2025年中考数学二轮复习讲练测第12讲 函数的选择压轴题（4个考点7个题型）-浙江二轮讲练测（解析版）

试卷第=page88页，共=sectionpages121121页专题七选择题压轴题第12讲函数的选择压轴题（思维导图+4考点+7种题型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u考点一、一次函数的综合问题题型01、一次函数图象和性质的应用题型02、一次函数与几何图形的综合问题考点二、二次函数的综合问题题型01、二次函数的图象和性质的应用题型02、二次函数与几何图形的综合考点三、反比例函数的综合问题题型01、反比例函数图象和性质的应用题型02、反比例函数与几何图形的综合考点四、多种函数的综合问题题型01、多种函数图象和性质的综合问题维引航03核心精讲·题型突破考点一、一次函数的综合问题题型01、一次函数图象和性质的应用1．为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了坐标与图形，化简绝对值，分情况讨论为解题关键，根据新定义，结合中和距离的定义，即可求出动点P的轨迹方程，可得轨迹为两线段，即可求得长度．【详解】解：，，，，，当，时，，，，，，整理得：，当，时，，，，，，整理得：，当，时，，或，，，，或，整理后均不符合条件，由上述讨论可知，动点P的轨迹由两部分组成：一部分是直线在，范围内的部分，即从到的线段，其长度为，另一部分是直线在范围内的部分，即从到的线段，其长度为，则动点P的轨迹长度为，故选：C2．已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线上，点在直线下方，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据一元二次方程根的判别式可得或，则点的坐标为或，再得出点在直线上，从而可得当与两条直线垂直时，的值最小，然后利用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得．【详解】解：∵关于的方程有两个相等实数根，∴这个方程根的判别式为，∴，∴或，即或，∵点的坐标为，∴或，∴点在直线或直线上，∵点在直线下方，∴点在直线上，∵点在直线上，且直线与直线平行，∴当与两条直线垂直时，的值最小，如图，过点作两条直线的垂线，垂直分别为点，则即为所求，设直线交轴于点，交轴于点，当时，，解得，即，当时，，即，∴，，∵，∴，同理可得：，∴，即的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根的判别式、平行线间的距离、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确确定点的位置是解题关键．3．我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解．【详解】解：分别作出函数，，的图象，根据图示，联立方程求交点得，①，解得，；②，解得，；③，解得，；∴当时，，则；当时，，则；当时，，则，；当时，，则；当时，，则，；当时，，则；当时，，则；综上所述，的最大值为，故选：C．4．直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④【答案】A【分析】根据两条直线交点与对应方程组的关系可判断①；把点代入两个函数关系式，可求出，结合可求出的范围，进而可判断②③；当时，原点到直线的距离最大，结合勾股定理即可判断④．【详解】解：∵直线与的图象交于点，当时，，∴当时，，∴关于的方程的解是，故①正确；∵直线与的图象交于点，∴，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴过一、二、三象限，随的增大而增大，由直线与的图象交于点，作图如下：由图可知，不等式的解集是，故②正确；∵与的图象交于点，∴当时，，∴直线一定经过定点，故③正确；如图，当时，原点到直线的距离最大∵，∴当时，，∴，∵，，∴，∴，解得；故④错误；综上，正确的结论是①②③；故选：．【点睛】本题考查了勾股定理，一次函数与不等式，一次函数的图象和性质，坐标与图形，属于常考题型，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．5．已知一次函数的图象与的图象交于点，则对于不等式，下列说法正确的是（）A．当时， B．当时，C．当且时， D．当且时，【答案】D【分析】先求出m的值，再求出和的图象的交点，最后根据k值的取值范围，分类讨论，结合图象解决问题．【详解】解：由题知，点在的图象上，则，．故交点坐标为．又得图象关于坐标原点中心对称，且和的图象也关于坐标原点中心对称．∴和的图象交点坐标为．则将点代入得．∴，（1）当时，如下图所示，如图所示，图象在直线左侧部分满足不等关系．则得出此时x的取值范围是：．（2）当，即时，如图所示图象在直线右侧部分满足不等关系．则得出此时x的取值范围是：．（3）当时．如图所示图象在直线左侧部分满足不等关系．则得出此时x的取值范围是：．综上所述x的取值范围是：当且时，．故答选：D．【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式，以及用数形结合、分类的数学思想解决问题．6．当时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（

）A．且 B． C． D．【答案】C【分析】先求得时，，当，直线（）与直线平行，且在直线下方；当直线与直线的交点在的上方时，函数（）的值都小于函数的值，据此求解即可．【详解】解：当时，，即有点，将点代入，有，解得，当，直线（）与直线平行，且在直线下方；

结合图象可知：直线与直线的交点在的上方时，并随着交点的不断上移，直至直线（）与直线平行时，满足当时，函数（）的值都小于函数的值，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．7．定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．已知一种关于x的新函数，且，则关于y的函数下面说法错误的是（）A．若，则当时，则或B．当函数图象经过时，该函数图象的最高点的坐标为C．，是函数图象上的两点，则D．当时，函数y的最大值为3，则m=3或5【答案】D【分析】根据min的定义求出两个函数，把代入再根据函数的性质求解可判断A选项；把代入，再根据函数的性质求解可判断B选项；根据的定义分类求解可判断C选项；计算各出，据此可判断D选项．【详解】解：当时，即时，，当时，即时，，∴，A．若m=1，，当时，，，即，解得；当时，，，即，解得；∴当时，则或，故选项A正确；B．当函数图象经过时，将代入，显然只有时，函数图象才能经过，∴，即，，∴，∵当时，y随x的增大而减少，∴当时，y随x的增大而增大，∴当时，即时，函数取得最大值，此时，∴该函数图象的最高点的坐标为，故选项B正确；C．∵，∴，∴当时，，，∴，∴当时，，∵，∴，故选项C正确；D．当时，即时，，此时，y随x的增大而减少，∴在内，当时，y最大，∴，解得，符合要求；当时，即时，，此时，y随x的增大而增大，∴在内，当时，y最大，∴，等式成立；综上，当时，函数y的最大值为3，或，故选项D不正确；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，新定义，关键是对新定义的理解和掌握．题型02、一次函数与几何图形的综合问题8．如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，得出，进而推出，，证明和是等边三角形，于是得出，，根据轴对称变换，分析、、、、，和坐标轴的夹角，得出，利用含度角的直角三角形的性质，得出，然后根据勾股定理得出，据此即可得出点的坐标．【详解】解：如图，标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，∴轴，轴，，，，，，∴，，和是等边三角形，∴，，∴第1步，作点关于的对称点落在轴上，第2步，作关于的对称点落在轴上，第3步，作关于的对称点，和轴的夹角，第4步，作关于的对称点，和轴的夹角，继续作关于的对称点，和轴的夹角，即，∴，，∴点的坐标为，故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称是解题的关键．9．如图，直线与轴、轴分别交于两点，点是以为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接，则面积的最小值是（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【分析】作于交于,当点与重合时，的面积最小，求出的长即可解决问题．【详解】解：直线与轴、轴分别交于两点，令，则，令，则，解得，，∴，∴，且，∴，∴，如图所示，作于交于,过点作轴于点，∵，∴，在中，，∴，∴，当点与重合时，的面积最小，最小值，故选：A．【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、勾股定理、锐角三角形函数的计算、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题．10．在平面直角坐标系中，分别在轴和轴上，，若的内心在坐标轴上，，在下面函数表达式不可能是该三角形边所在直线的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数以及三角形的内心．熟练掌握一次函数图象的画法，内心的性质，正切定义，是本题的关键．画出4个函数的图象，根据，若的内心在坐标轴上，，筛选即得．【详解】取点、画出直线，取点、画出直线，取点、画出直线，取点、画出直线，只有A、B、D选项的直线围成的三角形的内心在x轴上，且，C选项的直线不可能是．故选：C．11．已知，平面直角坐标系内两点，，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，绕点顺时针旋转，边扫过区域面积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得，求出直线表达式为，则设，则，利用扇形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：如图，根据旋转的性质，，∴，则，∵，，设直线表达式为：，则解得：，∴直线表达式为：∵点P在直线上，点Q在直线上，且轴，设，则，∴，，∴，设，∵，∴当时，有最大值，最大值为，∴的最大值为．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．12．如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先通过求解一次函数图象与坐标轴的交点，可得出的坐标，进而得出的长，由正方形的性质可得，于是可得的坐标；，以此类推，同理可得，，，，，据此即可得出答案．【详解】解：令，则，解得：，，，四边形是正方形，，，令，则，解得：，，，四边形是正方形，，的纵坐标为：，，同理可得，，，，故选：．【点睛】本题主要考查了一次函数的规律探究问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差等知识点，通过确定，的横纵坐标数值，找出其变化的规律是解题的关键．13．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，，进而求出，再由可知点D在线段的垂直平分线上，即在直线上，则，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可．【详解】解：在中，当时，，当时，，∴，，∵C在y轴的正半轴上，，∴，∵，∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上，在中，当时，，∴；设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，同理可得直线的解析式为；∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m，∴，∵P、Q关于x轴对称，∴，∵点Q总在内（不包括边界），∴，解得：，故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，正确理解题意得到点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间是解题的关键．14．机场中通常会设置水平手扶电梯（类似于水平面上的传送带），其稳定运行时速度始终不变，有一乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，找到后又立刻回头走到终点，整个过程共耗时11分钟，该乘客在手扶电梯上的步行速度始终不变．乘客到起点的距离，行李箱到起点的距离与乘客的运动时间t（分）的关系如图（部分），其中折线所在直线（）的与折线所在直线（）的满足．若该乘客直接走到终点，还需要等待______分，行李才能随着手扶电梯到达终点．（

）A． B．15 C． D．【答案】A【分析】本题考查一次函数的实际应用，分过程探讨所需要的时间是解题的关键．根据题意设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为，分别求出各个阶段所用时间，结合整个过程共耗时11分钟，得到，再计算出乘客直接走到终点，行李随着手扶电梯到达终点所用时间，作差即可．【详解】解：设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为，根据题意得：，，，，，，，乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，此时，时间过去：，行李离起点的距离为，乘客找回行李所用时间为：，此时，乘客离终点的距离为：，乘客找行李后，走到终点，所用时间为：，整个过程共耗时11分钟，，整理得：，即，若该乘客直接走到终点，则所用时间为：，将代入，得：，行李到达终点所用时间为：，将代入，得：，还需要等待，故选：A．15．甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（）与甲出发的时间t（）之间的关系如图．下列说法：①A，B两地相距；②甲比乙晚到B地；③乙从A地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查一次函数的实际应用，以及分式方程的实际应用，根据函数与图象中的信息，结合时间、路程、速度三者之间的关系和追击问题的等量关系，对上述说法一一分析，即可解题．【详解】解：由图知甲、乙两位同学最终停下来时，离A地的路程s（）最大为，①正确，由图知乙到B地时，甲到B地时，（），②正确，乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．设乙从A地刚出发时的速度为，则停留后的速度为，由图知乙在中途停留前已走，则停留后行驶路程为（），总的行驶时间为（），有，解得，乙从A地刚出发时的速度为（），③正确，根据图象可知，甲的速度为乙在途中停留后，二者第三次相遇，乙中途停留前运动时间为乙的第二个拐点时间为（），由图知第三次相遇在第二个拐点之后，即第三次相遇时间大于第二个拐点时间，设乙继续前进t小时后二者相遇，根据题意得：解得故第三次相遇为乙出发后④正确．综上所述，正确的有①②③④，共4个．故选：D．16．如图（1），点为矩形边上一点，点，点同时从点出发，点沿运动到点停止，点沿运动到点停止，它们的运动速度都是，设出发秒时，的面积为，已知与的函数关系的图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②直线的解析式为；③可能与相似；④当秒时，．其中正确的结论个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据图（）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得出、的长度，再根据的长度，可得的长度，从而可得的长度，求出的长度，然后针对各小题分析解答即可【详解】①根据图（）可得，当点到达点时点到过点，点、点的运动速度都是，，，，故①正确；②根据秒面积不变，可得，当点运动到点时，面积变为，此时点走过点路程为，故点的坐标为（，），设直线的解析式为，将点（，）、（，）分别代入得：，解得，故直线的解析式为：，故②正确；③当与相似时，点在上，由，，得，如图所示，，，，，，与不可能相似，故③错误；④时，，此时，，故④错误，综上，可知①②正确，故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数的应用，根据图（2）判断出点到过点时，点到达点是解题的关键．考点二、二次函数的综合问题题型01、二次函数的图象和性质的应用17．已知：，，，则下列说法中正确的是（

）A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值【答案】C【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求n的范围，进而可求n的最值；【详解】由题意得，，，当时，m有最小值，当时，m有最大值，，，，当时，n随着b的增大而减小，当时，n有最小值1，当时，n有最大值4，，，，，解得：，，，n有最大值3，最小值1；故选：C．18．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴另一个交点在到之间；其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系．熟练掌握抛物线对称轴，顶点坐标，与x轴交点，一元二次方程与二次函数的联系，是解决问题是关键．①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线与x轴有两个交点即得；④根据抛物线的对称性即可求解．【详解】解：①∵根据题意得：抛物线的对称轴为，即，∴，∴①错误；②当时，，∴，∵，∴，∴②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴一元二次方程有两个不相等的实数根．∴③正确④∵抛物线的顶点坐标为，即对称轴为直线，且与x轴的一个交点在点和之间，∴抛物线与x轴另一个交点在到之间．∴④正确．∴正确的有②③④，共3个．故选：C．19．我们把纵坐标和横坐标都是整数的点称为整点，函数和所围成的封闭图形（不包含边界）共有4个整点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象和性质．将抛物线解析式配方得到顶点坐标，根据顶点到直线之间整点数分类讨论，从而得到有四个和两个整点时的a值，根据讨论可以得到围成区域内整点数与a的关系，从而进行判断．【详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为：，∴顶点所在直线为：，①当时，顶点坐标为：，此时，抛物线对称轴与的交点为：，联立抛物线与直线得：，解得：或，∵，∴对称轴左侧没有整点，∵，当时，抛物线函数值为4，直线函数值为5，抛物线和直线间没有整点，∴直线与抛物线围成区域内没有整点；②当时，顶点坐标为：，此时，抛物线对称轴与的交点为：，∴对称轴上有一个整点，联立抛物线与直线：，解得：或2，如图：当时，抛物线的函数值为2，直线的函数值为4，此时，抛物线与直线围成区域内的整点有：和，共两个，③当时，顶点坐标为：，联立抛物线与直线方程：，解得：，如图：此时，围成区域内的整点有，，，，共四个整点；结合①②③的情况可知，a越小，围成的区域内整点数越多，∴要使围成的封闭图形内共有4个整点，需要．故选：B．20．已知二次函数和且，下列两个结论①或时，；②时，有（

）A．①对②错 B．①错②对 C．两个都对 D．两个都错【答案】C【分析】本题考查二次函数与不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．对于①，分别将和代入和，化简计算比较即可；对于②令根据得到，由得到，，继而可求解．【详解】解：对于①，将代入得：，将代入得：，∴将代入得：将代入得：，∴，故①正确；对于②，令，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，即，∴②正确，故选：C．21．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论：①②经过两点的直线一定不经过第三象限③若方程有两个根，且，则一定满足④若方程有四个根，且这四个根的和为其中正确的结论是（

）A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①③【答案】C【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据二次函数的性质一一判断即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标，∴，，∴，，∴抛物线的解析式为，∵抛物线开口向上，∴，故①正确，∴，，∴在正半轴，在第二象限∴经过两点的直线一定不经过第三象限，故②正确，由，当时，解得：∴抛物线交x轴于，，∴若方程有两个根，且，则，正确，故③正确，若方程有四个根，设方程的两根分别为，则，可得，设方程的两根分别为，则，可得，所以这四个根的和为，故④错误，故选：C．22．如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线与直线有且只有一个交点；②若点、点、点在该函数图象上，则；③将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为；④点关于直线的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形BCDE周长的最小值为．其中正确判断有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数图象的交点以及轴对称的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性，增减性，函数图象的交点问题与方程的根的关系，二次函数的平移规律，利用轴对称性，求线段和的最小值，是解题的关键．把二次函数的一般式转化为顶点式，即可发现函数图形与直线相切于顶点，据此判定①，根据“上加下减，左加右减”求出平移后的抛物线的解析式，可判定③，根据对称性质确定点的对称点，再根据二次函数的增减性质可判定②，求出时的抛物线的解析式，作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，四边形周长最小值为与的和，计算后判定④．【详解】解：将化为顶点式为：顶点坐标为，函数图形与直线相切于顶点，只有一个公共点，①正确；将向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到：，③正确；二次函数的对称轴是直线，故可对称到，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故，②错误；当时，函数解析式为：，故作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，则连接，则为和的最小值，四边形周长最小值为与的和，则有：当时，四边形BCDE周长的最小值为，④正确；正确的有：①③④，故选：C．23．如图，在等腰中，，，点为斜边的中点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，方向运动，到达点，时停止运动．设两点的运动时间为，的面积为，则与的关系可用图象表示为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了动点问题与函数图象及二次函数图像性质．首先连接，过点作、，得到，用含的代数式把、表示出来，根据三角形的面积公式得到，从而可以判断函数图像是抛物线，再根据运动的速度和距离求出的取值范围，从而可得函数图像．【详解】解：如下图所示，连接，过点作、，，，点为斜边的中点，，，，，同理可得：，点、运动的时间为，，，，，，由图可知，与的函数关系式是，整理得：，，运动速度为，，，当时，，与的关系用图像表示应是开口向上，对称轴为，且在范围内的一段抛物线．故选：B．24．如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、根的判别式、抛物线与x轴交点问题等知识，根据图象信息逐个判断即可．【详解】解：①由图象可得，当时，，故①错误；②由图象可得，直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故②正确；③∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线过点，与轴交点的横坐标分别为，，∴对称轴为直线，∵，，∴，∴，则，∴，故③错误；④∵抛物线过点，∴，∵当时，，即，当时，，∴，即，解得，故④正确；⑤∵抛物线与轴交点的横坐标分别为，，∴，是的两根，∴，，∴，∵，，则，∴，∴，∴，∴，故⑤正确，综上所述，正确的结论有②④⑤共3个，故选：C．25．数学课上，老师给出以下探究问题：“已知二次函数，当时，函数最大值为8，求最小值．”下列关于此题求解所需条件的说法，正确的是（）A．只需知道，便可求 B．只需知道，便可求C．，需都知道，才能求t D．即使，都知道，仍无法求【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值问题，在本题中分类讨论思想运用是解题的关键．先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值即可得到结论．【详解】解：二次函数，该抛物线的对称轴为直线，且，当，当时，二次函数有最大值为：，即，当时，二次函数有最小值为：，即，当，当时，二次函数有最大值为：，当时，二次函数有最小值为：，即，当，此时当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，即，，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，即，，当或1时．函数有最大值，当时，函数有最小值，即，的值与有关，但与无关，故选：．26．将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线有两个交点，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得抛物线的对称轴是直线，再向左平移个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线，根据直线与新抛物线有两个交点，，得出，结合抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，从而的离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远，即的中点在对称轴的左侧，进而即可求解．【详解】解：由题意，抛物线的对称轴是直线，向左平移个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线，直线与新抛物线有两个交点，，，，，，又∵，则抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，的离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远，的中点在对称轴的左侧，，，又∵，．故选：D．27．已知抛物线开口向下，过，两点，且．甲同学认为：若点，在抛物线上，，且，则．乙同学认为：当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，以下对两位同学的看法判断正确的是（

）A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数解析式，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意得，，，由点，在抛物线上，可得，根据，可判断甲的正误；令，整理得，，根据，可判断乙的正误．

【详解】解：∵抛物线开口向下，过，两点，∴，，∵点，在抛物线上，∴，∴，∵，，，，∴，∴，甲正确，故符合要求；令，整理得，，∴，∵，，∴，，∴，∴关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，乙正确，故符合要求；故选：A．

28．如图，函数经过点，对称轴为直线：；；；；若点、在抛物线上，则；（为任意实数），其中结论正确的有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图象与轴有两个交点，即可判断；根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，即可判断；根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，推出，再代入，即可判断；根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断；对称轴为，，运用二次函数增减性即可判断．【详解】解：抛物线与轴有两个交点，，，正确；抛物线开口向上，，抛物线对称轴在轴右侧，与异号，即，抛物线与轴交点在轴下方，，，错误；抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为，抛物线与轴的另一个交点为，当时，，，错误；抛物线与轴的一个交点为，，抛物线对称轴为直线，，，，，正确；，，抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，，错误；抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，，有最小值，为任意实数，为任意实数，正确；综上所述，正确；故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．29．已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．有下列结论：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则；④若m为任意实数，则．其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，依据题意，由抛物线经过，对称轴为直线，得出，再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与轴交点坐标，从而判断③，由时取最大值可判断④．【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，∴，解得：，，∵，∴，，故①错误；，抛物线开口向下．又点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小，，故②错误；∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线∴另一个交点坐标为，方程可以看成与的交点，函数大致图象如下：∴由图可得，故③正确；∵对称轴为直线，抛物线开口向下．∴抛物线最大值为，若为任意实数，则，，故④正确．综上，正确的有③④．故选：B．30．定义：若x，y满足且，，且（t为常数），则称点为“和谐点”，若有一个函数满足，其上存在“和谐点”，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了新定义，函数图象上点的坐标特征和二次函数的增减性，根据题意得出，①②得，由，得出，整理得，由且，得出．【详解】解：∵双曲线存在“和谐点”，∴，①②得，，，，整理得，，且，，故选：D．31．二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由当时，，故图象过，又过，可得抛物线的对称轴是直线，再向左平移个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线．，又直线与新抛物线有两个交点，，可得，结合抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，从而的离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远，即的中点在对称轴的左侧，进而可得，最后计算即可得解．【详解】解：由题意，当时，，二次函数的图象过，又∵二次函数的图象过，抛物线的对称轴是直线，向左平移个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线，直线与新抛物线有两个交点，，，，，，又∵抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，的离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远，的中点在对称轴的左侧，，，又∵，．故选：D．32．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可．【详解】二次函数的大致图象如下：①当时,当时，取最小值，即，解得：（正数舍去），当时，取最大值，即，解得：或(均不合题意，舍去)；②当时,当时，取最小值，即，解得：（正数舍去），当时，取最大值，即,解得：或时，取最小值，时取最大值，，，，∴此种情形不合题意，所以，故选：D．33．关于二次函数，有下列四个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若时，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或；④若，则一元二次方程一定有两个实数根．以上结论，正确的有（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①③④【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴利用中点坐标公式即可判定①；分和两种情况，根据二次函数的图象与性质，确定出当时，函数值的取值范围，由题意即可求得a的取值范围，从而判定②；当时，，则；由，则当时，即对称轴右边到对称轴的距离为3时自变量值，此时得对应函数值；分和两种情况，分别得到和，解两个不等式组即可判定③；对于方程，有；当，且时，，原方程一定有两个不相等实数根；，但，则不一定成立；故可判定④；从而可确定最后答案．【详解】解：二次函数的对称轴为直线，，故①正确；当时，；当时，；当时，；若，则，对应y的整数值有4个分别是，，；若，则，对应y的整数值有4个分别是，，；综上，时，对应的y的整数值有4个，则或；故②错误；当时，，则，若，抛物线与x轴交于A、B两点，，当时，，，解得：，若，抛物线与x轴交于A、B两点，，∴当时，，，解得：；若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或，故③正确；对于一元二次方程，有，若，且，则成立，原方程一定有两个不相等实数根；若，但，则不一定成立；故④错误．综上，正确的有①③，故选：B．【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，解不等式组等知识；掌握二次函数的相关知识是解题的关键．34．已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（

）①若时，则y随x的增大而减小；②若图象经过点，则；③若，是函数图象上的两点，则；④若图象上两点，对一切正数n，总有，则．A．①② B．①③ C．①④ D．③④【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：二次函数为非零常数，，当时，，，．又当时，随的增大而增大，，开口向下．当时，随的增大而减小，故①正确；又对称轴为直线，，．若，是函数图象上的两点，2023离对称轴近些，又抛物线开口向下，则，故③正确；若图象上两点，对一切正数，总有，，又该函数与轴的两个交点为，，．解得，故④错误；二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，．若图象经过点，则，得．，，，故②错误；①③正确；②④错误，故选：B．35．已知函数，若则下列说法正确的是（

）A．当时，有最小值 B．当时，无最大值C．当时，有最小值 D．当时，有最大值【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可．【详解】解：画出函数图象如图：

由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，，当时，即：，∴，∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值，当时，，当时，，当时，，时，，当，时，的值最大，为，综上：当时，有最大值，无最小值，故选项A，B错误；当时，，当时，即：，∴当越小时，的值越大，即没有最大值，当时，，当时，；当时，，当时，和的函数值相同时，的值最小，综上：当，有最小值，无最大值；故选项C正确，D错误．故选C．36．已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（

）A．若恒成立，则 B．若恒成立，则C．若恒成立，则 D．若恒成立，则【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．先判断出抛物线开口方向下，求出对称轴范围即可求解．【详解】解：由题意得：，解得：，，即，解得：，，，，，，，抛物线的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，点和也在此抛物线上，若恒成立，则；若恒成立，则；故选：A．37．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，都是“方形点”．下列结论：①直线上存在“方形点”；②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是；③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是：其中，正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】把代入求解，得到“方形点”坐标，即可判定①；把代入抛物线求解，得到“方形点”坐标，再根据两点间距离公式求出“方形点”间的距离即可判定②；先根据二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，求出a、c值，从而得出二次函数解析式，然后根据二次函数的最值求出m的取值范围，即可判定③．【详解】解：①把代入，得解得：，∴直线上存在“方形点”故①正确；②把代入抛物线，得解得：，，∴抛物线上的2个“方形点”为和，∴这2个“方形点”之间的距离是，故②正确；③把代入抛物线，得，整理，得，∵二次函数的图象上有且只有一个“方形点”∴，解得：，∴抛物线，∵当时，二次函数的最小值为，最大值为，∴，解得：，故③错误，∴正确的有①②，共2个，故选：B．【点睛】本题考查新定义，一次函数图象性质，二次函数图象性质，二次函数最值，一元二次方程根的判别式．理解新定义和掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．题型02、二次函数与几何图形的综合38．已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为联立解得：或∴，由，则，对称轴为直线，设，则点在上，∵且，∴点在点的左侧，即，，当时，对于，当，，此时，∴，∴∵对称轴为直线，则，∴的取值范围是，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．39．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出、两点的坐标，并表示出三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值．【详解】解：如图：设点，则：直线的表达式为：直线的表达式为：直线的表达式为：，过点分别作轴垂线，交轴于点则：∽则直线的表达式为：直线必过点当与轴平行时，边上的高有最大值，为故选B【点睛】本题考查了最值问题，主要知识点有：求一次函数表达式、相似三角形，表示出直线的表达式是解题关键．40．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】先将转化为，再过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，利用相似三角形的性质将转化为，再借助点P坐标表示出即可解决问题．【详解】解：由题知，，如图，过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，∵轴，∴，∴．令，则有，解得，∴，∴．将代入，得：，∴点C的坐标为．令直线的函数解析式为，则，解得，∴直线的函数解析式为．∵，令点P坐标为，则，∴∴，则，∴，则当时，有最大值为：，即的最大值为．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、抛物线与x轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．41．如图，在矩形中，，，点在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作于点，与交于点，证明，设，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值．【详解】解：过点作于点，与交于点，如图所示：，，，，，，，设，则，∵，，，，，，，即抛物线开口向上，当时，的最小值为，长的最小值为，故选：D【点睛】本题主要考查动点最值问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．42．如图中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，则的最大值为；②若，，则的长为；③若，与相交于，则点不一定是的重心；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（）A．①③ B．①②④ C．③④ D．①③④【答案】C【分析】①当，时，取得最大值，根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；②如图，若，，根据相似三角形的性质求得，进而求得，即可求解；③有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；④如图，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求出最终结果．【详解】解：①依题意，如果不互相垂直，如下各图，过点作直线于一点E，即或或，则，当，时，且（大角对大边）即，此时，∴最大，∵，此时有最大值，∵，∴取得最大值，∵，直线，且，四边形是矩形，∴，，，，故①错误．②如图，过点O作，过点D作，过点D作直线，∵，，，，∵∴，∵，∴，∴，∵是的中点，∴∴，∵，∴，∴∵∴∴∴∵，∴四边形是矩形，，，．故②错误．③有3种情况，如图1，和都是中线，点是的重心；如图2，四边形是平行四边形，是中点，点是的重心；如图3，点不是中点，所以点不是的重心；故③正确．④如图，，，∵，即，在中，，，，∵，∴时，最大为5，故④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形重心的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，解直角三角形的相关运算，相似三角形的性质，二次函数的性质，采用分类讨论和数形结合的方法是解题的关键．43．如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．．过点作于点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值．【详解】解：如图，过点N作，∵正方形，正方形，正方形，∴，，，∴，∴，，同理可得：，，，∴，设则，当时，有最小值为．故选：B．44．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，、、，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，点从运动到时，点随之运动．设点的坐标为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长交轴于点，则轴．连接．证明，得出，设，则，设，代入整理得到，，根据二次函数的性质以及，，求出的最小值．【详解】解：如图，延长交轴于点，则轴．连接．在与中，，，，，设，则，设，，，，，时，有最大值，此时，时，有最小值0，此时，的取值范围是．的最小值是．故选：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出与之间的函数解析式是解题的关键．45．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可．【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，四边形是正方形，、互相平分，，，，，．，，．，．点、的横坐标分别为、，，．，，，设，则，，，，，．又，，，．．．．点、在轴的同侧，且点在点的右侧，．．故选：B．46．如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，代入二次函数解析式得，又由抛物线经过原点得，即可得到，再代入计算即可求解，证明得到，是解题的关键．【详解】解：作轴，于，于，，∵四边形为正方形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，设，∵点的坐标分别是，，∴，解得，∴，∵点在抛物线的图象上，∴，∴，∵抛物线经过原点，∴，∴，∴，∴，故选：．47．如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（

）A．函数图象的横轴表示的长B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点C．两段抛物线的形状不同D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为【答案】D【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像．理解拐点在图形中表示的意义是解题的关键．第二个图形中点再结合第一个图形，可得此时点P移动到点C，H在的中点，那么的面积为．所以横轴表示的长，故A错误；当P为的中点时，作于点D，可得，根据平行线分线段成比例定理可得，那么，H为的四等分点，那么B错误；根据P在和上，分别计算出的面积，得到相应函数解析式，看二次项的比例系数的绝对值是否相等，若相等，则形状相同；把代入点P在上的函数解析式中可求得面积的值，判断出D是否正确．【详解】解：∵在两段函数中，∴点P点C重合．∵等边的边长为1，，∴．∴，∴．∵符合所给点．∴横轴表示的长，故A错误；如图：作于点D．又∵是等边三角形，∴．∵，∴．∵P为中点，∴．∴．∴．∴点H为的四等分点，故B错误；当P在上时，为x，则，∴．当P在上时，为x，则，∴，∴．∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等，∴形状相同，故C错误；当时，点P在上，∴，故D正确．故选D．48．某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，当时，则正方形的面积为（

）A．3 B． C．4 D．5【答案】A【分析】由题意可得：，，当点在上运动时，由图可得，当点与点重合时，，求出，即，当在上时，由图可得抛物线过点，顶点为，求出抛物线解析式为，从两个函数表达式看，两个函数相同，都为1，则从图象上看关于对称，关于对称，，，结合，求出的值即可得出答案．【详解】解：由题意可得：，，当点在上运动时，，由图可得，当点与点重合时，，，或（不符合题意，舍去），，当在上时，由图可得抛物线过点，顶点为，则抛物线的表达式为，将代入得：，，抛物线的表达式为：，从两个函数表达式看，两个函数相同，都为1，若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看关于对称，关于对称，，，，由①③③解得，，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到动点问题、面积的计算，读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键．49．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E，F分别是边，上的点（不与A，D，C重合），其中，过点E，F分别作的平行线交，于G，H两点，顺次连接E，F，H，G四点．甲，乙，丙三位同学给出了三个结论：甲：随着长度的变化，可能存在；乙：随着长度的变化，四边形的面积存在最大值，不存在最小值；丙：当四边形的面积是菱形的面积的一半时，四边形一定是正方形．下列说法正确的是（

）

A．甲，乙，丙都对 B．甲，丙对，乙不对C．甲，乙对，丙不对 D．甲不对，乙，丙对【答案】C【分析】证明四边形为矩形，得出，当时，，根据，得出，得出当为中点时，为中点，此时，根据四边形为矩形，，得出，判断甲正确；设，，则，，，，则，，得出，，，，证明，得出，即，得出，求出，根据，得出有最大值，根据E、F不与A，D，C重合，得出四边形无最小值，判断乙正确；根据当、分别为、中点时，、H分别为、中点，得出，，求出，但，，此时矩形不是正方形，判断丙错误．【详解】解：∵四边形为菱形，如图，

∴平分，，，平分，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，同理可得：，∵，∴，∵，平分，∴，，∴，∵，平分，∴，∴，∴，∵，，∴，∴四边形为平行四边形，∵，，∴，∴四边形为矩形，∵，∴当时，，∵，

∴，∴当为中点时，为中点，∴此时，∵四边形为矩形，∴，∴，故甲正确；∵，，∴设，，则，，设，，则，，∵，，∴四边形为平行四边形，

∴，，则，，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴有最大值，∵E、F不与A，D，C重合，∴四边形无最小值，故乙正确；当、分别为、中点时，、H分别为、中点，∴，，∴，但，∴，∴此时矩形不是正方形，故丙错误；综上分析可知，甲，乙对，丙不对，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形性质和判断，菱形性质，中位线性质，三角形相似的性质，二次函数应用，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定和性质，证明四边形为矩形．考点三、反比例函数的综合问题题型01、反比例函数图象和性质的应用50．在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把称为点P的“和差点”．若直线上有两点A、B，它们的和差点、均在反比例函数上，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，，由和均在反比例函数上，可得，，从而求出点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，即可求出结果．【详解】解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，，∵和均在反比例函数上，∴，，解得：、，、，当时，；当时，，∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，设一次函数与x的轴相交于点C，当时，，即，∴点C的坐标为：，∴，如图所示：，故选A．

【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数是解题的关键．51．如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（

）

A． B． C． D．1【答案】A【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案．【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：

根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形，，直线与轴交于点，当时，，即，与双曲线分别相交于点，联立，即，则，由，解得，，即，解得，故选：A．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．52．已知函数（k为常数且），函数的图象和函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）①函数的图象上的点的横坐标不可能等于2．②若当时，x的取值范围为或．A．①②都正确 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①②都错误【答案】B【分析】先根据反比例函数的性质、轴对称的性质、函数图象的平移画出图形并得到；①根据解析式即可判断①；②根据反比例函数的增减性结合函数图象即可解答．【详解】解：如图：由函数，根据函数的图象和函数的图象关于直线对称可知∵，即，∴函数的图象上的点的横坐标不可能等于2说法正确，即①正确；当时，当时，则，可得：∵，，∴，当时，则，可得：∵，，∴，综上，当时，x的取值范围为且，即②错误．

故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、函数图象的平移等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．53．如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（

）A．点A的横坐标有可能大于3B．矩形1是正方形时，点A位于区域②C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等【答案】D【分析】由图形可知：当时，，从而可判断A；根据点A是直线与双曲线的交点可判断B；求出可判断C；由点A位于区域①可得，由形2落在区域④中可得，从而可判断D．【详解】设点（x，y均为正数），A、设反比例函数解析式为：，由图形可知：当时，，∴，∵，∴，∴，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；B、当矩形1为正方形时，边长为x，，则点A是直线与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，故选项B不正确；C、当一边为x，则另一边为，∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，∴矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；D、当点A位于区域①时，∵点，∴，即另一边为：，矩形2落在区域④中，，即另一边，∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；如矩形的两条邻边长分别为0.9，2.9时，两个矩形都符合题意且全等，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象和新定义，理解x和y的意义是关键，并注意用数形结合的思想解决问题．54．图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧，且，连接．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【分析】根据题意可知，结合，可知四边形ABCD是平行四边形，设B点坐标为，则C点坐标为，即可求出BC=，利用勾股定理可得，①利用菱形的性质即可判断；②根据正方形的性质，可知AB⊥AD，即有a=5，求出B点坐标，即可判断；③随便取两个点举反例即可判断；④过点C作CE⊥x轴于E点，过B点作BF⊥x轴于F点，将四边形ABCD的面积转化为四边形BCEF的面积，即可判断．【详解】：∵BC⊥y轴，∴，∵，∴四边形ABCD是平行四边形，设点B点坐标为，则C点坐标为，结合A点坐标为(5,0)，∴BC=，，①当a=5时，BC=，AB=，此时AB＜BC，当a=1时，BC=，AB=，此时AB＞BC，随着a值的变化，显然存在AB=BC的情况，则平行四边形ABCD可能是菱形，故①正确；②若平行四边形ABCD是正方形，则AB⊥AD，此时A、B的横坐标相等，∴a=5，此时BC=，AB=，AB≠BC，故平行四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD的周长为：2(AB+BC)，当a=5时，BC=，AB=，周长为：2(AB+BC)=，当a=1时，BC=，AB=，周长为2(AB+BC)=，显然此时上述二者的周长不相等，故③错误；④过点C作CE⊥x轴于E点，过B点作BF⊥x轴于F点，如图，则有四边形ABCD的面积转化为四边形BCEF的面积，∴，∵，，∴，故面积为定值，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上的坐标特征．55．已知函数y＝的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；③无论点P在什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP；④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为（2，﹣）.其中正确的结论个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据反比例函数的性质判断①；证得AB＝AO即可判断②；求得△AOB的面积即可判断③；通过证得△OPB∽△APO，求得A的坐标即可判断④．【详解】解：①错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，∴y1＞y2，故①错误．②正确．∵P(0，﹣3)，∴B(﹣1，﹣3)，A(4，﹣3)，∴AB＝5，OA＝，∴AB＝AO，∴△AOB是等腰三角形，故②正确．③正确．设P(0，m)，则B(，m)，A(﹣，m)，∴PB＝﹣，PA＝﹣，∴PA＝4PB，∵SAOB＝S△OPB+S△OPA＝，故③正确．④正确．P(0，m)，则B(，m)，A(﹣，m)，∴PB＝﹣，PA＝﹣，OP＝﹣m，∵∠AOB＝90°，∠OPB＝∠OPA＝90°，∴∠BOP+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAP＝90°，∴∠BOP＝∠OAP，∴△OPB∽△APO，∴，∴OP2＝PB•PA，∴m2＝﹣•（﹣），∴m4＝36，∵m＜0，∴m＝﹣，∴A(2，﹣)，故④正确．∴②③④正确，故选：B．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．题型02、反比例函数与几何图形的综合56．如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点在直线上，点横坐标为，两条直角边分别平行于轴、轴，若双曲线与有交点，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求出两点坐标，再分别经过两点时的值即可得出取值范围，求出两点坐标是解题的关键．【详解】解：∵点在直线上，点的横坐标为，∴把代入得，，∴的坐标是，∵，∴点的坐标是，点的坐标是，∴的中点坐标为，当双曲线经过点时，；当双曲线经过点时，；∴，故选：．57．如图，直线与双曲线交于点A，B，与y轴交于点C，与x轴交于点D，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为点F，E，连接，若，则k的值为（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】根据点A，B在双曲线上，设，，利用待定系数法求出直线AB解析式为，当时，，则，计算得，，，根据三角形的面积公式得，则，进行计算即可得．【详解】解：∵点A，B在双曲线上，∴设，，设直线AB解析式为，将，代入，得，解得，，∴直线的解析式为，当时，，∴，∴，∴，，∴即

∴∴k=6，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数与一次函数的相关知识，并正确计算．58．如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，过点作轴，过点作轴，设，，证明，并得到，，根据反比例函数的性质得，即，继而得到是等腰直角三角形，已知的面积为，可得，又因为在反比例函数的图象上，可得，即可求出，，再求出直线的表达式，利用方程组确定点的坐标，求出和，即可得出的面积．【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，设，，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴，∵在和中，，∴，∴，，∵在和中，，∴，∴，，∴，，又∵，在反比例函数的图象上，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，，∵，∴，∵在反比例函数的图象上，即，∴，，∴，，反比例函数的表达式为，设：直线的表达式为，∴，解得：，∴直线的表达式为，∵，解得：或，∴，∵，，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数的解析式等，利用设出的，表示出相关点的坐标是解答本题的关键．59．如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，根据题意可得，利用三角形的面积建立关于x的方程，求出点P坐标即可得到k值．【详解】解：设，则，∵点M在x轴上，且，∴，∴，∴，∴，解得（舍去）∴．∵P点在反比例函数图象上，∴．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握图象的对称性，勾股定理是解题的关键．60．如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，在等腰三角形ABC中，，是中点，设，，由中点为，，故等腰三角形中，∴，∴，∵AC的中点为M，∴，即，由在反比例函数上得，∴，解得：，由题可知，，∴．故选：B．61．如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论：阴影部分的面积是；当时，；若是菱形，则；以上结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的性质和菱形的性质，作轴于，轴于，由得，进而得，再由，，即可判断；当，四边形是矩形，不能确定与相等，故不能判断，即不能判断，由此不能确定，即可判断；若四边形是菱形，可证，得到，即得，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：作轴于，轴于，如图，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴∵，，∴，故正确；∵，，∴，故正确；当，四边形是矩形，∴不能确定与相等，而，∴不能判断，∴不能判断，∴不能确定，故错误；若四边形是菱形，则，而，∴，∴，∴，又由图象可得，，，∴，∴，故正确；∴结论正确的是，故选：．62．如图，菱形的对角线交于点E，边交y轴正半轴于点F，顶点A，D分别在x轴的正、负半轴上，反比例函数的图象经过C，E两点，过点E作于点G，若，则k的值是（

）．A． B．12 C． D．15【答案】C【分析】过点C作于点H，可得，进而可得：，，结合和菱形性质，可推出：，，设则再结合，即可求出，运用勾股定理建立方程求解即可得出答案．【详解】解：如图，过点C作于点H，∵即∴∴，∴∵∴，∴，∴设则∴∵四边形是菱形，∴，即，∵∴∴，∴∵∴∴，即，∴，∴，即点C的横坐标为2，∵反比例函数的图象经过两点，∴，∴∴∴，∴∴∴，∴∴，∴，在中，，∴，解得：，∵反比例函数的图象在第一象限，∴，∴，故选：C【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．63．如图，的顶点在第一象限内，边在轴正半轴上，点为原点，反比例函数交于点，交于点，且点为中点，，若的面积为14，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】题目主要考查分比例函数与三角形面积综合问题，根据题意，过点E作于点F，确定，设，设，利用三角形面积及相似三角形的判定和性质求解即可，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键【详解】解：由题意得：，，，，过点E作于点F，过点A作轴，过点B作轴，如图所示：∴，∴，∴，∴，设，∴，设，∴，且，又，∴，∵，∴，∴，，∵，整理得：，代入得：，故选：C64．如图，点A是函数的图象上的点，点、的坐标分别为、，试利用性质：“函数的图象上任意一点A都满足”求解下面问题：作的内角平分线，过C作的垂线交于点，已知当点A在函数的图象上运动时，点总在一个圆上运动，则这圆的半径为（

）

A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】作，垂足为M，交于点D．先证明，得到根据条件提供的性质得到的长为定值4，过点M作交于点N，证明四边形为平行四边形，得到，结合根据圆周角定理得到点F在以线段为直径的圆上，即可得到点运动所在圆的半径为2．【详解】解：如图，作，垂足为M，交于点D．∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，即的长为定值4．过点M作交于点N，∵，，∴，∴四边形为平行四边形，∴．∵，∴点F在以线段为直径的圆上，∵，∴点运动所在圆的半径为2．

故选：C【点睛】本题为新定义问题，考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆周角定理等知识，熟知相关知识，根据新定义添加辅助线，构造全等三角形和平行四边形是解题关键．65．如图，反比例函数的图像与矩形的边、分别相交于点D、E，连接、，直线与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是（

）①②③④）若，，则．A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】本