2025年中考数学总复习课件(山东省专用)40 第一部分 第七章 微专题七 图形的折叠问题

微专题七图形的折叠问题第一部分基础复习·突破核心第七章图形的变换模型一折叠中的度数或线段长度问题[模型展示]1．图形的折叠实质是轴对称变换，即折叠前后的两个图形是全等的．(1)全等关系：△BC′D≌△BCD≌△DAB，△ABE≌△C′DE．(2)线段相等：C′D＝CD，BC′＝BC．(3)角相等：∠1＝∠2，∠3＝∠4．(4)特殊三角形：△BED是等腰三角形．2．折痕是两对称点连接线段的垂直平分线，即BD垂直平分CC′．3．折痕可看成折叠前后对应线段夹角的平分线．【典例1】如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α＋β＝118°，则∠EMF的度数为(

)A．59°

B．58°

C．57°

D．56°√D

[∵AD∥BC，∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，∴∠DEG＋∠AFH＝α＋β＝118°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∴∠DEM＋∠AFM＝2×118°＝236°，∴∠FEM＋∠EFM＝360°－236°＝124°，在△EFM中，∠EMF＝180°－(∠FEM＋∠EFM)＝180°－124°＝56°．故选D．][跟踪训练]1．已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为(

)A．60° B．72°C．36° D．90°√B

[∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A，∴∠BED＝∠EDF＋∠A＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠ABC＋∠C＋∠A＝180°，∴2∠A＋2∠A＋∠A＝180°，∴∠A＝36°，∴∠ABC＝2∠A＝72°．故选B．]2．如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是(

)A．∠1＝2∠2B．∠1＋∠2＝90°C．∠1－∠2＝30°D．2∠1－3∠2＝30°√B

[∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠DCA＝180°，∵∠BAC＝180°－2∠1，∠DCA＝180°－2∠2，∴180°－2∠1＋180°－2∠2＝180°，∴∠1＋∠2＝90°．故选B．]

√A

[∵沿过点A的直线AD将纸片折叠，使点B落在边BC上的点P处，∴AP＝AB＝2，∠B＝∠APB，∵折叠纸片，使点C与点P重合，∴CE＝PE，∠C＝∠CPE，∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，∴∠APB＋∠CPE＝90°，∴∠APE＝90°，∴AP2＋PE2＝AE2．

√C

[连接AF，∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°，∵点E是AD上一点，且ED＝2AE，∴AE＋2AE＝6，∴AE＝2，

√

模型二折叠中的多解问题[模型展示]1．直角三角形的角不确定折叠后△BEF为直角三角形，则∠EFB＝90°或∠FEB＝90°．2．等腰三角形的腰和底不确定折叠后△A′EC是以A′E为腰的等腰三角形，则CE为底或A′C为底．

√

[跟踪训练]1．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，点M，N分别是AB，BC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′落在线段AC所在的直线上，若△NB′C为直角三角形，则∠MNB′的度数为____________．75°或45°

2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点P是直线BC上一动点，若将△ABP沿AP折叠，使点B落在点E处，若P，E，D三点在同一条直线上，则BP＝________．2或18

【典例4】如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC，分别交AD，AB于点E，F，将△AEF沿EF折叠，点A落在点A′处，当△A′BC是等腰三角形时，AP的长为________．

[跟踪训练]1．(2024·泰安一模)如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为____________．

2．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B，若△D′BC为等边三角形，则DE＝_________________．

②当点E在DA的延长线上时，如图2，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F由折叠可知∠ED′C＝∠D＝30°，又∠BD′C＝60°，所以D′E为∠BD′C的平分线，又△BD′C是等边三角形，所以D′E⊥BC．又AD∥BC，所以D′E⊥AD．

模型三动态折叠问题[模型特点]一般是在动点处翻折，考查特殊图形的存在性问题，由于对应关系不确定，需要进行分类讨论．【典例5】如图1，△ADC中，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把△ADC纸片沿EF折叠，使得点A落在△ADC的外部A′处，如图2所示．若∠1＝100°，∠2＝60°，则∠A的度数为(

)A．18° B．20°C．21° D．22°√B

[由折叠得∠AEF＝∠A′EF，∠AFE＝∠A′FE，∵∠AEF＋∠A′EF＋∠1＝180°，且∠1＝100°，∴2∠AEF＋100°＝180°，∴∠AEF＝40°，∵∠AFE＋∠A′FE＋∠AFA′＝360°，且∠AFA′＝180°－∠2＝180°－60°＝120°，∴2∠AFE＋120°＝360°，∴∠AFE＝120°，∴∠A＝180°－∠AEF－∠AFE＝180°－40°－120°＝20°．故选B．][跟踪训练]1．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝49°，H和G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K处，若MN∥PK，则∠KHD的度数为____________．98°或82°98°或82°

[当PK在AD上方时，延长MN，KH交于点Q，由折叠可知，∠K＝∠P＝90°，∠ENM＝90°，∵PK∥MN，∴∠K＝∠Q＝90°，∴∠ENM＝∠Q，∴EN∥KH，∵∠EFC＝49°，∴∠AEF＝49°，∴∠AEN＝98°，∴∠AHQ＝98°，∵∠KHD＝∠AHQ，∴∠KHD＝98°；当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，由折叠可知，∠HKP＝90°，∠MNE＝90°，∵MN∥KP，∴∠T＝∠HKP＝90°，∴∠ENM＝∠T＝90°，∴EN∥HK，∵∠EFC＝49°，∴∠AEF＝49°，∴∠AEN＝98°，∴∠AHK＝98°，∴