离散数学 课件 第四章 图论基础

第四章图论基础离散数学配套教材：李小南目录CONTENTS4.14.24.34.44.5图与有向图树的性质根树及其应用最小生成树和最短路径欧拉图和哈密顿图4.1图与有向图什么是图？哥尼斯堡七桥问题：从家里出发，七座桥每桥恰通过一次，再回到家里，是否可能？Euler把两座小岛分别用v1，v2两点来表示，两岸的陆地用v2，v4来表示，两地之间的桥用线段表示，于是得到了图2.Euler将图2这种图形称为图.图1：哥尼斯堡七桥问题图2：哥尼斯堡七桥图示内容提要4.1节图与有向图图的定义图的类型平凡图有环图简单图顶点与边的关系相邻关联顶点的度数图的基本定理路径相关概念通道迹路径圈子图、生成子图、导出子图、极大连通图有向图图4.1.1一个有限图4.1.1图与度序列

图4.1.1一个有限图

图4.1.1一个有限图

注：每个图都有一个度序列.反之，并非每个递减序列都为某个图的度序列.

4.1.2路径与连通

图4.1.2一个不连通图

图4.1.2一个不连通图

子图生成子图导出子图

定义4.1.4图𝐺的连通分支(connectedcomponent)是指其极大连通子图.图𝐺的割点(cut-vertex)(割边(cut-edge))是指一个顶点(一条边)且删除它会增加连通分支的数目.图4.1.2一个不连通图

图4.1.3有向图THANKS感谢观看第4.2节树的性质离散数学讲授：李小南配套教材：李小南，易黄建，乔胜宁，离散数学，电子工业出版社，2025内容提要4.2节树的性质树的定义树的性质生成树Cayley公式4.2.1树的定义及刻画定义4.2.1一个森林(forest)是指一个无圈图.一棵树(tree)是指一个连通的森林.度为1的顶点称为叶子(leaf).若一个图的生成子图是一棵树,则称该树是图的生成树(spanningtree).例4.2.1

给西安电子科技大学的所有学生编排学号时形成一棵树.以01,02,03…表示学院；以10,11,12…表示入学年份为2010,2011,2012…,以1,2,3…表示学院的专业；以001,002,003,…表示各专业的学生，结果如图4.2.1所示,树中的每个叶子表示一个学生.例如顶点为010的叶子所表示的学生的学号可记为07132010,表示该学生是07学院13级2专业第10号.图4.2.1学号树

4.2.2Cayley公式

图4

2、3、4个顶点构成树的图示

123452314611555度数为1的顶点不出现在编码中;顶点在编码中出现的次数为度数减1.图4.2.2

树及其Prüfer编码

THANKS感谢观看第4.3节根树及其应用离散数学讲授：李小南配套教材：李小南，易黄建，乔胜宁，离散数学，电子工业出版社，2025内容提要4.3节根树及其应用根树的定义及其表示树高顶点的孩子顶点的后代m元树(m-ary)完全m元树二叉树Huffman算法二叉搜索树决策树4.3.1Huffman算法

图4.2.1学号树图4.3.1树及其根树表示

树高为2

3元树，但不是完全3元树例：假设传输一组数据：45533322211110000000.因为ASCII编码规定每个字符（包括数字字符）都占用8位，所以直接传输共需

20×8=160位.

解：按照Huffman算法得到的二叉树如图4.3.2所示，所以0,1,2,3,4,5的最优前缀编码分别为：0:1;1:011;2:010;3:001;4:0000;5:0001数字5所需位数：2×4=8；数字4所需位数：1×4=4；数字3所需位数：3×3=9；数字2所需位数：3×3=9；数字1所需位数：4×3=12；数字0所需位数：7×1=7.共需要：4+8+9+9+12+7=40位.图4.3.2编码树4.3.2二叉搜索树和决策树

图4.3.3二叉搜索树图4.3.3二叉搜索树

图4.3.3(a)中给出了一棵完全二叉搜索树.各顶点的赋值为1,2,...,7.例如，搜索7,先是和4比较,7大于4故而和4的右孩子比较,7又大于6,故再和6的右孩子比较,这样用了3步就找到了7.如果按照列表1,2,3,...,7则需要7步.

图4.3.4决策树

THANKS感谢观看第4.4节最小生成树和最短路径离散数学讲授：李小南配套教材：李小南，易黄建，乔胜宁，离散数学，电子工业出版社，2025内容提要4.4节最小生成树和最短路径最小生成树Kruskal算法Prim算法最短路径Dijkstra算法4.4.1最小生成树

加权图或网络(weightedgraph,ornetwork)是各边都标有数值(称为边的权值,我们只考虑非负实数情形)的图.一个图的权是图中各边的权之和.最小生成树问题就是给定一个加权连通图,寻找一个权值最小的生成树.图4.4.1一个加权连通图

图4.4.1Kruskal算法产生的生成树

注：一个加权连通图的最小生成树不是唯一的.

Prim算法：从某一顶点出发,将访问过的顶点和未访问过的顶点之间的权值最小的边添加进来,直到所有顶点已被访问.图4.4.1一棵连通图从中间顶点开始.4.4.2最短路径问题

例4.4.1加权连通图如图4.4.2(a)所示，求顶点a到各个顶点的最短路径长度.图4.4.2一个加权连通图(a)(b)12322326433646464655565表4.4.1Dijkstra算法迭代情况THANKS感谢观看第4.5节欧拉图和哈密顿图离散数学讲授：李小南配套教材：李小南，易黄建，乔胜宁，离散数学，电子工业出版社，2025内容提要4.5节欧拉图和哈密顿图欧拉图欧拉迹欧拉回路欧拉迹存在的充要条件哈密顿图哈密顿圈哈密顿图的充分和必要条件4.5.1欧拉图哥尼斯堡七桥问题：从家里出发，七座桥每桥恰通过一次，再回到家里，是否可能？(一笔画问题)图4.5.1哥尼斯堡七桥图示人们经过多次实验,都给出了否定的答案,但都未能严格证明.1736年,欧拉彻底的解决了这个问题,这一年也被认为是图论的元年.欧拉用顶点来表示陆地,两个顶点之间边的数目等于两个陆地之间桥的数目，于是得到了图4.5.1(右).这样问题就转化为此图中是否存在一条包含所有边的闭迹1?

4.5.2哈密顿图

19世纪,哈密顿爵士发明了一种游戏:给定正十二面体的一个顶点,找出从此顶点出发经其它顶点仅一次又回到出发顶点的路径.如图4.5.3所示，正十二面体确定了一个有20个顶点,30条边的图.图4.5.3正十二面体的图示哈密顿图与旅行商问题密切相关.在旅行商问题中，旅行商需要在多个城市之间旅行，每个城市只访问一次，最终回到出发城市.这个问题是经典的优化问题，哈密顿回路就是旅行商问题中的一种解.电路设计：在电路设计中，哈密顿回路可用于优化电路的布局和布线，减少布线的长度和交叉.

图5一些哈密顿图

上述定