2023年全国高中数学联合竞赛加试（A）卷参考答案及评分标准_第1页
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1一本题满分40分）如图，Ω是以AB为直径的固定的半圆弧，w是经过点A及Ω上另一个定点T的定圆，且w的圆心位于△ABT内．设P是Ω的弧（不含端点）上的动点，C,D是w上的两个动点，满足：C在线段AP上，C,D位于直线AB的异侧，且CD丄AB．记△CD(1)点K在△TDP的外接圆上；(2)K为定点.··PTCΩ·BωDA又K,T位于PD异侧，因此点K在△TDP的外接圆上．……………20分由T,D,P,K共圆及KD=KP，可知K在上DTP的平分线上，而故TB为上DTP的平分线．所以点K在直线TB上.显然l与TB相交，且l与TB均为定直线，故K为定点．……………40分PPOΩKl·BADTCω2数m，均有，这里，表示实数x的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.证明：引理：设n是正奇数，且2模n的阶为偶数，则n是好数.引理的证明：反证法．假设n不是好数，则存在异于n的正整数m，使得约分数，故m2的最大奇因子为n2，从而m的最大奇因子为n.n故n(modn)*）设2模n的阶为偶数d．由（*）及阶的基本性质得m—2t三n(modd)，故m2tn是偶数．但m2t是偶数，n是奇数，矛盾．引理得证.2k十11，而Fkt22k1，因此2模为2k十1，是一个偶数.的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数x1,x2,…,x9满足x1+x2+…+x8<x9，或者存在10个互不相同的蓝色的数解：所求的最小正整数为408.此时最小的8个红数之和为1+55+56+…+61=407，最小的9个蓝数之和为对k<407，可在上述例子中删去大于k的数，则得到不符合要求的例子.因此k≤407不满足要求．……………10分另一方面，我们证明k=408具有题述性质.3r,rrx+Σ2,r,r4综上，所求最小正整数k为408．……………50分格中填入区间[1,a]中的一个实数．设第i行的总和为xi，第i列的总和为yi，第一步：改变某个aij的值仅改变xi和yj，设第i行中除aij外其余n–1个数的和为A，第j列中除aij外其余n–1个数的和为B，则当A≥B时，关于aij递增，此时可将aij调整到a,λ值不减．当A≤B时，关于aij递减，此时可将aij调整到1,λ值不减．因此，为求λ的最大值，只需考虑每个小方格中的数均为1或a的情况．……………10分λ达到最大值，并且aij最小．此时我们有事实上，若xi>yj，而aij=1，则将aij改为a后，行和及列和变为x,y，则与λ达到最大矛盾，故aij=a.若xi≤yj，而aij=a，则将aij改为1后，λ不减，且aij变小，与aij的选取矛盾．从而（*）成立.通过交换列，可不妨设y1≤y2≤…≤yn，这样由（*）可知每一行中a排在1y12n，故每一行中的数全都相等（全为1或全为a）.行全为a,有n–k行全为1,0≤k≤n．此时5记上式右边为y,则y=

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