2025年中考数学二轮复习讲练测第08讲 四边形的综合问题（2个考点8个题型）-浙江二轮讲练测（原卷版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题五几何图形的性质与判定的综合问题第08讲四边形的综合问题（思维导图+2考点+8种题型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03核心精讲·题型突破考点一、四边形的性质与判定的综合题型01、平行四边形性质与判定题型02、矩形性质和判定的综合问题题型03、菱形性质与判定的综合问题题型04、正方形的性质与判定的综合问题考点二、四边形性质的综合应用题型01、四边形背景下的作图问题题型02、四边形背景下的图形平移问题题型03、四边形的背景下的折叠问题题型04、四边形背景下的图形旋转问题试卷第=page22页，共=sectionpages170170页中考考点新课标要求命题预测四边形1、①了解多边形凹的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线，探索并掌握多边形内角和与外角和公式。②理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。2、③探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。④理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。3、探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等，菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。5、探索并证明三角形的中位线定理。本考点内容是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2025年浙江中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大，中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用.矩形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2025年浙江中考还将出现，其中，矩形还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而矩形其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大.菱形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2025年浙江中考还将出现.菱形的考察类型比较多样，其中选择、填空题常考察菱形的基本性质，解答题中考查菱形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大.02知识导图·思维引航03核心精讲·题型突破考点一、四边形的性质与判定的综合题型01、平行四边形性质与判定一、平行四边形性质与判定1．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．

（1）若四边形的周长与的周长相等，则之间的等量关系为．（2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为．4．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题：如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点．小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！(1)证明；(2)指出小丽作法中存在的问题．5．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若的面积等于2，求的面积．6．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)当，时，求的长．7．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．(2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．8．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且，，分别与，相交于点，，若，则的面积一定可以表示为（

）

A． B．C． D．9．（2023·浙江衢州·一模）已知图1是一扇开启状态下的某型号窗户，图2是其示意图．导轨固定在窗台上且，固定在连杆上，四边形是平行四边形，滑块可在导轨上自由滑动，滑动过程中连杆的长度均不发生改变，当窗框与导轨垂直时，窗户为完全开启状态．（1）当窗户完全闭合时，点重合，点在导轨上，如图3所示．若，，则，cm．（2）在（1）的条件下，窗户从完全闭合状态到完全开启状态，滑块的运动路径长为cm．10．（2023·浙江杭州·二模）如图，平行四边形中，与相交于点O，点P为中点，交于点E，连接，．(1)求证：平行四边形为菱形；(2)若，，①求的值．②求的长．11．（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．(1)若，求线段，的长．(2)若四边形的面积为48，求的面积．12．（2023·浙江杭州·模拟预测）在中，，平分，点G是的中点，点F是上一点，，延长交的延长线于点E，连接．(1)证明：四边形是平行四边形．(2)若，，求的长．13．（2024·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】（1）如图（1），在和中，点在上，，求证：．【尝试应用】（2）如图（2），在（1）的条件下，连结．若，求的长．【拓展提高】（3）如图（3），在中，对角线相交于点，，点E是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求平行四边形的面积．题型02、矩形性质和判定的综合问题14．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（

）

A． B． C． D．15．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结．(1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长．(2)如图2，若，设与交于点K．求证：．(3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由．16．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．

7．如图，将矩形对折两次，折痕由上至下分别为，然后将其展开，E为边上一点，再将沿折叠，使点C刚好落在线段的中点F处，则．8．如图，在四边形中，，，，，.点分别在边上，，交于点．(1)求的值．(2)证明：四边形是平行四边形．(3)点是关于的对称点：①当射线经过平行四边形的某一边中点时，求的值．②当点恰好落在上时，求的值．9．综合与实践如图，在矩形中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作交AD的延长线于点F，过点B作交FC的延长线于点G，过点F作交BE的延长线于点H．点P是线段CF上的一点，且．探究发现：（1）点点发现结论：．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由．深入探究：（2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答．①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，，，求的长．②“武林小组”提出问题：如图2，连结和，若，，，求的值．

10．综合与实践【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，，．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为．【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______；（2）如图③，当点N'落在AD边上时，BC恰好经过点N，与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形的面积；【引申探究】（3）当点落在矩形的对角线MD所在的直线上时，直线与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长．17．（2025·浙江杭州·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点，①求证：；②若时，则____．（2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．（3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．18．（2024·浙江宁波·二模）（1）如图1，在三角形中，是中点，连结，是上任意一点，过点作别交，于点、，求证：是中点；

（2）如图2，在四边形中，，与不平行，，，连结对角线，交于点，是上的点，过点作交于点，于点，求的值；（3）如图3，在菱形中，，，分别取菱形各边的中点，，，并顺次连结得到四边形，连结，交于点，是上一动点，作交于点，交于点，过点作交于点，连结，求的最小值．题型03、菱形性质与判定的综合问题19．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（

）

A． B． C． D．20．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（

）A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形21．（2023·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（

）

A． B． C． D．22．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点G．(1)求证：.(2)若．①求菱形的面积.②求的值.(3)若，当的大小发生变化时（），在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值．23．（2022·浙江金华·中考真题）如图，在菱形中，，点E从点B出发沿折线向终点D运动．过点E作点E所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点F，在的右侧作矩形．(1)如图1，点G在上．求证：．(2)若，当过中点时，求的长．(3)已知，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与相似（包括全等）？1．如图，已知平行四边形纸片，，，．现将纸片作如下操作：第1步，沿折痕折叠纸片，使点落在边上；第2步，再沿折痕折叠纸片，使点与点重合．若，则的长为（

）A．1 B． C． D．2．如图，是的角平分线，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交，于点，，连结，．设的面积为，四边形的面积为．若，则的值为（

）

A． B． C． D．3．如图，四边形是一个由5张纸片拼成的菱形（相邻纸片之间互不重叠），其中四张纸片为大小形状相同的平行四边形，连结．记，，若，则平行四边形纸片长与宽的比值为（

）

A．3 B．4 C． D．4．如图，在菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①；②与全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中一定成立的是（

）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④5．如图，在中，，，分别为，的中点，四边形的一边经过点，，对角线分别与，交于点、．(1)求证：四边形为菱形．(2)当，时，求的长．6．如图所示，四边形是矩形，点A、C的坐标分别为，，点D是线段上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线于点E．（1）记的面积为S，求S与b的函数关系式，并求出自变量b的取值范围；（2）当点E在线段上时，若矩形关于直线的对称图为四边形，试探究与矩形的重叠部分的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．（3）若，试求出（2）中重叠部分四边形的面积．24．（2024·浙江·一模）如图，菱形中，点P在对角线上，过点P分别作的平行线交于点．(1)求证：；(2)连结，若，判断与的数量关系，并说明理由．题型04、正方形的性质与判定的综合问题25．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形中，，点E在边上，是的中点，点H在边上，，则的长为（

）．A． B． C． D．26．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(

)

A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积27．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上．（1）若，，则的长是cm．（2）若，则的值是．28．（2023·浙江杭州·中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．(1)若，求的长．(2)求证：．(3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．29．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．

(1)求证：．(2)判断与是否垂直，并说明理由．30．（2022·浙江杭州·中考真题）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．(1)如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积，(2)如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．①求证：；②设，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：．31．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（

）A． B．2 C． D．32．（2025·浙江·一模）如图，在正方形中，点是上一动点（不与重合），对角线相交于点，过点分别作的垂线，分别交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（）A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤33．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，分别以它的三边为边向外作正方形，，，分别过点，作，，垂足分别为，．要知道阴影部分的面积，只需知道下列某个图形的面积，这个图形是（

）A． B．正方形 C．正方形 D．正方形34．（2024·浙江宁波·模拟预测）将两张矩形纸片，和另三张正方形纸片，，按如图所示方式不重叠地放置在矩形内．则下列条件中，不能求出四边形的面积的是（

）A．正方形与正方形周长的和 B．矩形与正方形周长的差C．矩形与矩形周长的和 D．矩形的周长35．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（

）A．的长 B．的长 C．的长 D．的长36．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长交于点M，连结并延长交于点N．若，则正方形与正方形的面积的比值为（

）．A． B． C． D．37．（2024·浙江·模拟预测）四个全等的直角三角形按如图方式围成正方形，过各直角顶点作正方形各边的平行线得到正方形．若，则的值为（

）A． B． C． D．38．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线，E为上一点，过点E作，与分别交于点G、F，H为的中点，连接．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（填写序号）．39．（2023·浙江杭州·二模）如图，四边形是正方形，点在边上，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点，，过点作的垂线交的延长线于点．连接，若，，则．40．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形中，点，分别在边，上（不与顶点重合），且满足，连接，交于点．，分别是边，的中点，连结接，．若正方形的边长为，则的最小值为．41．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，，令，当时，；当时，．

42．（2012·浙江杭州·二模）在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形绕点O顺时针旋转，当点A第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线．于点M，边交x轴于点N（如图）．(1)求边在旋转过程中所扫过的面积；（结果保留π）(2)旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；(3)设的周长为p，在旋转正方形的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．43．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在矩形的边，上，与交于点，连接．(1)求的度数．(2)若点是的中点，求证：点是的中点．(3)如图，若正方形的顶点在矩形的边上，顶点在矩形的边的延长线上，点为，的延长线的交点，设，，，求证：．44．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在正方形中，，的边分别与对角线相交于点P，Q，请说明．尝试解决：（1）小明给出了以下思路：将绕点A逆时针旋转得到，使与重合，连结，请帮小明完成解题过程．类比探究：（2）如图2，在正方形内作，使与相交于点与相交于点Q，连结．已知，，求的面积．拓展应用：（3）如图3，在长方形中，，，，P是上一点，Q是上一点，连结，求的面积的最小值．考点二、四边形性质的综合应用题型01、四边形背景下的作图问题45．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，．

(1)尺规作图：①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O；②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹）(2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由．46．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

(1)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，求四边形的周长．47．（2023·浙江金华·中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形分割成的小正方形网格．在该矩形边上取点，来表示的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：

（答题卷用）作法（如图）结论

①在上取点，使．，点表示．②以为圆心，8为半径作弧，与交于点．，点表示．③分别以为圆心，大于长度一半的长为半径作弧，相交于点，连结与相交于点．…④以为圆心，的长为半径作弧，与射线交于点，连结交于点．…(1)分别求点表示的度数．(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点，使该点表示（保留作图痕迹，不写作法）．48．（2024·浙江舟山·三模）利用尺规作图在一个矩形内作菱形，则下列作法中错误的是（

）A． B． C． D．49．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，点在边上，请仅用无刻度的直尺画图．(1)如图①，点满足，作的平分线．(2)如图②，已知点为的中点，作出边的中点．50．（2024·浙江温州·三模）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．(1)在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边上，且与互相平分；(2)在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边上，且要求分为两部分．51．（2025·浙江·一模）图，图都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点在格点上，分别按要求画出图形：(1)在图中画出两个以为斜边的直角三角形，且点在格点上；(2)在图中画出一个以为对角线的菱形，且，在格点上．52．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形的四个顶点都是格点，画图过程用虚线表示．(1)在图1中，先在边上画点E，使，使平分矩形的面积；(2)在图2中，在边上画点H，使53．（2024·浙江·模拟预测）如图，在6×6的方格纸中，点A，B均在格点上，试按要求画出相应的格点图形（每小题只需画一个）．

(1)在图1中作一条线段，使它与互相垂直平分．(2)在图2中作一个，使它是轴对称图形，且符合．54．如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边形，线段位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格点多边形．(1)请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且为对角线．(2)请在图2中画一个以为边，面积为的三角形．题型02、四边形背景下的图形平移问题54．（2022·浙江嘉兴·中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（

）A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm55．（2024·浙江台州·三模）在平面直角坐标系中，平行四边形的三个顶点：点，点，点．用含a，b，m，n的式子表示点B的坐标是（

）．

A． B．C． D．56．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，，，垂足为，现将沿着方向平移得到，且此时，则的长度为厘米．57．（2023·浙江温州·三模）如图在矩形中，是上一点，连结，过作于点．将向右下方向平移到的位置，在上，四边形向左下方向平移到四边形的位置．若重新组成的矩形与矩形全等，则的长为．内有一点，平移后对应点为点，若是矩形的中心，则点到的距离为．

58．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，，，点E是上一点．，P从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒．(1)用t表示线段的长度；(2)连接，求的值；(3)当点F在平行四边形的对角线上时，求t的值；(4)连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值．59．（2024·浙江宁波·模拟预测）【问题情境】在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片，其中，．如图2，将矩形纸片沿对角线剪开，得到纸片与．【实践探究】（1）将纸片沿方向平移，连结（与相交于点O），，，得到图3所示的图形．若，解答下列问题：①求证：．②求出平移的距离．【拓展延伸】（2）如图4，先将纸片沿方向平移一定距离，然后将纸片绕点顺时针旋转，使，若此时恰好经过点C，求出平移的距离．题型03、四边形的背景下的折叠问题60．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作：第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②；第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③；第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．则的长为（）

A． B． C． D．61．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为62．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．63．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连结．(1)如图，当在边上且时，求的度数．(2)当在延长线上时，求的长，并判断直线与直线的位置关系，说明理由．(3)当直线恰好经过点时，求的长．64．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．

(1)求证：；(2)当时，求的长；(3)令，．①求证：；②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值．65．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平行四边形中，，且，将其沿着直线折叠使得点的对应点恰好落在对角线上，且满足．问：与平行四边形的面积比为（

）A． B． C． D．66．（2024·浙江嘉兴·三模）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上一点，连结BE，将沿BE折叠得，点F恰好在边CD上，过点A作分别交BC，BF，BE于点G，P，Q．已知，当时，则折痕BE的长为（

）A． B．4 C． D．667．（2020·河南南阳·一模）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F为射线上一点，连接，若将沿直线折叠后，点A恰好落到上的点G处，则a的值为．68．（2024·浙江宁波·一模）如图，将矩形的边翻折到，使点D的对应点E在边上，再将边翻折到，且点A的对应点F为的内心，则．69．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形中，，E为边上的一个动点，连接，点B关于的对称点为，连接．若的最大值与最小值之比为2，则的长为．70．（2023·浙江台州·三模）如图，一张矩形纸片中，（m为常数）．将矩形纸片沿折叠，使点A落在边上的点H处，点D的对应点为点M，与交于点P．当点H落在的中点时，且，则．71．（2024·浙江·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交于点G，F，且．（1）若，则．（2）若，则的值为．72．（2024·浙江·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与重合），折痕为，若，，则点到的距离为．

73．（2023·浙江杭州·一模）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连结并延长分别交、于点G、F，且．（1）若，则；（2）若，，则．74．（2023·浙江丽水·模拟预测）如图，在菱形中，，，为线段上一动点，以为折痕将四边形折叠得到四边形，与交于点，当为直角三角形时，折痕的长为．75．（2024·浙江湖州·二模）数学兴趣小组在对一张矩形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索．已知矩形纸片的边长，，折痕始终经过点．折法一折法二如图1，点在上运动，将矩形沿着向上折叠，使得点的落点恰好落在对角线上．如图2，当点运动到点处，将矩形沿着对角线向上折叠，使得点落在处，交于点．请根据以上信息，完成下列问题：(1)计算折法一中的长度．(2)请根据折法二完成下列任务：①任务一：求证是等腰三角形；②任务二：计算的长度．76．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，．点E在射线上运动（不与点D重合），连接，将沿翻折，点D的对应点为点F．

(1)如图1，若点F恰好落在矩形某一边所在的直线上，直接写出的度数．(2)如图2，当点E恰好与点C重合时，求的面积．(3)在点E运动的过程中，是否存在一点F，使得成为直角三角形？若存在，请你在虚线框内作图（要求：尺规作图，并标出相应的点F）