2025年九年级中考数学复习训练圆专题：垂径定理的应用

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年九年级中考数学复习训练圆专题：垂径定理的应用1．辽宁省拥有多座历史悠久的石拱桥．如图，这是被誉为“关外第一桥”的天盛号石拱桥，它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为4米，圆弧所在圆的半径是米，求拱高（弧的中点到弦的距离）．2．丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径．3．金华境内峰峦叠嶂，公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，(1)如图1，，的延长线交于圆心，若甲组测得，，，求的长．(2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点为的中点，若丙组测得，，求该混凝土管片的外圆弧半径．4．素材：图1中有一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图．某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．解决问题：(1)若桥拱形状是圆弧，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米，判断它是否能顺利通行并说明理由；(2)若拱桥是抛物线形，为迎佳节，拟在图3所示的桥拱上悬挂长的灯笼．要求灯笼底部距离水面不小于，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为．为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布，则悬挂的灯笼数量是个．5．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端．求拱门最高点D到的距离．6．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为．(1)求桥拱的半径；(2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．7．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．(1)求这座石拱桥主桥拱的半径；(2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由．8．如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、(1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径．9．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为8米，拱高（弧的中点到水面的距离）为2米．(1)求主桥拱所在圆的半径；(2)若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）．10．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为，求这个圆形截面的半径．11．在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为___________．(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证．12．“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时．(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？(2)在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？13．一座拱型桥，桥下水面宽度是20米，拱高是4米．若水面上升3米至．则水面宽度是多少？（1）如图①，若把桥拱看作是抛物线的一部分，求的长；（2）如图②，若把桥拱看作是圆的一部分，求的长．14．景德桥，俗称西关大桥，是我国一座著名的古代石拱桥．景德桥位于山西省东南部的晋城西门外，横跨沁水河，过去，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，故曾又名沁阳桥．桥下水面宽度是20米，拱高是4米，若水面上升3米至处．（1）把拱桥看作抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，求水面宽度．（2）把拱桥看作圆的一部分，则可构造如图2所示的图形，求水面宽度．15．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端．(1)求拱门最高点到地面的距离；(2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年九年级中考数学复习训练圆专题：垂径定理的应用》参考答案1．【分析】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．【详解】解：过点O作于点D，交于点C，如图所示：∵，∴，由题意得：，在中，，∴，即拱高为．2．该圆形工件的半径．【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可．【详解】解：圆心落在上，平分，线段垂直平分线段，、、三点所在圆的圆心在上，，连接，则，设的半径为，，，，解得：，该圆形工件的半径．3．(1)(2)【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、垂径定理和勾股定理是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，利用相似三角形的性质进行计算即可；（2）根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，又∵，∴，∴，设m，则m，∴，解得，经检验，是原方程的根，即，∴的长为．（2）解：如图，设圆心为点，连接、、，，与相交于点，则，，设外半径为，则，在中，由勾股定理可得，，即，解得，∴该混凝土管片的外圆弧半径为．4．(1)能顺利通行，理由见解析(2)7或8【分析】本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数，圆的相关性质．（1）画出图形，根据题意可知，，T，由勾股定理可得，即可得到答案．（2）先求出二次函数的解析式，然后根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可知悬挂点的纵坐标的最小值是，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可知共可挂7盏灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼．【详解】（1）解：如图，设圆心为M，设圆的半径为r米，由题意得于点C，于点T，连接，则米，∴，解得米，根据题意可知，，，，∴，∴，∴，∵，∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿航行；（2）解：如图，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则点B的坐标为，设函数关系式为，代入得，解得：，∴抛物线的解析式为，∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，∴当悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是，当时，，∴，∴悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4，∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼，故答案为：7或8．5．【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线是解决问题的关键．连接，由题意得，则，再由勾股定理求得，即可求解．【详解】解：连接，由题意得．∵C为的中点，，∴，∴，∴，∴拱门最高点D到的距离为．6．(1)(2)不需要采取紧急措施，理由见解析【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．（1）设桥拱的半径是，由垂径定理求出，而，由勾股定理得到，求出；（2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长即可得解．【详解】（1）解：如图半径，，设桥拱的半径是，，，拱高为，，，，，桥拱的半径是；（2）解：不需要采取紧急措施，理由如下：如图，连接，，，，，，不需要采取紧急措施．7．(1)这座石拱桥主桥拱的半径为(2)此渔船不能顺利通过这座桥【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键．（1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解；（2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，设主桥拱半径为，由题意可知，，∴，，∵，∴，∴，解得，，∴这座石拱桥主桥拱的半径为．（2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下，如图，设为该渔船的上端，连接，∵，船舱顶部为长方形并高出水面，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴此渔船不能顺利通过这座桥．8．(1)见解析(2)【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键，（1）在拱门上找任意一点，分别与相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置；（2）先证四边形是矩形，设，再根据勾股定理求得的值，即可得到拱门的圆弧半径．【详解】（1）解：如图，点即为所求，（2）解：连接，如图所示：∵，，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是矩形，过点作于，交优弧于点，交于，则，，，设，则，，在中，，∴，，解得，∴拱门的圆弧半径为．9．(1)主桥拱所在圆的半径长为5米(2)此时水面的宽度为米【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．（1）连接，设半径，在中，利用勾股定理构建方程求解即可；（2）根据勾股定理列式可得的长，最后由垂径定理可得结论．【详解】（1）∵点是的中点，，∴经过圆心，设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为，连接，设半径，在中，，解得．答：主桥拱所在圆的半径长为5米；（2）设与相交于点，连接，∴，∴，在中，，答：此时水面的宽度为米．10．(1)见解析(2)【分析】（1）运用尺规作图的步骤和方法即可解答；（2）作于D，并延长交于C，则D为的中点，则，设这个圆形截面的半径为，在中，运用勾股定理求出x即可．【详解】（1）如图所示；

（2）作于D，并延长交于C，则D为的中点，∵，∴．设这个圆形截面的半径为，又∵，∴，在中，∵，即，解得．∴圆形截面的半径为．【点睛】本题考查了垂经定理和勾股定理，根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键．11．(1)4(2)见解析【分析】（1）连接，，过点作，则为，的中点，得出，，根据勾股定理即可求出的长；（2）过作，作，垂足分别为、，得出，，，，连接、、、，通过证明和，即可得证．【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案为：（2）过作，作，垂足分别为、，∴，，，，又∵，∴，连接、、、，

在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键．12．(1)计时4分钟后小明离地面的高度是11m(2)8分钟【分析】（1）设4分钟后小明到达点，过点作

于点，先算出的度数，再根据三角函数计算出的长度，即可算出的长度.（2）假设距离地面31米，先算出长度，再根据三角函数值算出的度数，进而可知的度数，即可算出小明将连续保持在离地面31m以上的空中的时间.【详解】（1）解：设4分钟后小明到达点，过点作于点，即为小明离地的高度，∵∴(m)．答：计时4分钟后小明离地面的高度是11m；（2）解：∵当旋转到处时，作弦交的延长线于点，连接，此时离地面高度为．当时，，∵每分钟旋转的角度为：，

∴由点旋转到所用的时间为：（分钟）．答：在旋转一周的过程中，小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中．【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.13．（1）EF＝10米；（2）米【分析】（1）根据题意得：AB=20米，则AC＝10米，拱高CD=4米．则A，D的坐标分别是（﹣10，0），（0，4），可设抛物线的表达式为y＝ax2+c，将这两点的坐标代入解析式，即可求解；（2）根据题意得：米，，EF＝2GF，设圆的半径是r米，则米，米，在Rt△OCB中，由勾股定理可得r＝14.5，再在Rt△OGF中，由勾股定理，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：AB=20米，则AC＝10米，拱高CD=4米．∴A，D的坐标分别是（﹣10，0），（0，4），设抛物线的表达式为y＝ax2+c，把这两点的坐标代入解析式得到：，解得：，∴解析式是y＝﹣x2+4，把y＝3代入解析式，得：解得：x＝±5，∴EF＝10米；（2）根据题意得：米，，EF＝2GF，设圆的半径是r米，则米，米，在Rt△OCB中，由勾股定理得：r2＝（r－4）2+102，解得：r＝14.5，当水面上升3米至EF时，在Rt△OGF中，OF＝14.5米，OG＝14.5－4+3＝13.5（米），∴，∴EF＝2GF＝（米）．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，垂径定理的应用，熟练掌握二次函数的性质，垂径定理是解题的关键．14