中考数学几何模型归纳训练专题22 解直角三角形模型之实际应用模型（原卷版）

专题22解直角三角形模型之实际应用模型

解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际

问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注

意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造

直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。

模型1、背靠背模型

图1图2图3

【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共

边（高）CD是解题的关键.

【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；

如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；

如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。

例1．（2023年四川省中考数学真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航

拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45，看底部C的俯角为60，无人机

A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：21.41，

31.73）

例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在

高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教

学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为

30，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA

的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．

例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯

形ABCD，斜面坡度i3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，

C18，求斜坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：sin180.31,cos180.95,tan180.32）

例4．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机

测最大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为60，楼顶C点

处的俯角为30，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结

果保留根号）

模型2、母子模型

图1图2图3图4

【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公

共边BC是解题的关键。

【重要等量关系】

如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC-BC=DB；

如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。

图5图6图7图8图9

如图5，BE+EC=BC；如图6，EC-BC=BE；

如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；

如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；

如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。

例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将

此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M．

(1)在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为53，求的值；

(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在B处观测M的仰角为（1）中的，向前走1.25米到达D处，此

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时观测点M的仰角为45，求树MN的高度．（注：tan37，sin37，cos37）

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例2．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架

水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，

测得河流右岸D处的俯角为30，线段AM243米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条

直线上，其中tan2．求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：31.7）．

例3．（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减

排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点

O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，DE1.5m，EC5m．该校学生在D

处测得电池板边缘点B的仰角为37，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45．此时点A、B与E在一条

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直线上．求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37，cos37，tan37，

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21.41）

例4．（2023年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角30的斜坡AB，长度

为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角CBF45，离B点4米远的E处有一个花台，在E

处测得C的仰角CEF60，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长（结果保留根号）．

模型3、拥抱模型

图1图2图3图4

【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。

【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+FC+CE=BE；如图3，BC+CE=BE；

如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。

例1．（2023•包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E

点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼

AB的顶部A点，且仰角为53°，已知树α高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到0.1

米，参考数据：＝1.7β3、sin53°≈、cos53°≈、tan53°≈）

例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF

放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼

AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰

角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平

面内，结果精确到0.1米，≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．

例3．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如

图，把支架EF放在离树AB适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架EF上的点E处，

然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，

观测者目高CD的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CDBD于点D，EFBD于点F，

ABBD于点B，BF6米，DF2米，EF0.5米，CD1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是米．

例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．

如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD6m,DCE30，点E，C，A在同一条水平直线上．

某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27．(1)求DE

的长；(2)设塔AB的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；②求塔

AB的高度（tan27取0.5，3取1.7，结果取整数）．

课后专项训练

1．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆

BC2a，ABb，AB的最大仰角为.当C45时，则点A到桌面的最大高度是（）

bb

A．aB．aC．abcosaD．absin

cosasin

2．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC6m，ABC，

则房顶A离地面EF的高度为（）

33

A．(43sin)mB．(43tan)mC．4mD．4m

sintana

3．（2023年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近

海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔

最高点A的仰角ABD45，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角ACD60，BC15.3m，

则灯塔的高度AD大约是（）（结果精确到1m，参考数据：21.41，31.73）

A．31mB．36mC．42mD．53m

4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上

走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高()

A．(600－2503)米B．(6003－250)米C．(350＋3503)米D．5003米

5．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高BC5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1:3，

则斜坡AB的长度为（）

A．10mB．103mC．5mD．53m

6．（2023·云南昆明·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进

行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，

在点D处测得摄像头A的仰角为30，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像

头A的仰角为60，则体温检测有效识别区域CD段的长为（）

53103

A．米B．米C．10米D．53米

33

7．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行

高度AC1200米，从飞机上看到点B的俯角为37飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行

直线上同向运动．当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为

310

47.4，则地面目标运动的距离BE约为米．（参考数据：tan37,tan47.4）

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8．（2023年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无

人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45，尚美楼顶部F的俯

角为30，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为米．（结果保留根号）

9．（2023·浙江·校考三模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB＝2AD＝2BC．现

4

将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中tanB，且点A，C，D在一条直线上，测得A，

3

C间的距离为1865cm，则门宽AD＝_______．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P在AB上，且AP

＝54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是_______cm．

10．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，

支架CD与OA交于点A，支架CGCD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筺EF与支架DE在同一

直线上，OA2.5米，AD0.8米，AGC32．

(1)求GAC的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面3米

处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin320.53,cos320.85,tan320.62）

11．（2023年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题．

测算发射塔的高度

某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发

射塔的高度MN（如图1）．他们通过自制的测倾

仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪

上的示数如图3所示．

背

景

素

材

经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．

问题解决

任分析规划选择两个观测位置：点_________和点_________

务

写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间

获取数据

1的图上距离．

任

务推理计算计算发射塔的图上高度MN．

2

任

楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔

务换算高度

的实际高度．

3

注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．

12．（2023年浙江省丽水市中考数学真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在

气体净化设备上增加一条管道ADC，已知DCBC，ABBC,A60,AB11m,CD4m，求管道

ADC的总长．

13．（2023年浙江省台州市中考数学真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上

的投影图像高度AB抽象成如图所示的ABC，BAC90．黑板上投影图像的高度AB120cm，CB与AB

的夹角B33.7，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.70.55，cos33.70.83，

tan33.70.67）

14．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量

角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

(1)如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与

铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．

(2)如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A

的仰角ABD为37，ACD为45，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC20m，求气球A离地面

的高度AD．（参考数据：sin370.60,cos370.80，tan370.75）

15．（2023年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？

图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a,c夹住横梁b，使得横

梁不能移动，结构稳固．

图2是长为lcm，宽为3cm的横梁侧面示意图，三

个凹槽都是半径为1cm的半圆．圆心分别为

O1,O2,O3,O1MO1N,O2QO3P2cm，纵梁是底面

半径为1cm的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭

“桥”，间隙忽略不计．

探究1：图3是“桥”侧面示意图，A,B为横梁与地面的交点，C,E为圆心，D,H1,H2是横梁侧面两边的交点．测

得AB32cm，点C到AB的距离为12cm．试判断四边形CDEH1的形状，并求l的值．

探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形H1H2H3H12，求l的值；

②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形H1H2H3Hn

的周长．

16．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄

像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15，摄像头高度OA160cm，

识别的最远水平距离OB150cm．

(1)身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下

蹲多少厘米才能被识别．(2)身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识

别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到

0.1cm，参考数据sin150.26,cos150.97,tan150.27,sin200.34,cos200.94,tan200.36）

17．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对

称图形，其示意图如图2．已知ADBE10cm，CDCE5cm，ADCD，BECE，DCE40．（结

果精确到0.1cm，参考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36，sin400.64，cos400.77，

tan400.84）。(1)连结DE，求线段DE的长．(2)求点A，B之间的距离．

18．（2022·浙江绍兴·中考真题）圭表（如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪

器，它包括一根直立的标竿（称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”)，

当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上