2025年中考数学总复习《圆中相似三角形综合》专项检测卷及答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《圆中相似三角形综合》专项检测卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，．(1)求证：是的切线；(2)若，求．2．已知内接于是的直径，为圆上一点，是的切线，连结，与交于点．(1)如图1，延长与交于点．①若，求的大小．②若，求的半径．(2)如图2，，延长与交于点，若，求与的面积比．3．如图，内接于，是的直径，交于点，的切线交的延长线于点，，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长．4．如图，已知是的外接圆，是直径，的切线与弦的延长线交于点为上一点，连接交于点．(1)求证：；(2)过点作于点，若，求的长．5．如图，为的直径，过点作的切线是半圆上一点（不与点、重合），连接，过点作于点，连接并延长交于点．(1)求证：；(2)若的半径为，求的长．6．如图，是的内接三角形，是的直径，且与相交于点，，．(1)判断直线与的位罝关系，并说明理由；(2)若，求的面积．7．如图，四边形内接于⊙，，、的延长线相交于点，且，点是上一点，连接，．(1)求证：是⊙的切线；(2)若，，求线段的长．8．如图，内接于，作于，与交于点，点在的延长线上，使得．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径长．9．如图，在中，，点为斜边上一点，连接，以为直径作，分别交，于，两点，连接交于点，交于点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径及的长．10．如图，经过的顶点、，分别与、相交于点、，连接、交于点，且平分．(1)求证：；(2)若，，当时，求的值．11．为的内接等腰三角形，．连接并延长，交于点，交于点，过点作，垂足为点（点不与点重合）．(1)如图1，如果，求的大小；(2)如图2，连接，如果，，求关于的函数解析式（不用写自变量的取值范围）；(3)如果点是线段的黄金分割点，求的值．12．如图，是的直径，点是上的一点，，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．13．如图，是的直径，是弦，平分交于点，过点作，交的延长线于点，连接交于点．(1)求证：是的切线．(2)若，求的值．14．如图，为的直径，点C在圆外，，，点D在的延长线上，连接、，分别交于点E、F．若，．(1)求证：为的切线；(2)连接并延长，交于点M，求的长．15．如图，在中，直径长为，弦的长为8，点是上一点，过点作的垂线交直线于点．(1)求的正切值．(2)当与相似时，求的长．(3)以点为圆心，长为半径画，试根据线段的长度情况探究和的位置关系．参考答案1．(1)证明见解析；(2)．【分析】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）连接，证明，得到，即可得出结论；（2）设与的另一交点为，连接交于点，连接，证明，得到，进一步得到，设，则，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理得到，解得，再求出，证明，得到，设，则，则，求得，即可求解．【详解】（1）证明：连接，如图：∵与边相切于点D，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴是的切线；（2）解：设与的另一交点为，连接交于点，连接，如图：∵，∴，在和，，∴，∴，∴，∵，，∴，在中，，设，则，∴，∵，∴，设，则，在中，，即，解得：（负值已舍去），∴，∵是的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∵，即，∴，∴，设，则，∴，解得：，∴，在中，．2．(1)①；②(2)【分析】（1）①连接，求解，证明，再结合三角形的内角和定理求解即可；②设，再结合勾股定理求解即可；（2）如图，连接，过作交的延长线于，交于，证明四边形为矩形，可得，，证明，可得，设，则，证明，可得，求解：，，再进一步求解即可．【详解】（1）解：①如图，连接，∵，∴，∵是的切线，∴，∴；②设，∵，，∴，解得：；（2）解：如图，连接，过作交的延长线于，交于，∵是的切线，∴，，∵，，∴，∴四边形为矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∴，，∵为的直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得：或；∵，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴与的面积比为．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．3．(1)见解析(2)．【分析】（1）根据是的切线，得到，再根据，得到，根据是的直径，得到，得到是的垂直平分线，即可解答；（2）证明，根据三角形相似的性质可求出的长，再利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后证明，根据三角形相似的性质，即可解答．【详解】（1）证明：∵是的切线，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∴是的垂直平分线，∴；（2）解：∵，，，，∵是的直径，∴∴∵，∴，∴，∴，∴，∵是的切线，是的直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定及性质，综合性强，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．4．(1)见解析(2)【分析】（1）直径所对的圆周角是直角得到，则，由切线的性质推出，则，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到，，即可得证；（2）根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：是的直径，，，．是的切线，，，．，，．，，．（2）解：如图，过点作于点．，．在Rt中，．．同理可得，．，．，．，，，，．【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．5．(1)见解析；(2)【分析】根据切线的定义可知，根据垂直定义可知，根据同位角相等两直线平行可证，根据平行线的性质可证，根据圆周角定理可证，从而可证结论成立；首先利用勾股定理求出，根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可求得，根据垂径定理可知，从而可知．【详解】（1）证明：切于点，，，，，，，；（2）解：如下图所示，连接，为的直径，，，，在中，，，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找到边之间的关系．6．(1)直线与相切，理由见解析(2)【分析】（1）连接，证明，即可得到结论；（2）连接并延长交于点，证明，得到，由得到，得到，则于点，求出，得到，即可求出答案．【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：连接，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵是的半径，∴直线与相切（2）连接并延长交于点，∵，，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴于点，∵，∴，解得∴

∴，∴【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理等知识，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．(1)见解析(2)4【分析】（1）连接、，证明为的中垂线，推出，．求出，即，即可证结论；（2）由（1）知，推出．根据是的切线，证明四边形是矩形，在中，求出．再证明，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：如图①，连接、，四边形为圆内接四边形，，，即．，为的中垂线，，．，，，，，即．是的半径，是的切线；（2）解：如图②，延长交于点，由（1）知，．，，即．是的切线，．，，四边形是矩形，，，，．是的半径，，，即，在中，．在中，，．，，．，，，，，．【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，涉及了切线的判定定理及圆中同弧所对的圆周角相等这一性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，相似三角形的判定与性质，灵活的利用圆的性质是解题的关键．8．(1)见详解(2)【分析】（1）根据圆周角定理得，结合三角形内角和性质得，因为，得，进行作答即可．（2）先整理得，再根据垂径定理以及圆周角定理得，则，证明，得，代入数值得，，最后在中，．【详解】（1）解：连接，如图所示：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵是半径，∴是的切线；（2）解：∵，，，∴在中，，连接，取的中点，连接交于一点，如图所示：∵点是的中点，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，则，∵则∴在中，．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．9．(1)见解析(2)的半径，【分析】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质及判断，直角三角形的性质，勾股定理，三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，在解决切线问题时，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）先证明，即可证出，由，，可证，继而证得即可得证．（2）连接、，过点作于点，易证，利用直角三角形的边角关系，和三角形的面积公式，可求出，在中，利用勾股定理求出，继而在可用求出直径，即可求半径；在中，利用，可求出从而可知，通过的面积可求出，由勾股定理可求出，通过证，即可求出长．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，，∴，∴，∴∵是的直径，∴是的切线．（2）解：连接、，如图∵，∴，，∵为直径，，∴，∴，∴，∴即，∴，∴，∴，∴．即的半径为．过点作于点，如图∴，∵∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，解得．10．(1)见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；（1）根据圆内接四边形的性质得到，则可证明，然后证明，从而得到结论；（2）先证明，则可判断，利用相似三角形的性质可计算，，进而证明，然后利用相似比，即可求解．【详解】（1）（1）证明：，，，平分，，，，；（2）由（1）得，，，，，又，，，，即，∴，；，，，．11．(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了圆内接三角形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，黄金分割点，锐角三角函数比等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．（1）连接并延长，交于点，先利用直角三角形的性质求出，然后利用垂径定理和等腰三角形的性质求出，，最后利用角的和差即可求出结果；（2）连接并延长，交于点，利用三角函数比和垂径定理得出，根据条件证出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果；（3）连接并延长，交于点，连接，根据条件得出是的中位线，得出，根据点是线段的黄金分割点，得到或，分两种情况进行求解即可．【详解】（1）解：如图，连接并延长，交于点，在圆中，∵过圆心，∴，，∴，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，

∴；（2）解：如图，连接并延长，交于点，在中，，，∵，∴，

∵，，∴，又∵，∴，∴，

∵，∴；（3）解：如图，连接并延长，交于点，连接，∵为直径，∴，又∵，∴是的中位线，∴，，∴，∵点是线段的黄金分割点，∴或，①当时，∵，∴，∵，∴在中，，∴；②当时，同理可得，∴，

综上所述，．12．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质得到，结合已知推出，再根据四边形内角和求出，从而证明是的切线．（2）连接，，先通过直径所对的圆周角等于90度以及正切的定义得出，，再证明，进而可得出垂直平分，由垂直平分线的性质得出，再证明，由相似三角形的性质求解即可求出的长度．【详解】（1）证明：连接∵，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴∵是的半径，∴是的切线；（2）解：连接，，∵是的直径∴，∵，，∴，∴，∴．∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴垂直平分，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查圆的切线判定、解直角三角形及相似三角形的应用，解题关键是利用相关性质定理，通过角度推导证明切线，借助边的关系和比例式求解线段长度．13．(1)见解析(2)【分析】本题考查了切线判定，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点的应用，主要考查推理和计算能力．（1）连接，推出，推出，根据切线判定推出即可；（2）延长，交的延长线于点．证明，再证明可得结论．【详解】（1）证明：如图，连接．．平分．，．是的半径，是的切线．（2）解：如图，延长，交的延长线于点．，．设，则．，．．14．(1)见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，圆周角，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．（1）证明，求得，利用勾股定理的逆定理，得到，即可证明结论；（2）利用三角形内角和定理，得到，利用直径得出，进而推出，则M为的中点，即可求解．【详解】（1）证明：在与中，∵，，∴．∴．∵，，∴．∴．∵在中