2025年中考数学难点突破：将军饮马专题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学难点突破：将军饮马专题1．如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．（1）求点、的坐标；（2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式；（3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由2．在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC按如图方法放置，点A、B分别在y轴和x轴上，已知OA=2，OB=4，点D在边AC上，且AD=1．解答下列问题．（1）点C的坐标为_______；（2）在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最短，求出点E的坐标及直线CE的解析式．（3）在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．3．问题提出（1）在图1中作出点关于直线的对称点问题探究（2）如图2，在中，，，为的中点，为线段上一点，求的最小值.问题解决（3）如图3，四边形为小区绿化区，，，，，，是以为圆心，为半径的圆弧.现在规划在，边和边上分别取一点，，，使得为这一区域小路，求小路长度的最小值.4．综合与探究如图，已知抛物线经过，两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式，连接，并求出直线的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，此时点的坐标是；(3)点在第一象限的抛物线上，连接，，求出面积的最大值．5．已知如图，在中，点是边上一点，连接，点是上一动点，连接．（1）如图1，当时，连接，延长交于点，求证：；（2）如图2，以为直角边作等腰，连接，若，当点在运动过程中，求周长的最小值．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A(3，﹣3)，F(1，)是该抛物线对称轴上的一个定点，过y轴上的点B(0，)作y轴的垂线l．（1）求抛物线的解析式；（2）点P(m，n)是抛物线上的任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M．求证：点P在线段FM的垂直平分线上；（3）点E为线段OA的中点，在抛物线上是否存在点Q，使QEF周长最小？若存在，求点Q的坐标和QEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2分别与x、y轴交于A、C两点，点B（1，0）在x轴上．（1）求直线BC的解析式；（2）若点C关于原点的对称点为C′，问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AC于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M，再过点P作PN⊥x轴于点N，得到矩形PQMN，在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．9．如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点．(1)请直接写出直线的关系式：_________(2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________．10．如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是射线上方抛物线．上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段．上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．①求线段长度的最大值②当线段长度取最大值时，求的最小值；③将该抛物线沿射线方向平移，使得新地物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，接写出所有符合条件的点Q的坐标．11．如图，等边的边长为6，点，分别是边，的中点，连接．（1）如图①，求点到线段的最短距离；

（2）点，分别是，上的动点，连接、．①如图②，当的长度取得最小值时，求的长度；②如图③，点在上，若，连接，求的最小值．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数(为常数)的图像与轴交于点，与轴交于点，以直线为对称轴的抛物线，，为常数，且）经过、两点，并与轴的正半轴交于点．(1)求的值及抛物线的函数表达式；(2)若是抛物线对称轴上一动点，周长最小时，求出的坐标；(3)是否存在抛物线上一动点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)在（）的条件下过点任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，两点，试问是否为定值，如果是，请直接写出结果，如果不是请说明理由．13．以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于点P．（1）如图1，BP平分∠ABC，求证：BC＝AB+AP；（2）如图2，过点A作AE⊥BP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AG⊥AD，交BD于点G，连接CG，交AF于点H，①求证：△ABG≌△ADC；②求证：GH＝CH；（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，连接PK、CK，当∠DBC＝15°，AP＝2时，请直接写出PK+CK的最小值．14．以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点．

(1)如图1，平分，求证：；(2)如图2，过点A作，分别交、于点、点，连接，过A作，交于点，连接，交于点，求证：；(3)如图3，点为边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接、，当，最小时，请直接写出的度数．15．问题提出（1）如图①，在中，，则点A到的最大距离为_______；问题探究（2）如图②，在矩形中，，E是上一动点，连接，求，的最小值；问题解决（3）如图③，矩形的四边是某市产业新区的外环路，分别是四条贯穿路．已知，I、J分别是线段上一点，连接．现计划在三角形区域处修建一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值：若不存在，请说明理由．（结果保留根号）答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学难点突破：将军饮马专题》参考答案1．（1）点的坐标是，点坐标为；（2）；（3）存在，在轴、轴上分别存在点、，使得四边形的周长最小，最小值为．【分析】（1）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；（2）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH，PH的长度，运用三角形面积公式即可求解；（3）作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，求出E′和F′的坐标直接求线段长度即可．【详解】解：（1）∵点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，2），∴OA=3，OC=2，根据矩形OABC知AB=OC=2，BC=OA=3，由折叠知DA=DF=OC=2，∴OD=OA-DA=1，∴点F坐标为（1，2），∵点E是AB的中点，∴EA=1，∴点E的坐标是（3，1）；（2）如图2∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，∴BF=AB=2，∴OD=CF=3-2=1，若设OP的长为x，则，PD=x-1，在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴∠ADB=45°，在Rt△PDH中，PH=DH=DP×=（x-1），∴S=×DH×PH=×（x-1）×（x-1）=（1＜x＜3）；（3）如图3作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，可求，点F（1，2）关于y轴的对称点F′（-1，2），点E（3，1）关于x轴的对称点E′（3，-1），用两点法可求直线E′F′的解析式为：y=-，当x=0时，y=，当y=0时，x=，∴N（0，），M（，0），此时，四边形MNFE的周长=E′F′+EF=；∴在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为5+．【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短路线和勾股定理等知识，掌握根据对称转化为两点之间的距离的问题是解题的关键．2．（1）（4，2）；（2）点E的坐标为（，0）；直线的解析式为；（3）在平面直角坐标系内存在点P1(，0)或P2(−，0)或P3(，4)，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）由OB及OA长度可写出C点的坐标；（2）作C点关于x轴的对称点F，连接FD交OB于E，进而求出E点坐标；（3）分别以CD为平行四边形的边，CD为对角线求出P点的坐标即可．【详解】解：（1）∵OA=2，OB=4，且点C在第一象限，∴点C的坐标为（4，2）；故答案为：（4，2）；（2）过点D(1，2)作关于x轴的对称点D1(1，−2)，连接D1C交x轴于点E，由轴对称性知D1E=DE，由两点之间线段最短得D1C=D1E+EC=DE+CE最短，即ΔCDE的周长最短．设直线D1C的解析式为y=kx+b，把D1(1，−2)和C(4，2)分别代入得：，解得，∴直线CE的解析式为．∵点E在x轴上，∴当y=0时，x=，点E的坐标为（，0）；（3）设P(x，0)，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=4．∵AD=1，∴DC=AC−AD=4−1=3．分情况讨论：①当CD为平行四边形的边时，∵以点C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形，∴PE//CD且PE=CD．∴=3，∴x−=3或x−=−3，∴x1=，x2=−，∴P1(，0)或P2(−，0)；②当CD为平行四边形的对角线时，∵四边形是以点C、D、P、E为顶点的平行四边形，并且点E在x轴上，∵OE=，∴点P在AC的上方，且EP⊥DC．∴P3(，4)．综上所述，在平面直角坐标系内存在点P1(，0)或P2(−，0)或P3(，4)，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形．．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式和平行四边形的判定和分类，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模型和平行四边形分类的方法．3．（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据对称性即可作图；（2）作点关于的对称点，连接交于点，此时值最小，连接，根据图形的特点及等边三角形的性质即可求解；（3）因为为定值，所以即求的最小值，连接，，分别以，所在的直线为对称轴作点的对称点，，连接，此时的值最小，即为长，根据图形的特点、等边三角形的性质与勾股定理即可求解．【详解】解：（1）如图1所示，点即为所求.（2）如图2，作点关于的对称点，连接交于点，此时值最小，连接.∵，∴.∵垂直平分，∴为等边三角形.∵点为中点，∴，∴.（3）要求的最小值，因为为定值，所以即求的最小值.如图，连接，，分别以，所在的直线为对称轴作点的对称点，，连接，此时的值最小，即为长.∵，∴，∴为等边三角形，即.∵，∴，∴的最小值为.当，，三点共线时值最小，由题知，，，∴，∴．【点睛】此题主要考查轴对称的应用，解题的关键是熟知对称性、等边三角形的性质及勾股定理的运用．4．(1)；(2)(3)【分析】（1）将，两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到，再设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入，即可求解；（2）连接，，根据题意可得A、B关于抛物线的对称轴直线对称，从而得到当在直线上三点共线时，的值最小，把代入直线的解析式，即可求解；（3）过作轴，交于，设Q，其中，则D，可得，从而得到，即可求解；【详解】（1）解：（1）∵抛物线经过，两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；∵抛物线与y轴的交点为C，∴，设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：，解得：，∴直线的解析式为；（2）如图，连接，，∵，∴抛物线的对称轴为直线，根据题意得：A、B关于抛物线的对称轴直线对称，∴，∴，即当P在直线上时，的值最小，∴当时，，∴，故答案是：；（3）过Q作轴，交于，设Q，其中，则D，∴，∵，∴，∴，当时，取最大值，最大值为8，∴的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．5．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）通过证明△CEK≌△BEF及△KED≌△FED即可证明；（2）延长CE到点P，使EP＝CE，先证明点G在过点P且与CE垂直的直线PN上运动，再作点E关于点P的对称点Q，连接BQ交PN于点G，此时△BEG的周长最小，求出此时GE+GB+BE的值即可．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠K＝∠ABE，∵BF⊥AB，∴∠ABF＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠EBF＝∠BFE，∴∠K＝∠BFE，∵BE＝CE，∴△CEK≌△BEF（AAS），∴CK＝BF，EK＝EF，∵，∴∠KED＝∠EBC，∠FED＝∠ECB，∵BE＝CE，∠EBC＝∠ECB，∴∠KED＝∠FED，∴ED＝ED，∴△KED≌△FED（SAS），∴DK＝DF，（2）如图，作BN⊥BE，GN⊥BN于点N，延长NG交射线CE于点P，则∠EBN＝∠FBG＝90°，∴∠NBG＝∠EBF＝90°﹣∠GBE，∵∠N＝∠BEF＝90°，BG＝BF，∴△BNG≌△BEF（AAS），∴BN＝BE；∵∠EBN＝∠N＝∠BEP＝90°，∴四边形BEPN是正方形，∴PE＝BE＝CE，∴当点F在CE上运动时，点G在PN上运动；延长EP到点Q，使PQ＝PE，连接BQ交PN于点G，∵PN垂直平分EQ，∴点Q与点E关于直线PN对称，∵两点之间，线段最短，∴此时GE+GB＝GQ+GB＝BQ最小，∵BE为定值，∴此时GE+GB+BE最小，即△BEG的周长最小；作DH⊥CE于点H，则∠DHE＝∠DHC＝90°，∵∠ECB＝∠EBC＝45°，∴∠HED＝∠ECB＝45°，∴∠HDE＝45°＝∠HED，∴DH＝EH，∴DH2+EH2＝2DH2＝DE2＝，∴DH＝EH＝1；∴CH＝，∴BE＝CE＝EH+CH＝1+2＝3，∴EQ＝2PE＝2BE＝6，∵∠BEQ＝90°，∴BQ＝，∴GE+GB+BE＝，∴△BEG周长的最小值为．【点睛】本题重点考查平行四边形的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、以及运用轴对称的性质求线段和的最小值问题的求解等知识与方法，深入探究与挖掘题中的隐含条件并且正确地作出辅助线是解题的关键，此题综合性强，难度大，属于考试压轴题．6．(1)(2)(3)存在，（，）或（，-）或（，-）【分析】（1）把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y=-x2+bx+c中，求得b和c即可；（2）作点B关于直线l的对称轴B′，连接B′C交l于一点P，点P即为使△PBC周长最小的点，由对称可知，PB′=PB，即△PBC周长的最小值为：BC+CB′；（3）设M（m，-m2+3m+4），①当EF为边时，则EF∥MN，则N（m，-m+4），所以NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，求出m的值，代入即可；②当EF为对角线时，EF的中点为（，），由中点坐标公式可求得点N的坐标，再由点N是直线AB上一点，可知-3+m+4=m2-3m+，解得m的值即可．【详解】（1）解：把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y=-x2+bx+c中，得，，解得，∴抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；（2）解：由抛物线解析式可知，对称轴直线l：x=，∵点A（4，0），∴点C（-1，0），如图，作点B关于直线l的对称轴B′，连接B′C交l于一点P，点P即为使△PBC周长最小的点，此时B′（3，4），设直线B′C的解析式为y=kx+b1，∴，解得：，∴直线B′C的解析式为：y=x+1，把x=代入得：y=+1=，∴P（，），∵B（0，4），C（-1，0），B′（3，4），∴BC=，CB′==4，∴△PBC周长的最小值为：；（3）解：存在，以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（，）或（，-）或（，-）．理由如下：由抛物线解析式可知，E（，），∵A（4，0）、B（0，4），∴直线AB的解析式为：y=-x+4，∴F（，）．∴EF=．设M（m，-m2+3m+4），①当EF为边时，则EF∥MN，∴N（m，-m+4），∴NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，解得m=（舍）或或或，∴M（，）或（，-）或（，-）．②当EF为对角线时，EF的中点为（，），∴点N的坐标为（3-m，m2-3m+），∴-3+m+4=m2-3m+，解得m=（舍），m=，∴M（，）．综上，满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（，）或（，-）或（，-）．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形存在性问题，解题过程中注意需要分类讨论．7．（1）y＝﹣x2+2x；（2）见解析；（3）存在，QEF周长的最小值为，Q．【分析】（1）将原点O与点A（3，﹣3）、对称轴为直线x＝1，直接代入y＝ax2+bx+c中即可解题；（2）设P（m，﹣m2+2m），表示出PM2＝（m2﹣2m+）2，PF2＝（m﹣1）2+（m2﹣2m+）2，将m﹣1看成整体，进行变形即可解题；（3）借助（2）中结论，将周长最小转化为只要使EQ+QN最小，最终通过垂线段最短来解决问题．【详解】解：（1）∵y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A（3，﹣3），∴c＝0，9a+3b＝﹣3，∵对称轴为：直线x＝1，∴，∴b＝﹣2a，∴a＝﹣1，b＝2，∴抛物线y＝﹣x2+2x，（2）设P（m，﹣m2+2m），∴PM2＝（m2﹣2m+）2＝（m﹣1）4+（m﹣1）2+，PF2＝（m﹣1）2+（m2﹣2m+）2，＝（m﹣1）2+（m﹣1）4﹣（m﹣1）2+＝（m﹣1）4+（m﹣1）2+，∴PM2＝PF2，∴PM＝PF，∴点P在MF的垂直平分线上，（3）如图，为的中点，E（），EF＝，作QN⊥l于N，由（2）知：QN＝QF，∴要想△QEF的周长最小，只要使EQ+QN最小，作EN'⊥l于N'，交抛物线于Q'，∵EQ+QN≥EN'，∴E、Q、N三点共线时，EQ+QN最小，此时EN'＝，Q（）∴QEF周长的最小值为，此时Q．【点睛】本题考查二次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式、线段垂直平分线的判定、线段和最小问题，涉及整体思想，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．8．（1）；（2）存在，，；（3）或【分析】（1）由可求得，，，结合，即可求得直线BC的解析式；（2）由可知当、、三点共线时，的周长取得最小值，分别在和利用勾股定理计算相关线段即可得到周长最小值的数值，此时点横坐标为，通过计算得到直线表达式，代入求解即可．（3）设正方形的变成为,则用表示出、、、四点坐标，由，分两种情况，列式计算即可．【详解】解：（1）∵分别与x、y轴交于A、C两点，∴令，得，即，令，得，即，设直线BC的解析式为：，将,,代入中，得：，解得：.∴直线BC的解析式为：，（2）存在，理由如下：据题意，作图如下：∵点与点关于原点对称，且,∴,∵,为定长，∴当取得最小值时，的周长取得最小值，即当、、三点共线时，取得最小值．作图如下：设线段所在的直线函数表达式为：，将点，代入，得：，解得：．∴线段所在的直线函数表达式为：，∵点G为线段AB垂直平分线上的点，∴点G的横坐标为：，∴点G的纵坐标为：，∴．又∵点G为线段AB垂直平分线上，∴，∴，在中，,，，∵，∴，在中，，，∵，∴，∴．（3）①当点在线段BC之间时，存在正方形PQMN，如下图：设正方形的边长为，∵点在直线上，点在直线上，∴点，点，∴点,点，∵，即，解得：．②当点在直线BC的左下方时，存在正方形PQMN，如下图：同理可得：，，此时：，解得：，综上所述，正方形PQMN的边长为或．【点睛】本题考查一次函数综合，一次函数解析式求法，勾股定理等，灵活应用知识点解题是关键．9．(1)(2)当或时，(3)【分析】（1）根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再用待定系数法即可求解；（2）设，分别用含的式子表示出出，由此即可求解；（3）是等腰直角三角形，设，可表示出，再证，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点R的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵直线分别与轴交于两点，令，则，∴，且，设直线的解析式为，∴，解得，，∴直线的解析式为，故答案为：．（2）解：由（1）可知直线的解析式为，直线的解析式为，∴，∴，如图所示，点在直线上，过点作轴于，∴设，，∴，，，①当，即时，，若，则，解得，则；②当，即时，，若，则，解得，（舍去）；③当，即时，，若，则，解得，则；综上所述，当或时，；（3）解：已知，设，∴在中，，∵是等腰直角三角形，，∴；如图所示，过点作轴于，在中，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，且轴，∴是等腰直角三角形，，则点的轨迹在射线上，如图所示，作点关于直线的对称点，连接，，，，∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质，∴，∴轴，且，∴，则，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值；∴由勾股定理得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．10．(1)；(2)①；②；③或．【分析】（1）由题意利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解；（2）①求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，即可求得最大值；②证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可；③求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解．【详解】（1）解：令，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴，将和代入得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）①解：令，则，解得或，∴，设直线的解析式为，代入，得，解得：，∴直线的解析式为，设（），则，∴，∵，∴当时，最大，此时，∴②由①得：，，，∴，，连接，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴当共线时，取最小值，即取最小值，∵点为线段的中点，∴，∴，∴的最小值为；③解：由①得点的横坐标为，代入，得，∴，∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到，∴，过点作交抛物线于点，∴，同理求得直线的解析式为，∵，∴直线的解析式为，联立得，解得，，当时，，∴，作关于直线的对称线得交抛物线于点，∴，设交轴于点，由旋转的性质得到，过点作轴，作轴于点，作于点，当时，，解得，∴∵，，∴，∴，∵轴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，同理直线的解析式为，联立，解得或，当时，，∴，综上，符合条件的点的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．11．（1）；（2）①当的长度取得最小值时，；②的最小值为．【分析】（1）本题过点D向BE作垂线，继而根据等边三角形性质以及中点性质求解BD，最后利用30°直角三角形边长比例关系求解DH．（2）①本题通过作点D关于BE的对称点，从而确定点P、N的位置，继而根据对称性质以及等边三角形性质判定△为等边三角形，最后根据三线合一以及三角函数求解BP．②本题分别作点D、Q关于BE、BC的对称点，从而将不同的三线段相加问题转化为同一条直线上线段相加问题，继而利用等边三角形以及对称性质求解，度数，最后利用勾股定理求解本题．【详解】（1）过点作于点，如下图图①所示，即为所求．∵是等边三角形，点，分别是边，的中点，∴，．在中，∵，，∴．（2）①作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如下图图②所示：点，关于对称，．，，此时的值最小．垂直平分，．，是等边三角形．．在中，，．当的长度取得最小值时，．②作关于的对称点，连接，作关于的对称点，连接，分别交，于点P、N，如下图图③所示：点，关于对称，，=3．点，关于对称，，=1此时．当点、、、四点共线时，取得最小值，最小值为的长度．∵等边△ABC，∴根据轴对称的定义可知，∴．在中，．的最小值为．【点睛】本题考查等边三角形与动点的综合问题，难度主要在于辅助线的构造，核心思想是将不在同一条直线上的各线段通过对称性，利用线段等量替换将问题转化到同一条直线，线段和最值另一典型题型为将军饮马，可对比练习．12．(1)，；(2)；(3)存在，或；(4)是定值，定值为．【分析】（）首先求得的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到点坐标，根据、点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；（）确定何时的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；确定点坐标，从而直线的解析式可以表示为；（）存在，设，若为直角顶点,则由相似于，得，若为直角顶点，则由相似于，得从而求出点坐标；（）利用两点间的距离公式，分别求得线段、和的长度，相互比较即可得到结论：为定值．【详解】（1）解：∵经过点，∴，解得，∴直线解析式为，当时，，∴点为．∵抛物线对称轴为，且与轴交于，∴另一交点为，设抛物线解析式为，∵抛物线经过，∴，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：要使的周长最小，只需最小即可，如图，连接交于点，因为点、关于对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时最小（最小值为线段的长度）．∵，，设直线的表达式为，，解得，∴直线解析式为，∵，∴，∴点的坐标是；（3）解：存在，设的坐标是，如图，若C为直角顶点，，过作轴于，∴，∴，∵，∴，∴，∴，整理得：，得，若为直角顶点，同理，∴，∴，整理得：，即，得（负值舍去），∴的横坐标为或；（4）解：令经过点的直线为，则，即，则直线的解析式是：，如图所示，∵，，联立化简得：，∴，．∵，，∴，根据两点间距离公式得到：，，∴＝4（1+k2），又，；同理，∴，，，，∴，∴为定值．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的运算，两点间的距离公式、轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．13．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）PK+CK的最小值为4．【分析】（1）过点P作PT⊥BC于点T，根据等腰直角三角形和角平分线的性质可得AP=PT=TC，证明Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），可得AB=TB，由BC=TB+TC，等量代换即可得出结论；（2）①根据同角的余角相等得∠BAG=∠CAD，根据等角的余角相等得∠PBA=∠PCD，利用“ASA”即可得△ABG≌△ACD（ASA）；②过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，首先证明△ABE≌△CAR（AAS），由全等三角形的性质得AE=CR，再由△ABG≌△ACD（ASA），得AG=AD，根据等腰直角三角形的性质得AE=GE=DE，等量代换得CR=GE，然后证明△EHG≌△RHC（AAS），即可得出结论；（3）过点A作AO⊥BC于点O，连接OM，BK，先证△MBQ≌△MOK（SAS），得∠MBQ=∠MOK=45°，可得点K在OA所在的直线上移动，则PK+CK=PK+BK≥BP，可得出当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值，然后根据含30°直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：过点P作PT⊥BC于点T，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵PT⊥BC，∴∠PTC＝90°，∠TPC＝∠TCP＝45°，∴TP＝TC，∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PT⊥BC，∴PA＝PT，∴TC＝PA，在Rt△ABP和Rt△TBP中，，∴Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），∴AB＝TB，∵BC＝TB+TC，∴BC＝AB+AP；（2）①证明：∵AG⊥AD，∴∠GAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC﹣∠GAC＝∠GAD﹣∠GAC，∴∠BAG＝∠CAD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠PBA+∠APB＝∠PCD+∠DPC＝90°，∵∠APB＝∠DPC，∴∠ABG＝∠ACD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD（ASA）；②证明：过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，∵AF⊥BP，CR⊥AF，∴∠AEB＝∠CRA＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∵∠BAE+∠CAR＝90°，∴∠ABE＝∠CAR，在△ABE和△CAR中，，∴△ABE≌△CAR（AAS），∴AE＝CR，∵△ABG≌△ACD（ASA），∴AG＝AD，∵AE⊥DG，∴AE＝GE＝DE，∴CR＝GE，在△EHG和△RHC中，，∴△EHG≌△RHC（AAS），∴GH＝CH；（3）解：过点A作AO⊥BC于点O，连接OM，BK，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AO⊥BC，∴AO＝BO＝CO，∵点M是AB的中点，∴OM＝BM＝AM，OM⊥AB，∴∠OAM＝∠OBM＝45°，∴∠OMB＝90°，∵线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，∴MQ＝MK，∠QMK＝90°，∴∠OMB＝∠QMK，∴∠OMB﹣∠OMQ＝∠QMK﹣∠OMQ，∴∠BMQ＝∠OMK，在△MBQ和△MOK中，，∴△MBQ≌△MOK（SAS），∴∠MBQ＝∠MOK＝45°，∴点K在OA所在的直线上移动，∵OA垂直平分BC，∴CK＝BK，∴PK+CK＝PK+BK≥BP，∴当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值，∵∠ABC＝45°，∠DBC＝15°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，在Rt△BAP中，∠BAP＝90°，∠ABP＝30°，AP＝2，∴BP＝2AP＝4，∴PK+CK的最小值为4．【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题，属于中考常考题