y2＝x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，M点到准线的垂线为MN，N为垂足，则|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)，根据抛物线定义得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，∴|MN|＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)≥eq\f(|AB|,2)＝eq\f(3,2).设M点的横坐标为x，则|MN|＝x＋eq\f(1,4)，∴x＝|MN|－eq\f(1,4)≥eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，等号成立的条件是弦AB过点F，由于|AB|>2p＝1，∴AB过焦点是可能的，此时M点到y轴的最短距离是eq\f(5,4)，即AB的中点横坐标为eq\f(5,4).当F在AB上时，设A、B的纵坐标分别为y1、y2，则y1y2＝－p2＝－eq\f(1,4)，从而(y1＋y2)2＝yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＋2y1y2＝2×eq\f(5,4)－eq\f(1,2)＝2，∴，∴M点的坐标为(eq\f(5,4)，±eq\f(\r(2),2))时，M到y轴距离的最小值为eq\f(5,4).【思路点拨】本题从分析图形性质出发将三角形的性质应用到解析几何问题中，再结合抛物线的定义和方程求解，这样解答简捷准确．【答案】M到y轴距离的最小值为eq\f(5,4)，M(eq\f(5,4)，±eq\f(\r(2),2)).自助餐1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（）A． B．C． D．【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由抛物线的定义知：抛物线的顶点到准线的距离最短.【思路点拨】利用抛物线的定义解题.【答案】D2．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点（）A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0，－2)【知识点】抛物线的定义.【解题过程】∵圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)．【思路点拨】利用抛物线的定义解题.【答案】B3.抛物线y2＝2x的焦点为F，其准线经过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|＝2，则双曲线的离心率为（）A.eq\f(\r(10),2) B．2C.eq\r(5) D．eq\f(\r(5),2)【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】F(eq\f(1,2)，0)，l：x＝－eq\f(1,2)，由题意知a＝eq\f(1,2).由抛物线的定义知，xM－(－eq\f(1,2))＝2，∴xM＝eq\f(3,2)，∴yeq\o\al(2,M)＝3，∵点(xM，yM)在双曲线上，∴eq\f(\f(9,4),\f(1,4))－eq\f(3,b2)＝1，∴b2＝eq\f(3,8)，∴c2＝a2＋b2＝eq\f(5,8)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,8)×4＝eq\f(5,2)，∴e＝eq\f(\r(10),2).【思路点拨】注意利用两曲线的交点同时满足两种定义.【答案】A.4．已知A、B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O为坐标原点，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB