2025高考数学解题模板归类-拉格朗日定理

拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理（LagrangeMeanValueTheorem，提出时间1797年）又称拉氏定理，又称微分中值定理，是微分学中的基本定理之一。它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。一、拉格朗日中值定理的概念和集合意义1、若满足以下条件:(1)在闭区间内连续(2)在开区间上可导则2、几何意义：在满足定理条件的曲线上y=f(x)至少存在一点C1（ξ1，f(ξ1)），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB（如图）二、拉格朗日中值定理的应用1、为什么要用拉格朗日中值定理去解决高考数学问题？近年来，以高等数学为背景的高考命题成为热点。也就是说，在当前的高考数学试题中，有一些省份或者有一些试题，里面含有了高等数学（大学数学）的成分。这些题目虽然可以利用中学的数学知识解决，但是往往比较繁琐，同时还容易出现证明不下去的尴尬局面。在这个时候，如果我们提前知道了一些高等数学（大学数学）的相关知识，那么在解题的过程中，相对来说，就简单很多。因为这些高考试题本身就带有高等数学的相关“影子”，同时高等数学的一些知识点，应用到高考题目中，一般只应用一些比较简单的部分，所以此时用高等数学的知识去解决高考压轴大题，就变得简单了。2、拉格朗日定理具体用来解决哪些类型的数学题目？一般来说，用来解决高考试题中的函数题、导数题和不等式证明题、恒成立问题、参数范围题等。三、和拉格朗日定理有关的题目案例分析【1】直接应用拉格朗日中值定理来解题例1、若分析：因为则原不等式等价于.令,则我们容易联想到中值定理证明：设,显然满足中值定理的条件则即例2、填空题选择题中，使用拉格朗日中值定理能够快速解题【2】求割线斜率大小----几何意义的利用由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率，可以转化为曲线上切线的斜率。即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行。例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）设问是否存在实数，使得函数上任意不同两点连线的斜率都不小于？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.解（Ⅰ）略解法一：（Ⅱ）当时，，假设存在实数，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于，即对任意，都有即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在，有转为求切线斜率的大小.即在上恒成立.（以下同参考答案）解法二：评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将转化为转而考查函数，学生不是很容易想到，但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受。【3】利用拉格朗日中值定理证明函数的最值、参数范围（1）此时需要证明的函数表达形式如下：证或即证与的大小关系例1：（2009年辽宁卷理21题）已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：若，则对任意，，有.解：（Ⅰ）函数的定义域是x＞0，（Ⅱ）要证成立，即证令，则.由于，所以.从而在恒成立.也即.又，，故.则，即，也即评注：这道题（Ⅱ）小题用初等方法做考虑函数.为什么考虑函数很多考生一下子不易想到.而且的放缩也不易想到.（2）证明或成立（其中，）即证或例2：（2007年高考全国卷I第20题）设函数.（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）证明：若对所有，都有，则的取值范围是.解：（Ⅰ）略.（Ⅱ）证明：（i）当时，对任意的，都有(ii)当时，问题即转化为对所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知内至少存在一点（从而），使得，即，由于，故在上是增函数，让得，所以的取值范围是.评注：用的是初等数学的方法.即令，再分和两种情况讨论.其中，又要去解方程.但这有两个缺点：首先，为什么的取值范围要以为分界展开.其次，方程求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.例3：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围.解：证明（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：当时，显然对任何，都有；当时，由拉格朗日中值定理，知存在，使得.由（Ⅰ）知，从而.令得，；令得，.所以在上，的最大值在上，的最大值.从而函数在上的最大值是.知，当时，的最大值为.所以，的最大值.为了使恒成立，应有.所以的取值范围是.评注：这道题的参考答案的解法是令,再去证明函数的最小值.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数,要对参数进行分类讨论;其次为了判断的单调性,还要求和的解,这个求解涉及到反余弦,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了利用高等数学知识来解题的优越性.例4、在恒成立条件下，求解参数的范围。“拉格朗日中值定理”蕴含着“消元”思想，把二重变量的问题巧妙地转化为一元变量问题，这种“减元增效”的思想贯穿数学发展的始终，也是我们在解题中需要坚持的思想。例5、例6、抓住题目所给的条件、结论和结构，通过联想、类比和构造，把复杂的问题向熟悉的问题转化的解题方法称为“构造法”，运用“构造法”解题是创造性思维的重要体现，通过构造可以建立各个数学知识之间的联系和相互转化,可以让学生掌握定义、定理的不同表现形式,提高解题能力。【4】利用拉格朗日中值定理证不等式在近几年的数学高考中，出现了不少含有拉格朗日中值定理的试题．常以不等式恒成立问题为基本切入点，具有一定的深度，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点，较好地甄别了学生的数学能力．下面以近几年全国各地的数学高考试题为例，说明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的应用，更好地体会用“高等数学”知识解题的优势．用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤：具体案例如下所以：（1）用于证明与的大小关系例1：(2006年四川卷理第22题)已知函数的导函数是，对任意两个不相等的正，证明：（Ⅱ）当时，.解：证明：由得，，令则由拉格朗日中值定理得：下面只要证明：当时，任意,都有，则有，即证时，恒成立.这等价于证明的最小值大于.由，当且仅当时取到最小值，又，故时，恒成立.所以由拉格朗日定理得：.评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.（2）证明，，三者大小的关系例2：（2004年四川卷第22题）已知函数.（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）设，证明：.解：证明（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：依题意，有，由拉格朗日中值定理得，存在，使得评注：对于不等式中含有的形式，我们往往可以把和，分别对和两次运用拉格朗日中值定理。这道题目的关键是把这个不等式转变成这种形式的函数表达式。一旦转换成功，那么就可以直接使用拉格朗日中值定理来快速解题了。例3：(2006年四川卷理第22题)已知函数的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：（Ⅰ）当时，解：证明：（Ⅰ）不妨设，即证．由拉格朗日中值定理知，存在，则且，又，.当时，.所以是一个单调递减函数，故从而成立，因此命题获证．例4、用拉格朗日定理证明经典不等式例5、例6、例7、例8、【5】利用拉格朗日定理证明根的存在证明方程根的存在性,所给根的范围就是区间把所给方程设为函数就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性,一般用反证法.例1设在可导,且,又对于内所有的点有证明方程在内有唯一的实