《抛物线及其标准方程（第2课时）》教学设计

12/172.4.1抛物线及其标准方程（第2课时）（名师：杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.掌握抛物线的定义与标准方程；2.利用抛物线的标准方程和定义来解决问题.（二）学习重点1.抛物线定义的应用.2.抛物线的焦点弦长求法.（三）学习难点灵活利用抛物线的定义解决问题.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第64页至第67页.（2）想一想：如何求抛物线的标准方程？（3）写一写：用待定系数法求抛物线标准方程时，如果开口方向不确定，可设抛物线的方程为或（），分别表示焦点在轴或轴上但开口方向不确定的抛物线；其中，抛物线的焦点为.2.预习自测（1）顶点在原点，准线方程为的抛物线方程为（）A.B.C.D.答案：D解析：【知识点】抛物线的方程.【解题过程】由题意知：抛物线的开口向下，设抛物线方程为，则，故，所以抛物线方程为：.点拨：注意求抛物线方程要先定型后定量.（2）抛物线的准线方程是（）A.B.C.D.答案：C解析：【知识点】抛物线的方程.【解题过程】抛物线方程为：，故，所以准线方程为：.点拨：将抛物线方程转化为标准方程处理.（3）若抛物线上横坐标为的点到焦点距离为，（）A.B.C.D.答案：B解析：【知识点】抛物线的定义和方程.【解题过程】由题意知：，故.点拨：利用抛物线的定义解题.（4）抛物线上一点到焦点的距离为，则到轴的距离为（）A.B.C.D.答案：A.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由抛物线定义知：到准线的距离为.又准线方程为，故到轴距离为.点拨：注意把握抛物线的定义.（二）课堂设计1.知识回顾（1）抛物线的定义是什么？（2）抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么，并说出对应的焦点坐标和准线方程？2.新知讲解上节课，我们研究了抛物线的定义以及各种形式的标准方程，下面我们在定义的基础上进一步利用定义解决具体问题.探究一求抛物线方程例1.根据下列条件，求出抛物线的标准方程.（1）过点；（2）焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.【知识点】抛物线的标准方程【解题过程】（1）设所求的抛物线方程为：或抛物线过点，或，所求抛物线方程为，或（2）由题意，可设抛物线方程为，到焦点距离为5，由抛物线的定义有，所以所求抛物线方程为点拨：求抛物线的标准方程常常采用待定系数法，利用题中所给条件确定抛物线方程中参数的值，由于（1）题中抛物线过点，即抛物线经过第二象限，于是要分两种情况.求抛物线标准方程的解题步骤：（1）确定抛物线的开口方向；（2）设出抛物线的标准方程；（3）用抛物线的定义或待定系数法确定p的值，写出抛物线的标准方程.答案：（1），或；（2）.同类训练：双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（）A.B.C.D.答案：A.解析：【知识点】抛物线的方程【解题过程】抛物线焦点坐标为，则由题意知：，故.点拨：利用抛物线的方程解题.例2.点与点的距离比它到直线的距离小1，求点的轨迹方程.【知识点】曲线的方程、抛物线的定义.【解题过程】如图所示，设点的坐标为由已知条件可知，点与点的距离等于它到直线的距离.根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点的抛物线.∵∴因为焦点在轴的正半轴上，所以点的轨迹方程为.点拨：定义法求轨迹是解决轨迹问题的一种重要方法，充分利用抛物线的定义将问题转化处理.答案：.同类训练：已知圆与定直线，动圆P和圆A外切并与直线相切，求动圆的圆心P的轨迹方程.答案：解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】依题意可知：P到圆心的距离与到定直线的距离相等，P点轨迹为抛物线，其中，开口向左P点的轨迹方程为：点拨：由相切的定义可知点P到点A的距离与点P到直线，符合抛物线的定义.探究二焦点弦长问题例3.斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，求线段的长.【知识点】抛物线的定义.【解题过程】如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点，准线方程.由题可知，直线的方程为，代入抛物线方程，整理得法一：解上述方程得分别代入直线方程得即的坐标分别为∴法二：设,由抛物线定义可知，等于点到准线的距离，即.同理.∴.点拨：将直线方程与抛物线方程结合可求出具体交点坐标运算.在例3的第二种方法中我们不难发现：对于抛物线，过焦点的直线交抛物线于，则.答案：同类训练：已知抛物线的焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和的值.答案：，.解析：【知识点】抛物线的定义与方程.【解题过程】法一：设抛物线方程，则焦点，由题设可得：解得.故抛物线的方程为,的值为±.法二：设抛物线方程为，则焦点，准线方程为.根据抛物线的定义，到焦点的距离等于5，也就是到准线的距离等于5，则，即因此抛物线方程为又点在抛物线上，于是.点拨：焦点在轴上的抛物线有两种形式，一种开口向右，另一种开口向左，因为的横坐标是，所以开口向左.先设出抛物线标准方程，根据在抛物线上与到焦点的距离等于可得出两个方程.从而得出方程组，解方程组即可.另外也可根据抛物线定义，到焦点的距离等于到准线的距离.例4.已知抛物线，点P是此抛物线上动点，点坐标为，求点P到点A的距离与到轴距离之和的最小值.B B答案：的最小值为12.解析：【知识点】抛物线的定义【解题过程】将代入，得点在抛物线外部，抛物线焦点，准线，过P作于点B，交轴于点则，由右图可知，当三点共线时，最小.的最小值为，故的最小值为12.点拨：由于轴平行于准线，所以和到准线的距离相等，故，再结合几何关系处理.同类训练：在抛物线上求一点，使到焦点与到点的距离之和最小.答案：P.解析：【知识点】抛物线的定义【解答过程】如下图所示，设抛物线的点到准线的距离为由抛物线定义可知：∴显然当三点共线时，最小.∵，可设代入得故点的坐标为.点拨：是抛物线上任一点，如按一般思路设出坐标，再用两点间距离表示出到焦点的距离及到点的距离，接着得出一关系，从而求最值的话，计算上太繁；此题可用抛物线的定义，用到焦点的距离等于到准线的距离即可作出.3.课堂总结知识梳理求抛物线标准方程的解题步骤：（1）确定抛物线的开口方向；（2）设出抛物线的标准方程；（3）用抛物线的定义或待定系数法确定p的值，写出抛物线的标准方程.重难点归纳（1）用待定系数法求抛物线标准方程时，如果开口方向不确定，可设抛物线的方程为或（），分别表示焦点在轴或轴上但开口方向不确定的抛物线；（2）当抛物线不在标准位置时，用定义来求方程；（三）课后作业基础型自主突破1．以双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）A．y2＝16xB．y2＝－16xC．y2＝8xD．y2＝－8x答案：A.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由双曲线方程eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，∴抛物线的焦点为F(4,0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则由eq\f(p,2)＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.故选A.点拨：利用抛物线定义解题.2．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是（）A．x＋4＝0B．x－4＝0C．y2＝8xD．y2＝16x答案：D.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，∴其方程为y2＝16x，故答案是D.点拨：利用抛物线定义解题.3．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq\r(2)，则△POF的面积为（）A．2B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．4答案：C.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】抛物线C的准线方程为x＝－eq\r(2)，焦点F(eq\r(2)，0)，由|PF|＝4eq\r(2)及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3eq\r(2)，从而yP＝±2eq\r(6)，∴S△POF＝eq\f(1,2)|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(6)＝2eq\r(3).点拨：利用抛物线的焦半径公式.4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有（）A．|P1F|＋|P2F|＝|FP3|B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F|答案：C.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】∵点P1，P2，P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，两边同时加上p，得2(x2＋eq\f(p,2))＝x1＋eq\f(p,2)＋x3＋eq\f(p,2)，即2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|，故选C.点拨：利用抛物线定义解题.已知圆与抛物线的准线相切，则抛物线的焦点坐标是_________.答案：.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】圆的方程：，由题意知：，解得：，从而有.点拨：注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径.6.抛物线上的动点M到定点的距离与它到焦点F的距离之和的最小值为________.答案：5.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由几何关系知：.点拨：利用抛物线的定义解题.能力型师生共研7．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为（）A.eq\f(5\r(2),2)B．eq\f(5\r(2),2)＋1C.eq\f(5\r(2),2)－2D．eq\f(5\r(2),2)－1答案：D.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】设抛物线焦点为F，过P作PA与准线垂直，垂足为A，作PB与l垂直，垂足为B，则d1＋d2＝|PA|＋|PB|－1＝|PF|＋|PB|－1，显然当P、F、B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上)时，d1＋d2取到最小值，最小值为eq\f(5\r(2),2)－1.点拨：结合几何关系，利用抛物线定义解题.8.若正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在抛物线上，则这个三角形的面积为_________.答案：解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由对称性，正三角形另外两个顶点关于轴对称，设为，将其代入抛物线方程中得，故正三角形的边长为，从而有：.点拨：利用抛物线的方程以及几何性质解题.探究型多维突破9.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，点在轴上方，求.答案：.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】直线的倾斜角为，且过焦点可设直线将代入上面的方程，得，解得，又点在轴上方，，点拨：注意线段比例关系的处理“化斜为直”.10.如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于轴），且，线段AB的垂直平分线恒过定点，求此抛物线的方程.答案：.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】设抛物线方程为，其准线方程为，设，由抛物线的定义知，又，，在线段的中垂线上，，又，所以，又与轴不垂直，，故，所求抛物线为.点拨：利用抛物线的定义解题.自助餐1.抛物线的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．8D．16答案：C.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】，则.点拨：利用抛物线的定义解题.2.已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则等于（）A．4B．C．D．答案：C.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由题意可设：，由抛物线定义得：，故，将代入方程得：.点拨：利用抛物线的定义解题.3.若点P到点的距离比它到直线的距离小1，则P点的轨迹方程为（）A．B．C．D．答案：C解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由条件知点到直线的距离等于它到点的距离，由抛物线定义得：.点拨：利用抛物线的定义解题.4.已知是抛物线上不同的两点，则是直线通过抛物线焦点的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】设，联立可得：，故.点拨：注意利用直线的横截距表示方程，便于计算.5.抛物线的焦点F在x轴上，直线与抛物线相交于点，，求抛物线的标准方程．答案：.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】在x轴上的抛物线的标准方程为：，则由抛物线的定义得，又所以故所要求抛物线的方程为：点拨：利用抛物线的定义解题.6．如图所示，P为圆M：(x－3