中考数学几何模型归纳训练专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型（解析版）

专题02三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型

近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型进

行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）

图1图2图3

条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①BCDABD；②ABADBCCD。

条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC；结论：∠O=1（∠A+∠C）。

2

条件：如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD；结论：∠O=1（∠D-∠B）。

2

飞镖模型结论的常用证明方法：

例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：

有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它

实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通

俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．

（即如图1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：

方法一：如图2，连接AB，则在ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又

∵在ABD中，∠1+∠2+∠ADB=△180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．

方法△二：如图3，连接CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是ACD和BCD的一个外角，......

大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你△有自己的△方法吗？

任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；

(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；

(3)应用：如图4，AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G，若∠ADB=150°，

∠AGB=110°，请你直接写出∠C的大小．

【答案】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180°）；(2)见解析；(3)70°

【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；（2）根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，

从而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求证；（3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，

∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，从而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE是

∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，可得150°-∠C=2（110°-∠C），即可求解．

【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180°）

（2）证明：连接CD并延长至F，

∵∠1和∠2分别是△ACD和△BCD的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，

∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB；

（3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，

∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，

∴∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，

∵AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，∴∠CAD=2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，

∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠C），解得：∠C=70°．

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角

形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

例2．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究ADB与A、

B、C的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，DE平分ADB，CE平分ACB，A24，

B66，请直接写出E的度数．

【答案】（1）ADB=A+B+C，理由见详解；（2）21°

【分析】（1）连接CD并延长到点E，利用三角形的外角的性质求解即可；（2）由（1）可知：

1

∠ADB-∠C=∠A+∠B=90°，从而得∠EDO-∠BCO=×90°=45°，结合∠EDO+∠E=∠BCO+∠B，即可求解．

2

【详解】解：（1）ADB=A+B+C，理由如下：

连接CD并延长到点E，

∵∠ADE＝∠ACD＋∠A，∠BDE＝∠BCD＋∠B，

∴∠ADE＋∠BDE＝∠ACD＋∠A＋∠BCD＋∠B，∴ADB=A+B+ACB．

（2）由第（1）题可得：ADB=A+B+ACB，∴∠ADB-∠ACB=∠A+∠B=66°+24°=90°，

11

∵DE平分ADB，CE平分ACB，∴∠EDO-∠BCO=（∠ADB-∠C）=×90°=45°，

22

∵∠DOE=∠BOC，∴∠EDO+∠E=∠BCO+∠B，

∴∠B-∠E=∠EDO-∠BCO=45°，∴∠E=∠B-45°=66°-45°=21°．

【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质，

是解题的关键．

例3．（2022秋·广西八年级期中）如图，ABD，ACD的角平分线交于点P，若A48，D10，

则P的度数（）

A．19B．20C．22D．25

【答案】A

【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB

＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝

∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，

推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则

11

∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可．

22

【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，

∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，

∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，

∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，

∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，

∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D

∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°．

法二：延长DC，与AB交于点E．

∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．

∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，

∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD−∠ABD＝58°．

设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，

111

∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°．故选A.

222

【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知

识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．

例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，ABACBC，为三角形内任意一点，连结AP，

并延长交BC于点D.求证：（1）ABACADBC；（2）ABACAPBPCP.

【详解】（1）∵ABAC，∴ABDACD

∵ADBACD，∴ADBABD，∴ABAD

∵ACBC，∴ABACADBC

（2）过点P作EF∥BC，交AB、AC于E、F，则AEFABC，AFEACB

由（1）知AEAFAPEF

∵BEEPBP，CFFPCP∴(AEBE)(AFCF)(EPFP)APBPCPEF

即ABACAPBPCP

（几何证明中后一问常常要用到前一问的结论）

例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样

图形叫做“箭头四角形”．

探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究BDC与A、B、C之间的关系，并说明理由；

应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若

A60，则ABXACX；②如图o3，ABE、ACE的2等分线（即角平分线）BF、

CF相交于点F，若BAC60，BEC130，求BFC的度数；

拓展：（3）如图4，BOi，COi分别是ABO、ACO的2020等分线（i1，2，3，，2018，2019），它们的交点

从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2019．已知BOCm，BACn，则BO1000C度．

50m51n

【答案】（1）BDCABC，理由见详解；（2）①30；②95°；（3）

101

【分析】（1）连接AD并延长至点E，利用三角形外角的性质得出BDEBADB,CDECADC,

左右两边相加即可得出结论；

（2）①直接利用（1）中的结论有BXCAABXACX，再把已知的角度代入即可求出答案；

②先根据BECBACABEACE求出ABEACE，然后结合角平分线的定义再利用

1

BFCBACABFACFBAC(ABEACE)即可求解；

2

（3）先根据BOCBACABOACO求出ABOACO，再求出ABO1000ACO1000的度数，最

后利用BO1000CBACABO1000ACO1000求解即可．

【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E

∵BDEBADB,CDECADC,

又∵BDCBDECDE,BACBADCAD,∴BDCBACBC

（2）①由（1）可知BXCAABXACX

∵A60，BXC90∴ABXACXBXCA906030

②由（1）可知BECBACABEACE

∵BAC60，BEC130∴ABEACEBECBAC1306070

11

BF平分ABE，CF平分ACEABFABE,ACFACE

22

1

BFCBACABFACFBAC(ABEACE)95

2

（3）由（1）可知BOCBACABOACO

∵BOCm，BACn∴ABOACOBOCBACmn

∵BOi，COi分别是ABO、ACO的2020等分线（i1，2，3，，2018，2019）

mn50m50n

∴ABOACO1000

100010002020101

50m51n

∴BOCBACABOACO

100010001000101

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是

解题的关键．

模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型

图1图2

1）风筝（鹰爪）模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；

2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。

例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，1，2，3分别是四边形ABCD的外角，判定下列大小关系：

①13ABCD；②13ABCD；③123360；④123360．其

中正确的是．（填序号）

【答案】①

【分析】根据多边形（三角形）的外角和为360即可求解．

【详解】解：如图，连接BD，

∵1ABDADB，3DBCBDC，

∴13ABDADBDBCBDCABCADC，故①正确，②不正确；

∵多边形的外角和是360，∴123360，故③④不正确，故答案为：①．

【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理、外角和性质，掌握以上知识，能正确添加辅助线构成三角形

是解题的关键．

例2．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．

在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角BAC内部有一点D，在其两边AB和AC上各取任

意一点E，F，连接DE，DF．求证：BEDDFCBACEDF．

小丽的证法小红的证法

证明：证明：

如图2，连接AD并延长至点M，∵BED80,DFC60，

BEDBADEDA，BAC51,EDF89（量角器测量所得），

DFCDACADF（依据），∴BEDDFC140，

又∵BADDACBAC，BACEDF140（计算所得）．

EDAADFEDF，∴BEDDFCBACEDF（等量代换）．

∴BEDDFCBACEDF．

任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；

(2)下列说法正确的是____________．

A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理

B．小丽的证法还需要改变BAC的大小，再进行证明，该定理的证明才完整

C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理

D．小红的证法只要将点D在BAC的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理

(3)如图，若点D在锐角BAC外部，ED与AC相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成

立，请说明理由；若不成立，请探索BED，DFC，BAC，EDF之间的关系．

【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

(2)A(3)不成立，BEDBACDFCEDF

【分析】（1）连接AD并延长至点M，根据三角形外角的性质解答即可；

（2）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可得答案；

（3）根据三角形外角的性质得AGEDFCEDF，BEDBACAGE，整理可得答案

【详解】（1）小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

（2）根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确；

（3）不成立，AGE是GDF的一个外角，AGEDFCEDF，

BED为△AEG的一个外角，BEDBACAGE，

BEDBACDFCEDF（或BEDDFCBACEDF）．

【点睛】本题考查了三角形的外角，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不

相邻的两个内角的和．

例3．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180如

何证明这个定理呢？我们知道，平角是180，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中

去，请根据如下条件，证明定理．

（1）【定理证明】

已知：ABC如图①，求证：ABC180．

（2）【定理推论】如图②，在ABC中，有ABC180，点D是BC延长线上一点，由平角的定

义可得ACDACB180，所以ACD_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等

于与它不相邻的两个内角的和．

【初步运用】如图③，点D、E分别是ABC的边AB、AC延长线上一点．

（3）若A80，DBC150，则∠ACB_______．（4）若A80，则DBCECB_______．

【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．

（5）若A80，P150，则DBPECP_________．

（6）分别作DBP和ECP的平分线BM、CN，如图⑤，若BM∥CN，则A和P的关系为__________．

（7）分别作DBP和ECP的平分线，交于点O，如图⑥，求出A，O和P的数量关系，说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）A+B；（3）70；（4）260；（5）230；（6）AP；（7）A2OP，

理由见解析

【分析】（1）过点A作MN∥BC，根据平行线的性质和平角的定义解决．

（2）根据三角形内角和定理和平角的定义即可解答．

（3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答；

（4）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得DBCECBAABCAACB，

根据三角形的内角和定理得AABCACB180，以此即可求解．

（5）连接AP，根据三角形内角和定理的推论即可解答．

11

（6）过点P作PQ∥BM，由（1）可知，DBPECPABPC，则DBPECPABPC，

22

11

根据平行线和角平分线的性质可得DBPECPBPC，则BPCABPC，以此即可求解．

22

11

（7）由（1）可知，DBPECPABPC，则DBPECPABPC，根据角平分线

22

的性质和四边形的内角和为360即可求解．

【详解】（1）证明：如图，过点A作MN∥BC，

∵MN∥BC，MABB，NACC，

MABBACNAC180，BBACC180．

（2）ABACB180，ACDACB180，

ACDAB．故答案为：A+B．

（3）DBCAACB，A80，DBC150，

ACBDBCA1508070；故答案为：70；

（4）DBCAACB，ECBAABC，DBCECBAABCAACB，

AABCACB180，A80，

DBCECBAABCAACB18080260．故答案为：260．

（5）如图，连接AP，DBPBAPAPB，ECPCAPAPC，

DBPECPBAPAPBCAPAPC，

BAPCAPA80，APBAPCP150，

DBPECPAP80150230．故答案为：230．

（6）如图，过点P作PQ∥BM，则PQ∥CN，

11

由（1）知，DBPECPABPC，DBPECPABPC，

22

PQ∥BM∥CN，MBPBPQ，NCPCPQ，BPQCPQBPCMBPNCP，

1

BM、CN分别是DBP和ECP，DBPECPMBPNCPBPC，

2

1

BPCABPC，BPCA．故答案为：AP．

2

（7）A2OP，理由如下：

11

由（1）知，DBPECPABPC，DBPECPABPC，

22

QOB、OC分别为DBP和ECP的角平分线，

11

OBPOCPDBPECP，OBPOCPABPC，

22

1

OBPOCP360BPCO360，ABPCBPCO0，

2

A2OBPC，即A2OP．

【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的性质，根据

题干作出正确的辅助线是解题关键．

模型3、角内翻模型

图1图2

条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2；

条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。

例1．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，ABC中，A67，将ABC沿DE翻折后，点A

落在BC边上的点A处，如果AEC74，那么ADE的度数为．

【答案】60

【分析】根据翻折性质求得∠AED，再根据三角形的内角和定理求解即可．

【详解】解：由折叠性质得DAEA，AEDAED，

11

∵A67，AEC74，∴DAE67，AEDAEA1807453，

22

∴ADE180DAEAED180675360，故答案为：60．

【点睛】本题考查翻折性质，三角形的内角和定理，熟练掌握翻折性质是解答的关键．

例2．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在ABC中，B30，将ABC沿直线m翻折，点B

落在点D的位置，则12的度数是（）

A．30B．45C．60D．70

【答案】C

【分析】由折叠的性质可得B=D=30，再根据外角的性质即可求出结果．

【详解】解：将ABC沿直线m翻折，交BC于点E、F，如图所示：

由折叠的性质可知：B=D=30，根据外角的性质可知：1=B3，3=2D，

1=B2D=22B，122B60，故选：C．

【点睛】本题考查三角形内角和定理、翻折变换的性质，熟练掌握三角形外角的性质和翻折的性质是解题

的关键．

例3．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1，ABC中，A64，ÐB=90°，C26．点D是AC

边上的定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠CDE，折叠后点C落在点F处．下面我们来研究折叠后的

DEF有一边与原三角形ABC的一边平行时ADF的值．

(1)首先我们来研究边DE．因为DE和ABC的AC、BC相交，所以只有一种可能的情况（如图2），DE∥AB，

此时ADF．

(2)其次，我们来研究边EF．因为点E在BC上，所以EF可能与ABC的边AB、AC边分别平行．

当EF∥AB时（如下图），则ADF．

当EF∥AC时（如下图），则ADF．

(3)最后，我们来研究边FD．因为点D在AC上，所以FD可能与ABC的边AB、BC边分别平行．

当FD∥AB时，ADF．当FD∥BC时，ADF．

【答案】(1)52(2)142或38；26(3)64或116；26

【分析】（1）根据折叠的性质得出DFEC26，再根据外角的性质得出ADFDFEC计算得

出结论即可；（2）当EF∥AB时，分情况求出ADF的度数，当EF∥AC时，根据平行线的性质直接得出

ADF的度数即可；（3）当FD∥AB时，分情况求出ADF的度数，当FD∥BC时，根据平行线的性质直

接得出ADF的度数即可．

【详解】（1）解：由题意知，DFEC26，

∴ADFDFEC262652，故答案为：52；

（2）解：当EF∥AB（1）时（如图3），

∵FEMF90，FC，CA90，∴EMFDMBA64，

∴ADF180ABDMB360649064142；

当EF∥AB（2）时，∵ANFA64，FC26，

∴ADFANFF642638，故答案为：142或38；

当EF∥AC时，ADFFC26，故答案为：26；

（3）解：当FD∥AB时，ADFA64或ADF180A116，故答案为：64或116；

当FD∥BC时，ADFC26，故答案为：26．

【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质及三角形内角和是180等知

识是解题的关键．

例4．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将BAC沿DE折叠，使点A落在BAC的内部

的点M处，当A50，BDM30时，求CEM的度数；

（2）如图，将BAC沿DE折叠，使点A落在BAC的外部的点M处．求图中A，BDM，CEM

之间的数量关系；（3）如图，将A、B

一起沿EF折叠，使点A、点B的对应点M、N分别落在射线

BD的左右两侧，CEM，DFN，A、B

的数量关系．(直接写结果，不需要过程）

【答案】（1）70，（2）2ABDMCEM，（3）2ABCEMDFN360

【分析】（1）根据翻折的性质表示出3、4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得2A12，

问题随之得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出3、4，再根据三角形的内角和定理列式

整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出3、4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．

【详解】解：（1）如图，BDM1，CEM2，ADE3，AED4，

11

∵翻折，∴3EDM(1801)，4DEM(1802)，

22

∵A34180，A50，1BDM30，

11

∴整理得，2A12，

22

∵A50，1BDM30，∴22A170，即CEM70；

（2）如图，BDM1，CEM2，ADE3，AED4，

11

∵翻折，∴3EDM1801，4MED1802，

22

11

∵A34180，∴A(1801)(1802)180，

22

整理得，2A12，即2ABDMCEM；故答案为：2ABDMCEM；

（3）如图，CEM1，DFN2，AEF3，BFE4，

11

∵翻折，∴3FEM1801，4NFE1802，

22

11

∵AB34360，∴A

22

整理得，2AB12360，即2ABCEMDFN360．

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和

是180，是解题的关键．

课后专项训练

1．（2023·四川绵阳·八年级校考期中）如图，ABC中，C90，将ABC沿DE折叠，使得点B落在AC

边上的点F处，若CFD60且AEFAFE，则A的度数为（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【答案】B

1

【分析】平角的定义，求出AFD的度数，翻折，得到DFEB，等边对等角，得到AFE180A，

2

三角形内角和定理，得到DFEB90A，再根据AFDAFEDFE列式求解即可．

【详解】解：∵ABC中，C90，∴B90A，

∵将ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，∴DFEB90A，

1

∵CFD60，∴AFD120，∵AEFAFE，∴AFE180A，

2

1

∴AFDAFEDFE90A180A120，∴A40；故选B．

2

【点睛】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，等边对等角．解题关键是理清角度之间的等量关系．

2．（2023·河南安阳·八年级校考期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，

则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）

A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2

【答案】A

【分析】根据折叠的性质可得AA，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到

1DOAA，DOA2A，然后列式整理即可得解．

【详解】解：根据折叠的性质，得AA．在△AOD中，1DOAA，

在AOE中，DOA2A，∴1A2A，即2A12．故选A．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及折叠的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和的性质把角与角之间联系起来是解题的关键．

3．（2023秋·重庆开州·八年级统考期末）如图，将ABC沿BE翻折交AC于点D，又将△BCD沿BA翻折，

点C落在BE上的C处，其中A18，CDB68，则原三角形中C的度数为（）

A．87B．75C．85D．70

【答案】A

【分析】设CBDx，由翻折得ÐABE=ÐA¢BE=ÐCBD=x°，根据三角形内角和得到

180-18-3x=180-68-x，求出x25，再利用三角形内角和求出C的度数．

【详解】解：设CBDx，由翻折得ÐABE=ÐA¢BE=ÐCBD=x°

∵ÐA=ÐA¢=18°，ÐCDB=ÐC¢DB=68°∴180-18-3x=180-68-x解得x25，

∴ÐABE=ÐA¢BE=ÐCBD=25°∴ABC3x75∴ÐC=180°-ÐA-ÐABC=87°故选：A．

【点睛】此题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，一元一次方程，正确掌握翻折的性质是解题的关键．

4．（2023·广东八年级课时练习）如图，在ABC中，B28，将ABC沿直线m翻折，点B落在点D的

位置，则12．

【答案】56

【分析】根据折叠得出∠D=∠B=28°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BEF，∠BEF=∠2+∠D，求出

∠1=∠B+∠2+∠D即可．

【详解】解：如图，

∵∠B=28°，将ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，∴∠D=∠B=28°，

∵∠1=∠B+∠B△EF，∠BEF=∠2+∠D，∴∠1=∠B+∠2+∠D，

∴∠1-∠2=∠B+∠D=28°+28°=56°，故答案为：56．

【点睛】本题考查了三角形的外角性质和折叠的性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

5．（2023·河南平顶山·八年级统考期末）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，

若BCD80，则ABDE．

【答案】260/260度

【分析】连接BD，利用四边形内角和定理和三角形内角和定理计算即可．

【详解】如图，连接BD，

则AABCCBDCDBCDEE360，CBDCDBBCD180，

∵BCD80，∴CBDCDB100，

∴AABCCDEE360100260，故答案为：260．

【点睛】本题考查了四边形内角和定理和三角形内角和定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．

6．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC中，CD是AB边上的高，点E，F分别是AB，AC边

上的点，连接EF，将△AEF沿着EF翻折，使点A与BC边上的点G重合，若EGB90，

DCBCFG82，则ACD的度数为．

【答案】49/49度

【分析】利用三角形内角和求出BEGDCB，结合已知得到BEGCFG82，可求得

11

AFGAEG278，再根据折叠的性质，可得AFEAFG，AEFAEG，进一步求出A，再利用

22

三角形内角和求出结果．

【详解】解：∵CD是AB边上的高，EGB90，∴BDCADCBGE90，

∵BB，∴BEGDCB，∵DCBCFG82，∴BEGCFG82，

11

∴AFGAEG180282278，由折叠可得：AFEAFG，AEFAEG，

22

1

∴AFEAEFAFGAEG139，∴A18013941，

2

∴ACD180ADCA49，故答案为：49．

【点睛】本题考查了三角形内角和，折叠的性质，三角形的高，图中线段较多，解题的关键是理清角之间

的关系，根据折叠得到相等的角．

7．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，ABC中，A67，将ABC沿DE翻折后，点A落

在BC边上的点A处，如果AEC74，那么ADE的度数为．

【答案】60/60度

【分析】根据翻折性质求得∠AED，再根据三角形的内角和定理求解即可．

【详解】解：由折叠性质得DAEA，AEDAED，

11

∵A67，AEC74，∴DAE67，AEDAEA1807453，

22

∴ADE180DAEAED180675360，故答案为：60．

【点睛】本题考查翻折性质，三角形的内角和定理，熟练掌握翻折性质是解答的关键．

8．（2023·湖南永州·八年级统考期中）如图，若△OAD≌△OBC，且O60，C20，则OAD．

【答案】100°/100度

【分析】根据三角形内角和求得OBC100，再根据全等三角形的性质得OADOBC100即可．

【详解】解：∵O60，C20，∴OBC100，

又∵△OAD≌△OBC，∴OADOBC100．故答案为：100°．

【点睛】本题考查三角形内角和及全等三角形的性质，解题关键是理解全等三角形的对应角相等．

9．（2023春·四川·七年级统考期末）在四边形ABCD中，A98，D140．

(1)如图1，若BC，则B__________度；

(2)如图2，作BCD的平分线CE交AB与点E，若CE∥AD，求B的度数；

(3)如图3，作ABC和DCB的平分线交于点E，求BEC的度数．

【答案】(1)61(2)42(3)119

【分析】（1）根据四边形内角和，A98，D140求出BC的值即可求解；

（2）根据平行的性质及角平分线求出ECB40，CEB98，结合三角形内角和定理即可求解；

（3）根据角平分线求出EBCECB61，再利用三角形内角和定理求解．

【详解】（1）解：在四边形ABCD中，ABCD360，

A98，D140，BC36098140122，

1

BC，B12261；

2

（2）解：CE∥AD，CEBA98，DDCE180，

DCE180D18014040，

CE平分BCD，ECBDCE40，

在BCE中，BBCECEB180，

B180CEBBCE180984042；

（3）解：由（1）可知ABCBCD122，

BE平分ABC，CE平分BCD，

11

EBCABC，ECBBCD，

22

1111

EBCECBABCBCDABCBCD12261，

2222

BEC180EBCECB18061119．

【点睛】本题考查多边形内角和，三角形内角和，角平分线的定义，平行性质，掌握相关定理性质是关键．

10．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）（2018十三中开学考）已知，在ABC中，∠A=60°，

（1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC=；

（2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则BO2C_________；

（3）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，…，On（1内部有n1个点），则BOn1C；

（4）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，…，On1，若BOn1C90，求n的值．

60n120

【答案】（1）120°；（2）100°；（3）；（4）n=4

n

【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC

＋∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，

然后根据三等分线的定义即可求出∠O2BC＋∠O2CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（3）根据

三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据n等分线的定义即可求出∠On－1BC＋∠On－1CB，再

根据三角形的内角和定理即可求出结论；（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论．

【详解】解：（1）∵在ABC中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°

11

∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB

22

111

∴∠OBC＋∠OCB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=60°

222

∴∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=120°故答案为：120°．

（2）∵在ABC中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°

∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，

22222

∴∠O2BC=∠ABC，∠O2CB=∠ACB∴∠O2BC＋∠O2CB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=80°

33333

∴BO2C180°－（∠O2BC＋∠O2CB）=100°故答案为：100°．

（3）∵在ABC中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°

∵∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，……，On1

n1n1

∴∠On－1BC=∠ABC，∠On－1CB=∠ACB

nn

n1n1n1120n120

∴∠On－1BC＋∠On－1CB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=°

nnnn

60n12060n120

∴BOn1C180°－（∠O2BC＋∠O2CB）=故答案为：

nn

60n120

（4）由（3）知：BOn1C

n

60n120

∴90解得：n=4经检验：n=4是原方程的解．

n

【点睛】本题考查了n等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n等分线的定义和三角形的内角和定理

是解决此题的关键．

11．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质．

定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边

形（如图1）．

（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）；

①②③

定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．

特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．

小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.

下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性

质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，

∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）．

【答案】（1）①；（2）证明见解析；（3）12243．

【分析】（1）根据凹四边形的定义即可得出结论；（2）由燕尾四边形的定义可以得出燕尾四边形的性质；

（3）连接BD，根据SΔABD-SΔBCD即可求出燕尾四边形ABCD的面积．

【详解】解：（1）由凹四边形的定义得出，图①是凹四边形．故答案是①；

（2）①一组对角相等；②它是一个轴对称图形；

①已知：如图1，

在凹四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC．求证：∠B=∠D．

ABAD

证明：连接AC．在△ABC和△ADC中，BCDC，∴△ABC≌△ADC．∴∠B=∠D．

ACAC

②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC所在的直线是燕尾四边形的对称轴；

（3）如图2，连接AC，过点B作BE⊥AC交AC的延长线于E；

1

由（2）知，燕尾四边形ABCD是轴对称图形，∴∠BCE=∠B