甘肃省陇南市礼县白河中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（解析）

第页，共页礼县白河中学2024—2025高一数学第一次月考试卷一､选择题（每小题4分，8小题共32分）1.下列说法正确的是A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小【答案】D【解析】【详解】向量不能比较大小，向量的模能比较大小，显然D正确.考点：平面向量的概念.2.设向量，，则等于（）A. B.5 C. D.6【答案】B【解析】【分析】根据，，结合向量加法的三角形法则，应用向量的坐标运算得到，进而求得【详解】由，，而∴故选：B【点睛】本题考查了向量的坐标运算，结合向量加法法则求向量的模3.下列四个向量中，与向量共线的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量共线坐标表示的充要条件，逐一判断各个选项即可得解.【详解】解：对于A，因为，故向量与向量不共线；对于B，因为，故向量与向量不共线；对于C，因为，故向量与向量共线；对于D，因，故向量与向量不共线；故选：C.4.设向量，，且，方向相反，则的值是（）A.2 B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】由，方向相反，可得，，即，由此求得的值．【详解】解：向量，，且，方向相反，则，，即，解得或（舍去）故，故选：．【点睛】本题主要考查相反的向量的定义，属于基础题．5.已知向量，向量，则向量在方向上的投影为（）A.1 B.-1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量投影的计算公式求解即可；【详解】向量在方向上的投影为，故选：B.6.已知向量，，则（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】根据线性运算的坐标表示求出的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得；【详解】解：因为，，所以，所以；故选：A7.已知向量，向量，若，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，等价于，计算可得.【详解】由已知得，，故选B．【点晴】此题考向量垂直的充要条件，属于基础题.8.设向量，，若∥，则实数的值为（）A.2 B.3 C.-4 D.6【答案】A【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示，即可得解.【详解】向量，，且∥，，解得，故选：A.【点睛】本题考查了利用向量平行求参数问题，熟记向量平行的坐标表示是本题的解题关键，属于基础题.二､多项选择题（每小题5分，4小题共20分）9.已知实数m、n和向量，下列结论中正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据向量的线性运算的性质即可结合选项逐一求解.【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，若，则，所以，或，C错；对于D选项，若，则，所以，，即，D对．故选：ABD.10.下列各组向量中，不能作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ACD【解析】【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.11.对于任意的平面向量，下列说法错误的是（）A.若且，则 B.C.若，且，则 D.【答案】ACD【解析】【分析】ACD选项，举出反例；B选项，根据向量数量积的运算法则可得.【详解】A选项，若，，则满足且，但不平行，A错误；B选项，由向量数量积运算法则可得，B正确；C选项，若，满足，且，但不相等，C错误；D选项，不妨设，则，故，D错误.故选：ACD12.在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（）A.B＝60°，c＝4，b＝5，有两解B.B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解C.B＝60°，c＝4，b＝3，有一解D.B＝60°，c＝4，b＝2，无解【答案】ABC【解析】【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.三､填空题（每小题4分，4小题共16分）13.在菱形中，，则__________.【答案】【解析】【分析】根据菱形的几何特征结合向量加法的法则，得，得到，利用余弦定理即可求解.【详解】在中，连接，根据菱形的几何性质有，对边互相平行，四条边均相等，所以，且，所以，所以，根据向量加法的三角形法则有，，所以；又因为，，所以，在，，，由余弦定理有：，所以.则.故答案为：.14.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】根据向量的加减法以及坐标运算，可得答案.【详解】由，则.故答案为：.15.已知，，，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据题意，由向量的坐标表示，列出方程，求出，，即可得出结果.【详解】因为，，，若，则，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查由向量坐标表示求参数，属于基础题型.16.已知单位向量满足，则与的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】由向量模的运算及向量数量积的运算即可得到答案.【详解】因为单位向量，所以，，所以，因为，所以，即与的夹角为.故答案为：.四､解答题（共10题，82分）17.在平行四边形中，与相交于点是线段的中点，的延长线与交于点.（1）用表示；（2）用表示；；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可得解；（2）由三角形相似得，再根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可得解.（3）根据（2）直接计算即可.【小问1详解】由题意得，，所以；【小问2详解】如图，因为，所以，所以与相似，所以,所以，所以，【小问3详解】因为，所以，所以.18.若三点共线，求的值．【答案】【解析】【分析】根据的坐标表示出，由，列出等式求解.【详解】由题意得，因为三点共线，所以，即，得.19.已知平行四边形的顶点为，求点坐标.【答案】点的坐标为.【解析】【分析】由条件结合平行四边形的性质可得，设点的坐标为，列方程求可得结论.【详解】因为四边形为平行四边形，所以，设点的坐标为，又，所以，所以，，所以，，故点的坐标为.20.已知向与向量的夹角为，且，求：（1）（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由向量的数量积代入即可求解；（2）由向量的数量积代入即可求解；（3）由向量数量积的运算性质即可求解；【小问1详解】由条件可得：，所以；【小问2详解】；【小问3详解】21.已知O为坐标原点，，，．求证：是等腰直角三角形．【答案】证明见解析【解析】【分析】分别求出，根据边之间的关系即可判断选项.【详解】因为，，，所以，，，所以，所以，且，所以是等腰直角三角形．22.如图，已知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（4，3），点B的坐标为（－1，6），作，垂足为点D．（1）求，，；（2）求；（3）求．【答案】（1），，；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量坐标模长公式进行求解；（2）利用向量坐标夹角公式求解；（3）根据第二问求出OD，再使用勾股定理求出BD，求出面积.【小问1详解】，，由于，所以；【小问2详解】，故；【小问3详解】由（2）得：，所以，由勾股定理得：，所以23.已知中，（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）余弦定理得，即可解出的值；（2）由正弦定理得，代入数值即可求得的值；（3）由正弦定理得，从而或，再由得.【小问1详解】在中，由余弦定理得，解得或（舍），所以.【小问2详解】在中，，由正弦定理得，所以.【小问3详解】在中，由正弦定理得，所以，所以或，当时，，当时，，所以或.24.已知向量，在下列条件下分别求k的值：（1）与平行；（2）与垂直；（3）与夹角为.【答案】（1）（2）0（3）【解析】【分析】（1）首先求出与，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）由向量垂直坐标表示即可求解；（3）首先利用向量数量积的坐标运算求出，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可；【小问1详解】解：因为，，所以，，又与平行，所以，解得；【小问2详解】，，因为与垂直，所以，解得：；【小问3详解】因为，，所以，因为与夹角为，所以，即，解得．25.如图，一艘船以的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东20°方向上，30min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东60°方向上，求灯塔S到B处的距离（精确到，参考数据：，）．【答案】【解析】【分析】根据题意，计算得的值，根据正弦定理计算.【详解】在中，，，，由正弦定理得，，即，所以灯塔S到B处的距离为26.