江苏省无锡市祝塘中学2025年初三下学期第一次质量调研数学试题含解析

江苏省无锡市祝塘中学2025年初三下学期第一次质量调研数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．世界因爱而美好，在今年我校的“献爱心”捐款活动中，九年级三班50名学生积极加献爱心捐款活动，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图，根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是A．20、20 B．30、20 C．30、30 D．20、302．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76° B．78° C．80° D．82°3．下列各类数中，与数轴上的点存在一一对应关系的是（）A．有理数B．实数C．分数D．整数4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为()A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－45．的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣36．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为A．1 B． C． D．7．利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的图形是（）A． B． C． D．8．已知am=2，an=3，则a3m+2n的值是（）A．24 B．36 C．72 D．69．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A． B． C． D．10．小宇妈妈上午在某水果超市买了16.5元钱的葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同一批葡萄的价格降低了25％，小宇妈妈又买了16.5元钱的葡萄，结果恰好比早上多了0.5千克．若设早上葡萄的价格是x元/千克，则可列方程（）A． B．C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于____________．12．如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是__．13．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．（1）线段BE与AF的位置关系是，＝．（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD＝6﹣2，求旋转角a的度数．14．若2a﹣b=5，a﹣2b=4，则a﹣b的值为________.15．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为_____．16．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则BE：BC的值为_________．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，E为边AC上一点，连接BE．如图1，若∠ABE=15°，O为BE中点，连接AO，且AO=1，求BC的长；如图2，D为AB上一点，且满足AE=AD，过点A作AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M，求证：BG=AF+FG．18．（8分）计算：（π﹣1）0+|﹣1|﹣÷+（﹣1）﹣1．19．（8分）如图已知△ABC，点D是AB上一点，连接CD，请用尺规在边AC上求作点P，使得△PBC的面积与△DBC的面积相等（保留作图痕迹，不写做法）20．（8分）阅读下列材料，解答下列问题：材料1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式．如果把整式的乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程．公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法．如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式．但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）材料2．因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把c2﹣6c+8分解因式；（2）结合材料1和材料2完成下面小题：①分解因式：（a﹣b）2+2（a﹣b）+1；②分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+3．21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，3），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．22．（10分）某初中学校组织200位同学参加义务植树活动．甲、乙两位同学分别调查了30位同学的植树情况，并将收集的数据进行了整理，绘制成统计表1和表2：表1：甲调查九年级30位同学植树情况每人植树棵数78910人数36156表2：乙调查三个年级各10位同学植树情况每人植树棵数678910人数363126根据以上材料回答下列问题：（1）关于于植树棵数，表1中的中位数是棵；表2中的众数是棵；（2）你认为同学（填“甲”或“乙”）所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况；（3）在问题（2）的基础上估计本次活动200位同学一共植树多少棵？23．（12分）计算：2tan45°-（-）º-24．计算：27﹣（﹣2）0+|1﹣3|+2cos30°．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解析】分析：由表提供的信息可知，一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的众数，中位数．详解：根据右图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是30，30.故选C.点睛：考查众数和中位数的概念，熟记概念是解题的关键.2、B【解析】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°，∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，又∠BKC﹣∠BHC=27°，∴∠BHC=∠BKC﹣27°，∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），∴∠BKC=78°，故选B．3、B【解析】

根据实数与数轴上的点存在一一对应关系解答．【详解】实数与数轴上的点存在一一对应关系，故选：B．本题考查了实数与数轴上点的关系，每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示，反过来，数轴上的每个点都表示一个唯一的实数，也就是说实数与数轴上的点一一对应.4、B【解析】

试题分析：把x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0即：4+5a+a2=0解得：a=-1或-4，故答案选B．考点：一元二次方程的解；一元二次方程的解法．5、B【解析】

直接利用立方根的定义化简得出答案．【详解】因为（-1）3=-1，=﹣1．故选：B．此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．,6、C【解析】作点A关于MN的对称点A′,连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA′,AA′.∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′，∵点B是弧AN∧的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴A′B=∴PA+PB=PA′+PB=A′B=故选：C.7、A【解析】

根据：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.逐个按要求分析即可.【详解】选项A，是轴对称图形，不是中心对称图形，故可以选；选项B，是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选；选项C，不是轴对称图形，是中心对称图形，故不可以选；选项D，是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选.故选A本题考核知识点：轴对称图形和中心对称图形.解题关键点：理解轴对称图形和中心对称图形定义.

错因分析容易题.失分的原因是：没有掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.

8、C【解析】试题解析：∵am=2，an=3，

∴a3m+2n

=a3m•a2n

=（am）3•（an）2

=23×32

=8×9

=1．故选C.9、B【解析】试题分析：结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角，故选B．考点：由三视图判断几何体．10、B【解析】分析：根据数量=，可知第一次买了千克，第二次买了，根据第二次恰好比第一次多买了0.5千克列方程即可.详解：设早上葡萄的价格是x元/千克，由题意得，.故选B.点睛：本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找出列方程所用到的等量关系.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、58°【解析】如图,∠2=180°−50°−72°=58°，∵两个三角形全等，∴∠1=∠2=58°.故答案为58°.12、．【解析】

解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，故P（所作三角形是等腰三角形）=；故答案为．本题考查概率的计算及等腰三角形的判定，熟记等要三角形的性质及判定方法和概率的计算公式是本题的解题关键．13、（1）互相垂直；；（2）结论仍然成立，证明见解析；（3）135°．【解析】

（1）结合已知角度以及利用锐角三角函数关系求出AB的长，进而得出答案；

（2）利用已知得出△BEC∽△AFC，进而得出∠1=∠2，即可得出答案；

（3）过点D作DH⊥BC于H，则DB=4-（6-2）=2-2，进而得出BH=-1，DH=3-，求出CH=BH，得出∠DCA=45°，进而得出答案．【详解】解：（1）如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直；

∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，

∴AC=2，

∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，

∴=；（2））如图2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，

∴EC=BC，FC=AC，

∴，

∵∠BCE=∠ACF=α，

∴△BEC∽△AFC，

∴，

∴∠1=∠2，

延长BE交AC于点O，交AF于点M

∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2

∴∠BCO=∠AMO=90°

∴BE⊥AF；（3）如图3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°∴AB=4，∠B=60°过点D作DH⊥BC于H∴DB=4-（6-2）=2-2，∴BH=-1，DH=3-，又∵CH=2-（-1）=3-，∴CH=BH，∴∠HCD=45°，∴∠DCA=45°，α=180°-45°=135°．14、1．【解析】试题分析：把这两个方程相加可得1a-1b=9，两边同时除以1可得a-b=1．考点：整体思想．15、25【解析】试题解析：由题意16、1：4【解析】

由S△BDE：S△CDE=1：3，得到

，于是得到

．【详解】解：两个三角形同高，底边之比等于面积比.故答案为本题考查了三角形的面积，比例的性质等知识，知道等高不同底的三角形的面积的比等于底的比是解题的关键．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）3+【解析】

（1）如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=3x，根据AB2+AE2=BE2，可得方程（2x+3x）2+x2=22，解方程即可解决问题．

（2）如图2中，作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，首先证明EG=MG，再证明FM=FQ即可解决问题．【详解】解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB=OE，∴BE=2OA=2，∵MB=ME，∴∠MBE=∠MEB=15°，∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=3x，∵AB2+AE2=BE2，∴2x+3∴x=6-∴AB=AC=（2+3）•6-∴BC=2AB=3+1．作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，∵AD=AE，AB=AC，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD，∵∠BAC=90°，FG⊥CD，∴∠AEB=∠CMF，∴∠GEM=∠GME，∴EG=MG，∵∠ABE=∠CAQ，AB=AC，∠BAE=∠ACQ=90°，∴△ABE≌△CAQ（ASA），∴BE=AQ，∠AEB=∠Q，∴∠CMF=∠Q，∵∠MCF=∠QCF=45°，CF=CF，∴△CMF≌△CQF（AAS），∴FM=FQ，∴BE=AQ=AF+FQ=AF=FM，∵EG=MG，∴BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG．本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．18、2【解析】

先根据0次幂的意义、绝对值的意义、二次根式的除法、负整数指数幂的意义化简，然后进一步计算即可.【详解】解：原式=2+2﹣+2=2﹣2+2=2．本题考查了0次幂的意义、绝对值的意义、二次根式的除法、负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.19、见解析【解析】

三角形的面积相等即同底等高，所以以BC为两个三角形的公共底边，在AC边上寻找到与D到BC距离相等的点即可.【详解】作∠CDP=∠BCD，PD与AC的交点即P.本题考查了三角形面积的灵活计算，还可以利用三角形的全等来进行解题.20、（1）(c-4)(c-2)；（2）①（a-b+1）2；②（m+n-1）（m+n-3）.【解析】

（1）根据材料1，可以对c2-6c+8分解因式；（2）①根据材料2的整体思想可以对（a-b）2+2（a-b）+1分解因式；②根据材料1和材料2可以对（m+n）（m+n-4）+3分解因式．【详解】（1）c2-6c+8=c2-6c+32-32+8=（c-3）2-1=（c-3+1）（c-3+1）=(c-4)(c-2)；（2）①（a-b）2+2（a-b）+1设a-b=t，则原式=t2+2t+1=（t+1）2，则（a-b）2+2（a-b）+1=（a-b+1）2；②（m+n）（m+n-4）+3设m+n=t，则t（t-4）+3=t2-4t+3=t2-4t+22-22+3=（t-2）2-1=（t-2+1）（t-2-1）=（t-1）（t-3），则（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）．本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．21、（1）D（0，）；（1）C（11﹣6，11﹣18）；（3）B'（1+，0），（1﹣，0）.【解析】

(1)设OD为x，则BD=AD=3，在RT△ODA中应用勾股定理即可求解；(1)由题意易证△BDC∽△BOA，再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；(3)过点C作CE⊥AO于E，由A、B坐标及C的横坐标为1，利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.【详解】（Ⅰ）设OD为x，∵点A（3，0），点B（0，），∴AO=3，BO=∴AB=6∵折叠∴BD=DA在Rt△ADO中，OA1+OD1=DA1．∴9+OD1=（﹣OD）1．∴OD=∴D（0，）（Ⅱ）∵折叠∴∠BDC=∠CDO=90°∴CD∥OA∴且BD=AC，∴∴BD=﹣18∴OD=﹣（﹣18）=18﹣∵tan∠ABO=，∴∠ABC=30°，即∠BAO=60°∵tan∠ABO=，∴CD=11﹣6∴D（11﹣6，11﹣18）