专题四　微重点3　立体几何中的动态问题

立体几何中的动态问题微重点3汇报人：“动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.考情分析动点轨迹问题考点一考点二考点三目录壹内容索引叁专题强化练贰折叠、展开问题肆最值、范围问题动点轨迹问题第一章

√例1√

规律方法解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定.(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算.(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.

(多选)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在侧面CC1D1D(含边界)内运动，Q在底面ABCD(含边界)内运动，则下列说法正确的是A.若直线AC与直线AP所成角的大小为30°，则点P的轨迹为椭圆的一部分B.若过点Q作体对角线A1C的垂线，垂足为H，满足QA=QH，则点Q的轨

迹为双曲线的一部分C.若点P到直线B1C1的距离与点P到平面ABCD的距离相等，则点P的轨迹

为抛物线的一部分D.若点P满足∠PAD=∠PAC1，则点P的轨迹为线段跟踪演练1√√√

折叠、展开问题第二章

√例2√

画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.规律方法

跟踪演练2√√√如图，将展开的平面图还原成立体图形，对A选项，连接A1B，∵P为AB1的中点，∴P也为A1B的中点，又Q为A1C的中点，∴PQ∥BC，∴P，Q，C，B四点共面，故A选项正确；对B选项，∵∠ABC=90°，由展开图易知，棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴易得BC⊥平面ABB1A1，又AB1⊂平面ABB1A1，∴AB1⊥BC，又AA1=AB，∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，又BC∩A1B=B，BC，A1B⊂平面A1BC，

∴BC=A1B，A1B⊥BC

∴∠BA1C=45°，又由B选项的分析知BC⊥平面ABB1A1，∴∠BA1C即为A1C与平面ABB1所成的角，又∠BA1C=45°，∴A1C与平面ABB1所成的角为45°，故D选项正确.最值、范围问题第三章

√例3√√

在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题时常用的解题思路(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值.(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值.规律方法

跟踪演练3√√

专题强化练第四章12345678910答案题号12345678答案CDBACABDBDBCD题号9

10答案对一对12345678910

√答案12345678910答案

123456789102.已知点P是正四面体A-BCD内的动点，E是棱CD的中点，且点P到棱AB和棱CD的距离相等，则点P的轨迹被平面ABE所截得的图形为A.线段

B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分√答案12345678910答案在正四面体A-BCD中，E是棱CD的中点，所以AE⊥CD，BE⊥CD，又AE∩BE=E，AE，BE⊂平面ABE，所以CD⊥平面ABE，又点P的轨迹被平面ABE所截，即点P在平面ABE内，所以点P到棱CD的距离为PE.在平面ABE内过点P作PF⊥AB，则PF为点P到棱AB的距离，又点P到棱AB和棱CD的距离相等，即PE=PF，因此，在平面ABE内，动点P到棱AB和到定点E的距离相等.由抛物线的定义得，动点P的轨迹是抛物线的一部分.12345678910

√答案12345678910

答案

12345678910√答案12345678910

答案

√12345678910答案12345678910

答案12345678910

答案12345678910

√答案√√12345678910

答案12345678910

答案12345678910

答案12345678910

√答案√12345678910设CD的中点为F，连接FM，FB，因为M为线段A1C的中点，所以FM∥A1D，因为FM⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以FM∥平面A1DE，因为在矩形ABCD中，AB=2AD，E是边AB的中点，所以FB∥DE，因为FB⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以FB∥平面A1DE，因为FB∩FM=F，FB，FM⊂平面BMF，所以平面A1DE

∥平面BMF，又因为BM⊂平面BMF，所以有BM∥平面A1DE恒成立，A说法正确；答案12345678910设A1在底面BCDE的射影为O，连接OE，OD，OC，CE，因为在矩形ABCD中，AB=2AD，E是边AB的中点，所以A1D=A1E，CD≠CE，由△A1OD与△A1OE全等可得OD=OE，所以OC与DE不垂直，假设存在某个位置，使DE⊥A1C，因为A1O⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，所以A1O⊥DE，因为DE⊥A1C，A1C∩A1O=A1，A1C，A1O⊂平面A1CO，所以DE⊥平面A1CO，因为OC⊂平面A1CO，所以DE⊥OC，与OC与DE不垂直矛盾，所以不存在某个位置，使DE⊥A1C，B说法错误；答案12345678910

答案

12345678910√答案√√

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12345678910答案123