5.1 认识分式 北师大版八年级数学下册培优练(含答案)

5.1认识分式一、单选题1．在，，，，中，分式的个数是（）A． B． C． D．2．下列分式中一定有意义的是（）A． B． C． D．3．若式子的值为，则的值是（）A． B． C． D．4．已知，且，则的值是（）A． B．0 C．8 D．8或125．要使分式有意义，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．当时，下列各式的值为0的是（）A． B． C． D．7．已知，则分式的值等于（）A． B． C． D．8．下列各式中是分式的是（）A． B．x﹣1 C． D．9．要使式子有意义，则的取值范围是（）A．且 B． C． D．10．使分式的值为0的所有x的值为（）A．2或 B．或1 C．2 D．111．若，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题12．要使分式有意义，则字母应满足条件______．13．定义运算“※”：，若的值为整数，则整数x的值为_______．14．已知，则________．15．计算:++++…++=______．16．已知，那么________．17．若分式的值为正整数，则_____________．18．要使分式有意义，则字母x的取值范围是____________．19．已知为正整数，当时______时，分式的值为正整数．20．已知，则__________．21．已知x，y满足，则代数式的值为________．三、解答题22．例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”得①，或②，解不等式组①得，x＞2，解不等式组②得，x＜﹣3，所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．阅读例题，尝试解决下列问题：（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．23．对于正数x，规定：．例如：，，．（1）填空：________；_______；_________；（2）猜想：_________，并证明你的结论；（3）求值：．24．常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解，过程如下：．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）；（2）；（3）已知三角形的三条边长分别为，当，求的值。

参考答案1．B【分析】根据分式的定义，依次判断即可．【详解】解：根据分式的定义，，为分式，有3个，故选：B．【点拨】本题考查分式的识别，熟记分式的定义是解题关键．2．B【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得结论．【详解】解：A.，当x=0时，分式无意义，故此选项不符合题意；B.，∵，∴，分式一定有意义，故此选项符合题意；C.，当时，分式无意义，故此选项不符合题意；D.，当x=-1时，分式无意义，故此选项不符合题意；故选：B【点拨】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．3．A【分析】分式的值为0，即分子为0且分母不为0．【详解】解：∵式子的值为，∴，即，∵分式的分母不能为0，∴，故．故选：A．【点拨】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质．4．C【分析】根据已知等式可得且，再代入求值即可得．【详解】，且，且，则，故选：C．【点拨】本题考查了分式的求值，根据已知等式正确得出A.b之间的等量关系是解题关键．5．A【分析】根据分式的分母不能为0即可得．【详解】由分式的分母不能为0得：，解得，故选：A．【点拨】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．6．B【分析】根据分式的值为0，分子为0，分母不能为0，依次判断即可．【详解】解：A选项，当时分母为0，无意义，故该选项不符合题意；B选项，当时分子为0，分母不为0，值为0，故该选项符合题意；C选项，当x=2时分子和分母都为0，无意义，故该选项不符合题意；D选项，时，原式=，故该选项不符合题意；故选：B．【点拨】本题考查分式的值为0的条件．一定要注意分母不能为0．7．B【分析】由，得，代入整理可得答案．【详解】解：∵，∴，∴=．故选B．【点拨】本题考查了分式的求值，由得到．是解答本题的关键8．C【分析】根据分式定义即可求解．【详解】A：，分母中不含有字母，属于整式，不符合题意；B：x-1，分母中不含有字母，属于整式，不符合题意；C：，分母中含有字母，是分式，符合题意；D：，分母中不含有字母，属于整式，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查分式的定义，判断的依据是看分母中是否含有字母，熟知分式的概念是解题的关键．9．B【分析】根据分式有意义的条件，可知分式的分母不为，可以求出的取值范围．【详解】要使式子有意义，，．故选：B．【点拨】本题考查了分式有意义，解题的关键是明确分式有意义的条件．10．C【分析】先根据分式为零的条件列出不等式组，然后再求解即可．【详解】解：∵=0∴，解得x=2．故答案为C．【点拨】本题主要考查了分式为零的条件，根据分式为零的条件列出不等式组是解答本题的关键．11．D【分析】根据等式的性质求出，代入所求式子中，即可求出答案．【详解】，∴，∴，故选：D．【点拨】本题考查了等式的性质，分式的求值，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．12．x≠2【分析】根据分式有意义的条件，即可求解．【详解】∵分式有意义，∴x-2≠0，即x≠2，故答案是：x≠2．【点拨】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0，是解题的关键．13．0或4或6或10【分析】根据题中的新定义可分若5＞x，若5＜x，两种情况分别求解，最后合并结果．【详解】解：若5＞x，则=为整数，则x=0或4或6（舍）或10（舍），若5＜x，则=为整数，则x=0（舍）或4（舍）或6或10，综上：整数x的值为：0或4或6或10，故答案为：0或4或6或10．【点拨】此题主要考查了分式的值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是理解题中的新定义．14．13【分析】把已知等式两边分别平方适当变形后，再将所求代数式展开整体代入求解．【详解】解：∵，∴，即，∴，故答案为：13．【点拨】此题主要考查了分式的求值以及完全平方公式，正确运用公式是解题关键．15．【分析】通过观察可发现规律：，则原式=，即可计算出结果．【详解】故答案为：．【点拨】本题考查分式的运算，解题的关键是发现已知式子的规律．16．【分析】将变形为=5a，根据完全平方公式将原式的分母变形后代入=5a，即可得到答案．【详解】∵，∴=5a，∴故答案为：．【点拨】此题考查分式的化简求值，完全平方公式，根据已知等式变形为=5a，将所求代数式的分母变形为形式，再代入计算是解题的关键．17．0【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出的取值，从而得出的值．【详解】，要使的值是正整数，则分母必须是2的约数，即或，则或1(舍去)，故答案为：．【点拨】本题考查了分式的化简、分式的值；掌握分式的化简，根据分式的值为正整数．利用约数的方法进行分析是解决问题的关键．18．x≠0且x≠1【分析】根据分式的有意义的条件即可求出答案．【详解】解：=，∴x≠0且x≠1，故答案为：x≠0且x≠1．【点拨】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．19．8.5.4.3【分析】根据题意可得6是x-2的倍数，然后根据x为正整数可进行求解．【详解】解：∵分式的值为正整数，∴的值为1.2.3.6，∵为正整数，∴或4或5或8；故答案为8.5.4.3．【点拨】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键．20．【分析】设，可得、与m的关系，解可得m、x、y的值，代入分式计算可得答案．【详解】解：设，则，，；解得，进而可得，，代入分式可得，故答案为：．【点拨】本题考查的是分式的求值，求出、的值，进行解题．21．【分析】把变形为，根据非负性求出x，y代入即可求解．【详解】∵，∴，∴，∴，，∴，，∴．故答案为：-1．【点拨】此题主要考查分式的求值，解题的关键是熟知完全平方公式及非负性的应用．22．（1）x＞3或x＜﹣3；（2）【分析】（1）结合题中的方法，先对不等式左边因式分解为两个多项式，再分类讨论即可；（2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可．【详解】（1）解不等式x2﹣9＞0，即为解，根据“两数相乘，同号得正”得①，或②，解不等式组①得，x＞3，解不等式组②得，x＜﹣3，∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣3；（2）由题得不等式，根据“两数相除，同号得正，异号得负”得①，或②，解不等式组①得，，不等式组②无解，∴原不等式的解集为．【点拨】本题考查一元二次不等式，以及分式不等式，理解并熟练运用题干中介绍的方法是解题关键．23．（1），，1；（2），证明见解析；（3）．【分析】（1）根据给出的规定计算即可；（2）根据给出的规定证明；（3）运用加法的交换律结合律，再根据规定的运算可求得结果．【详解】解：（1）=，=，,+=1，（2），理由为：，则．（3）原式．【点拨】本题考查的是分式的加减，根据题意找出规律是解答此题的关键．24．（1）(1+2a-b)(1-2a+b)；（2）(3a+2b+5m-n)(3a+2b-5m+n)；（3）【分析】（1）把后3项运用完全平方公式分解，再用平方差公式分解；（2）先运用完全平方公式分解，再整体运用平方差公式进行分解；（3）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用两式各自等于0的时候求出A.B.c的关系即可求解．【详解】解：（1）===1-(2a-b)2=(1+2a-b)(1-2a+b)；（2）9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn=(9a2+12ab+4b2)-(25m2-10mn+n2)=(3a+2b)2-(5m-n)2=(3