预测与决策教程（第2版）课件：时间序列模型的参数估计与检验

主要内容：

随机型时间序列预测概述随机型时间序列基本模型

ARMA模型的相关分析模型的识别ARMA序列的参数估计模型的检验与预报第四章随机型时间序列分析方法4.4

ARMA模型的参数估计知识点1

随机性时间序列分析方法概述知识点2

时间序列的基本模型知识点3AR模型的相关分析知识点4

MA模型的相关分析知识点5

ARMA模型的相关分析知识点6

时间序列模型的识别知识点7时间序列模型的参数估计知识点8

时间序列模型的检验

AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的参数估计方法比较多，大体上分为3类：

（1）矩估计（2）最小二乘估计（3）极大似然估计我们只介绍矩估计方法。

知识点7

时间序列模型的参数估计

在AR(p)模型的识别中，曾得到利用，得到方程组：

称为YuleWalker方程组。该方程组建立了AR(p)模型的模型参数与自相关函数的关系。一、AR(p)模型的YuleWalker方程估计利用实际时间序列提供的信息，首先求得自相关函数的估计值然后利用YuleWalker方程组，求解模型参数的估计值由于

于是

从而可得

的估计值二、MA(q)模型的矩估计

将MA(q)模型的自协方差函数中的各个量用估计量代替，得到：

首先求得自协方差函数的估计值，(*)是一个包含(q+1)个待估参数的非线性方程组，可以用直接法或迭代法求解。(*)三、ARMA(p,q)模型的矩估计

在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)个待估参数与以及

，其估计量计算步骤及公式如下：

是总体自相关函数的估计值，可用样本自相关函数代替。第一步，估计

第二步，改写模型，求以及

的估计值将模型改写为：

令于是(*)可以写成：(*)

构成一个MA模型。按照估计MA模型参数的方法，可以得到以及的估计值。

需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中，ARMA(p,q)模型中均未包含常数项。

如果包含常数项，该常数项并不影响模型的原有性质，因为通过适当的变形，可将包含常数项的模型转换为不含常数项的模型。方程两边同减，则可得到其中以ARMA(p,q)模型为例。对含有常数项的模型小结：时间序列模型的参数估计时间序列模型有多种参数估计方法，可以利用相关的软件求得。最简单的为矩估计方法，即在ARMA模型的相关性分析所得到的模型自相关函数序列表达式中，将自相关函数以样本序列自相关函数替代，反求模型参数即可。

ARMA(p,q)模型的建立是一个反复适应的过程，从模型识别和参数估计开始，在进行了参数估计以后，通过假设检验来检查模型的适应性。一般地，与回归分析类似，关于模型的诊断检验有两类问题。一类是模型的显著性检验，另外一类是参数的显著性检验。1.模型的显著性检验

ARMA模型的显著性检验，主要就是检验残差是否为白噪声序列。

若建立的模型恰当地描绘了已给数据数据序列的ARMA模型，那么模型拟合的残差应是白噪声序列。4.6（知识点8）

时间序列模型的检验检验对象：

残差序列，记为方法：散点图法；估计相关系数法；检验法判定原则：目的：

检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）

一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列；反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效。

（1）散点图法

作出

对和

对

的散点图，然后分析

的独立性。若两类散点图都呈现不相关的趋势，则可认为

是独立的。

例8.1对某数据序列拟合AR(1)模型，残差对的散点图如图1所示，拟合AR(2)模型对和对的散点图如图2、3所示。图1有微弱的负相关趋势，说明AR(1)不是适应模型，而图2、3看不出有相关趋势，说明AR(2)是适应模型。图1

图2

图3

（2）估计相关系数法

就是计算与和与之间的相关系数来分析判断。若相关系数较小，则认为独立，即模型为适应模型；否则认为不适应。

例8.2某时间序列中与序列的相关函数及的自相关函数如下图1、2所示。除极个别的以外，相关系数绝对值均比0.1小，可以看出模型是适应的。图1图2

将的自相关函数记为，构造Q统计量为

（3）检验法服从自由度为L(N)-p-q的分布，L(N)为自相关函数的个数，通常取，p+q为模型的参数个数，于是，在给定的显著性水平下2.参数显著性检验检验统计量取检验水平

，可得检验的拒绝域为目的：检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著的参数使模型结构最精简。假设条件：小结：时间