2015年全国高中数学联合竞赛加试解答（A卷）_第1页
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2015年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）参考答案及评分标准一、（本题满分40分）设a1,a2,…,an(n≥2)是实数，证明：可以选取表示实数x的整数部分…10分所以①得证，从而本题得证．……nni−1ai这就证明了结论．…jj合（这里X表示有限集合X的元素个数）.证明：不妨设|A1|=k．设在A1,A2,…,An中与A1不相交的集合有s个，重新显然f是单映射，于是s≤t．…10分下的n−s−t个集合中，设包含ai的集合有xi个（1≤i≤k由于剩下的n−s−t个集合中每个集合与A1的交非空，即包含某个ai，从而x1+x2+…+xk≥n−s−t．…20分不妨设x1=ixi，则由上式知即一BC上一点，点K在线段AP上，使得BK平分上ABC．过K、P、C三点的圆Ω与边AC交于点D，连接BD交圆Ω于点E，连接PE并延长与边AB交于点F．证明：AFFOKDEBCPΩ证法一：设CF与圆Ω交于点L（异于C连接PB、PC、BL、KL.注意此时C、D、L、K、E、P六点均在圆Ω上，结合A、B、P、C四因此△FBE∽△FPB，故FB2=FE.FP.又由圆幂定理知，FE.FP=FL.FC，FB2=FL.FC，从而△FBL∽△FCB．…20分BB即B、K、L三点共线．…30分再根据△FBL∽△FCB得，AFOFOKDELEL .----""CPΩP证法二：设CF与圆Ω交于点L（异于C对圆内接广义六边形DCLKPE应用帕斯卡定理可知，DC与KP的交点A、CL与PE的交点F、LK与ED的交点B′共线，因此B′是AF与ED的交点，即B′=B．所B(B')以B、K、L共线．B(B')根据A、B、P、C四点共圆及L、K、P、C四AΩCP.----""ΩCP.----""FOK-"DL这里S(m)表示正整数m在二进制表示下的数码之和.(n!)，进而由①知，本题等价于求所有正整数k，使得我们证明，所有符合条件的k为2a(a=0,1,2,…).一方面，由于S(2an)=S(n)对任意正整数n成立，故k=2a符合条件.下面构造一个正整数n，使得S(kn)<S(n)．因为S(kn)=S(2aqn)=S(qn)，因此问题等价于我们选取q的一个倍数m，使得Sα2t−12u−1Σ.2lu+αtt−1

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