《高等数学（下）第三版》课件-10.1重积分的概念与性质

第10章重积分及其应用10.1

重积分的概念与性质重积分是定积分在多元函数中的推广.

也可以是平面上的一段曲线;而三元函数的积分区域则更复杂.本章讨论二元函数在平面区域上的二重积分

定积分的积分域是数轴上

和三元函数在空间立体上的三重积分,并且介绍它们的一些应用.例10-1-1

(曲顶柱体的体积)

其图形为曲面S.如图所示,10.1.1二重积分的概念曲面S位于坐标平面Oxy上方,由曲面S、

坐标平面Oxy上的区域D

所围成的立体Ω称为在区域D上以曲面S为顶的曲顶柱体.可以通过“分割、

近似、求和、取极限”的方法

如图所示,

曲顶柱体Ω被分割成n个小曲顶柱体ΔΩ1,

在每个小区域Δσi上任取一点Pi(ξi,ηi),以f(ξi,ηi)为高、Δσi为底作一小平顶柱体(如图所示),

若把Δσi的面积仍记为Δσi,则此小平顶柱体的体积f(ξi,ηi)Δσi可作为ΔΩi的体积ΔVi的近似值,即ΔVi≈

f(ξi,ηi)Δσi.从而整个曲顶柱体体积的近似值为V

随着区域D的无限细分,从直观上容易看出,相应作出的这个和数

随着分割越来越细,要求

区域Δσi随之缩成一点.

由区域的直径定义可知,小区域Δσi中任意两点之间的距离趋于零

并将所有小区域的直径的

则当

‖Δσ‖

→0时,和式即为曲顶柱体Ω的体积V,即

每个小区域Δσi中任意两点之间的距离都趋于零,即为Δσi的直径趋于零.最大值记为‖Δσ‖,

例10-1-2(非均匀薄板的质量)

其面密度μ是点坐标(x,y)的连续函数μ(x,y),求该薄板的质量m.在每个小区域

可把小区域Δσi上的面密度近似地看作常量

μ(ξi,ηi).由此得到Δσi的质量Δmi的近似值

趋于零时,上述和式的极限就是非均匀薄板的质量m,

以上两个例子虽然具体意义各不相同,但都可以通过“分割、

的和式极限问题.由这类形式的问题可以抽象出二重积分的概念.

作和式

记作

函数

f(x,y)称为被积函数,

dσ称为面积元素,

因为当二重积分存在时,积分值与对积分区域D的分割方式无关,所以在直角坐标系中

经常用两组分别平行于x轴和y轴的直线来分割D,若Δσi的两边长为Δxi与Δyi,则Δσi=ΔxiΔyi.因此也把二重积分记号这时

由定义,

于是,例10-1-1中曲顶柱体的体积V是曲顶函数f(x,y)在D上的二重积分

例10-1-2中非均匀薄板的质量

m是

面密度函数

μ(x,y)

中的面积元素dσ写成dxdy,在D上的二重积分当f(x,y)≥0时,

而当f(x,y)≤0时,曲顶柱体位于此时

即为坐标平面Oxy下方的曲顶柱体体积的相反数.若规定曲顶柱体体积取正值,

而位于平面Oxy下方的曲顶柱体体积取负值,则根据下述二重积分的性质3可知,一般二重积分

的曲顶柱体的体积.

位于平面Oxy上方的并称其为负体积,位于坐标平面Oxy上下方各个曲顶柱体正、负体积的代数和.特别地,若取

f(x,y)为常值函数

f(x,y)=1,

表示高为1、底为D的平顶柱体体积,在数值上等于区域D的面积σ,即

在有界闭域

D上连续的函数

f(x,y)在D上可积与定积分相类似,(可积的充分条件)

,

且在D上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续,10.1.2

可积性条件与二重积分的性质为方便计,则f(x,y)在D上是可积的.假定本章所讨论的函数f(x,y)、g(x,y)等在有界闭域D上

因而在D上可积.设σ为区域D的面积,

性质1

性质2

其中k为任意常数.性质3若把区域D用一光滑曲线分为两个区域D1和D2

(如图),

若在区域D上有f(x,y)≤g(x,y),

性质5

则

(二重积分的中值定理)若函数f(x,y)在有界闭域D上

则在D上至少存在一点(ξ,η),

因为f(x,y)在有界闭域D上连续,使得所以f(x,y)在有界闭域D上有最大值M和最小值m.由性质5性质7可得

≤

M,即

使得

即⑤式成立.在区域D上以曲面z=f(x,y)为顶的

等于同一底面而高为f(ξ,η)的平顶柱体(正负体积的代数和)

的体积.

称为二元函数f(x,y)在区域D上的平均值.

例10-1-3

估计其中D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π}.解由-1≤sinx,cosx≤1得0≤sin2(x+y)cos2(xy)≤1,区域D的面积为π2,所以0≤

=π2.

下面是(1)

D1为D位于y≥0的部分,

=0.

(2)D2为D位于x≥0的部分,则

=0.例10-1-4确定二重积分利用被积函数的对称性和积分区域的对称性

解f是连续函数.由于区域D关于y轴对称,被积函数xf(x2y)是x的奇函数,所以

=0.

例10-1-5

(非均匀物体的质量)

其体密度

μ为点坐标(x,y,z)的连续函数

μ(x,y,z),如图所示,10.1.3

三重积分的概念和性质求物体Ω的质量m.

在每个小区域

当小区域ΔVi的直径很小时,在ΔVi上的密度可近似地看作常量μ(ξi,ηi,ζi).若小区域ΔVi的体积仍用ΔVi表示,即

Δmi≈μ(ξi,ηi,ζi)ΔVi.

并记

其体积和直径分别为ΔVi和

di

(i=1,

则称函数f(x,y,z)在区域Ω上可积,和式⑥都有确定的极限I,且称此极限值I为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记作

其中,区域Ω称为积分区域,dV称为体积元素,函数f(x,y,z)称为被积函数,x、y、z称为积分变量.因为三重积分的值与对积分区域

Ω的分割方式无关,所以在直角坐标系中经常用平行于坐标平面的三族平面来分割Ω,这样得到

三条棱长为Δxi、Δyi、Δzi,则ΔVi=ΔxiΔyiΔzi.的小区域ΔVi,由定义,记号中的体积元素dV写成dxdydz,

三重积分是和式⑥的极限,即

因此可以把三重积分于是,

若ΔVi的

更一般的结论是:若函数在Ω上有界且在Ω上除去有限个点或有限片光滑曲面外都连续,则f(x,y,z)在Ω上三重积分也有与二重积分类似的性质.例如,或有限条光滑曲线则类似于二重积分,

则

可积.又如,三重积分的中值定理可以叙述为:若函数

f(x,y,z)在空间有界闭域

Ω上连续,则在

Ω上至少存在一点

P(ξ,η,ζ),使得

=f(ξ,η,ζ)V,其中

V表示区域Ω的体积.特别地,当

f(x,y,z)在Ω上恒等于1时,则有

=V.本节的重点是二重积分和三重积分的定义和性质.应注意(1)以物体在重积分的定义中也强调了和式的极限②与⑦学习时,必须与区域的分法以及点Pi的取法无关.这样要求的道理很简单,求和、取极限”的方法来计算时,任何一个物体都有一个确定的质量,不会因为分割方法和点Pi的取法的不同(2)在重积分定义中要求所有小区域的直径的最大值趋于零是十分与定积分相类似,在用“分割、近似、而不同.重要的,趋于零.因为只有‖Δσ‖→0或‖ΔV‖→0它不能改为要求平面小区域的面积或空间小区域的体积的最大值才能保证随着分割越来越细,小区域中从而保证近似求和的合理性和取极限的准确性.以下几点:的质量问题来说,任何两点间的距离趋于零,(3)对区间的分割只有在而重积分中分割的对象是区域,也可用分割的方式比较复杂.在定积分中分割的对象是直线上的区间,例如对平面区域,既可用