《复数代数形式的四则运算》名师教案

14/183.2复数代数形式的四则运算一、教学目标：1．核心素养通过复数加、减法运算的几何意义的探讨，提高学生数学建构的能力及运用数形结合思想的能力，通过探究复数乘法、除法的法则，提高学生的数学运算能力。初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标：（1）理解并掌握复数的加、减法运算及其几何意义.（2）理解乘法与除法代数形式的运算法则，深刻理解除法运算是乘法运算的逆运算；（3）通过类比平面向量的加、减法运算，探究复数的加、减法运算，并进一步根据向量与复数的联系，探讨复数加、减法运算的几何意义．类比多项式乘法，探究复数代数形式的乘法法则。3．学习重点：复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则、运算律，以及复数加法、减法运算的几何意义。4．学习难点：复数减法、除法的运算法则。二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1、阅读教材P107-P108，思考：复数与复平面内的向量一一对应。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？任务2、阅读教材P108，思考：类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义任务3、阅读教材P109-P110，思考：复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？任务4、阅读教材P109-P110，思考：若是共轭复数，那么在复平面内，它们所对应的点有怎么样的位置关系？是一个怎样的数?任务5、阅读教材P110-P111，思考类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探就复数除法的法则。2．预习自测1．设，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：.2．为虚数单位，复数的实部和虚部之和为（）A.0B.1C.2D.3答案：B解析：略3．已知，其中x，y是实数，i是复数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．B．C．D．答案：D解析：略（二）课堂设计1．知识回顾(1)复数的分类：复数(z=a＋bi，a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))(2)复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.(3)复数与点、向量间的对应①复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应，复平面内的点Z(a，b)；②复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应，平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)．(4)复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为eq\o(OZ,\s\up6(→))，则eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝eq\r(a2＋b2).2．问题探究问题探究一：复数的加、减法运算及其几何意义.重点、难点知识★▲●活动一：探究复数的加法法则、复数加法的运算律复数与平面向量都与有序实数对建立了一一对应关系，你能否类比平面向量坐标形式的加法运算得出复数代数形式的加法运算？（若，与对应的复数为，与对应的复数为，与对应的复数为，进而猜想复数加法运算法则）1.复数代数形式的加法法则：规定复数加法法则如下：设是任意两个复数，那么（注：两个复数的和仍然是一个确定的复数）2．对于复数加法法则的理解：（1）当时与实数加法法则一致；（2）思考：实数加法满足交换律和结合律，那么复数加法满足交换律和结合律吗？易得出：对任意，有，●活动二：探究复数代数形式的加运算的几何意义：复数与复平面内的向量有一一对应关系，我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗复数加法的几何意义：设复数，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，。以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2则对角线OZ对应的向量是，∴两个向量与的和就是就是复数对应的向量，因此复数的加法就可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义。●活动三：复数代数形式的减法运算实数集中减法与加法具有怎样的关系，你能否类比这种关系，得出复数减法的运算法则？把满足的复数叫做复数减去复数的差，记作，根据复数相等的定义有，因此，故即：例1：计算（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）答案：见解析解析：（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）=（5-2-3）+（-6-1-4）i=-11i点拨：复数的加、减法运算，就是实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项.●活动四：探究复数减法的几何意义类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？复数减法是加法的逆运算，设，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量就与复数的差对应。由于，所以，两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。也就是向量减法。例2、复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解析：设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝1,y－2＝－3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－1))，故点D对应的复数为2－i.点拨：本题要抓住复数、复数加法、减法的几何意义。例3、已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解析：方法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1，②由①②得2ac＋2bd＝1，∴|z1＋z2|＝eq\r((a＋c)2＋(b＋d)2)＝eq\r(a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd)＝eq\r(3).方法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，又以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|eq\o(OC,\s\up16(→))|＝eq\r((|\o(OA,\s\up16(→))|2＋|\o(AC,\s\up16(→))|2＋2|\o(OA,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|cos60°))＝eq\r(3).点拨：(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用.(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.问题探究二：复数的乘法法则及乘法运算律重点知识★●活动一：类比多项式乘法，探究复数代数形式的乘法法则我们已经学习了复数代数形式的加、减法运算，也清楚地知道它与多项式加、减法有着相似之处，你能否类比多项式乘法运算，猜想复数代数形式的乘法运算呢?1.乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设是任意两个复数，那么它们的积可以看出两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分别合并；两个复数的积仍然是一个复数.实数中的乘法算律在复数乘法中是否还成立呢？你能够验证码？对任意，有①；②；=3\*GB3③例4、计算（1）（2）（3）解析：（1）（2）(3)点拨：掌握乘法的运算法则是关键.复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.本例中的3+4i与3-4i实部相等，虚部相反，这两个复数叫做互为共轭复数。其形态特征为a＋bi和a－bi，其数值特征为(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.2.共轭复数：（1）共轭复数定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。通常记复数的共复数为。（2）共轭复数的性质：若是共轭复数①在复平面内，它们所对应的点有怎样的关系？②有什么特征？们所对应的点关于实轴对称；②是一个实数且有）共轭复数有如下几个性质：(1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝eq\x\to(z)，利用此性质可以证明一个复数是实数（3)若z≠0，且z＋eq\x\to(z)＝0，则z为纯虚数，利用此性质可以证明一个复数是纯虚数.(4)若干个复数进行加减运算后的共轭复数等于这些复数的共轭复数进行相同的加减运算.例5、是否存在复数z，使其满足eq\x\to(z)·z＋2ieq\x\to(z)＝3＋ai？如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由．解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则原条件等式可化为x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai.由复数相等的充要条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2y＝3，,2x＝a.))消去x，得y2＋2y＋eq\f(a2,4)－3＝0.所以当Δ＝4－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)－3))＝16－a2≥0，即－4≤a≤4时，复数z存在．故存在满足条件的复数z，且实数a的取值范围为－4≤a≤4.点拨：解决本题的关键是掌握复数乘法的运算及共轭复数的概念问题探究三：复数的除法重点、难点知识★▲类比实数除法是乘法的逆运算，你能否探究复数除法的运算法则？设复数除以的商为，即∵由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有复数除法运算法则：（1）复数除法定义：满足的复数叫复数除以复数的商，记为：或者（2）复数除法运算规则：思考：对于上述法则很难记忆，推导起来又很复杂，类比分母有理化的方法，我们能否将的分母变成实数，进而用复数乘法来解决呢？.例6、计算：(1)eq\f(7＋i,3＋4i)；(2)eq\f(－1＋i2＋i,－i)详解：(1)eq\f(7＋i,3＋4i)＝eq\f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－25i,25)＝1－i.(2)eq\f(－1＋i2＋i,－i)＝eq\f(－3＋i,－i)＝eq\f(（－3＋i）·i,－i·i)＝－1－3i.点拨：复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).3．课堂总结【知识梳理】（1）其中，a,b是实数（2）（3）【重难点突破】（1）在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：多项式运算类比复数转化运算转化类比向量运算实数运算类比数轴上向量运算转化有理数转化运算（2）初中我们学习的化简无理分式时，采用的分母有理化思想方法，复数与复数，相当于我们初中学习的与，它们之积为有理数，而是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法(3)复数z与复平面内的向量eq\o(OZ,\s\up16(→))是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则.类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算：减去一个复数等于加上这个复数的相反数.若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则d＝|eq\o(Z1Z2,\s\up16(——→))|＝|z1－z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式.4．随堂检测1．复数－i＋eq\f(1,i)等于()A．－2iB.eq\f(1,2)iC．0D．2i答案：A解析：－i＋eq\f(1,i)＝－i－eq\f(i2,i)＝－2i点拨：复数除法运算2．设复数z的共轭复数是eq\x\to(z)，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·eq\x\to(z2)是实数，则实数t等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3)D．－eq\f(3,4)答案：A解析：∵z2＝t＋i，∴eq\x\to(z2)＝t－i.z1·eq\x\to(z2)＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，又∵z1·eq\x\to(z2)∈R，∴4t－3＝0，∴t＝eq\f(3,4).点拨：复数乘法运算、共轭复数3．i为虚数单位，eq\f(1,i)＋eq\f(1,i3)＋eq\f(1,i5)＋eq\f(1,i7)等于()A．0B．2iC．－2iD．4i答案：A解析：eq\f(1,i)＝－i，eq\f(1,i3)＝i，eq\f(1,i5)＝－i，eq\f(1,i7)＝i，∴eq\f(1,i)＋eq\f(1,i3)＋eq\f(1,i5)＋eq\f(1,i7)＝0.点拨：复数乘法运算、除法运算（三）课后作业基础型自主突破1．复数等于（）A．B．C．D．答案：D解析：略点拨：复数四则运算2．若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=（）A．-2B．-C．D．2答案：D解析：略点拨：复数四则运算3.复数等于（）A．B．C．D．答案：C解析：略点拨：复数四则运算4.化简的结果是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：C解析：略点拨：复数四则运算5.设是实数，且是实数，则（）A．B．C．D．答案：B解析：略点拨：复数代数形式6．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4答案：A.解析：由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离．∴|z－1|min＝1.点拨：复数的几何意义能力型师生共研7、若（虚数单位），则使的值可能是（）A.B.C.D.答案：D解析：略点拨：复数的代数形式及四则运算8、已知，复数，则的值是（）A．B．C．（0，）内的任意值D．（0，）内的任意值答案：A解析：略点拨：复数四则运算及复数几何意义9满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是()[来源:Z&xx&k.Com]A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆答案：C解析：因为|3＋4i|＝eq\r(32＋42)＝5，所以|z－i|＝5，设z＝x＋yi(x，y∈R)，则有eq\r(x2＋(y－1)2)＝5，即x2＋(y－1)2＝25.点拨：复数的几何意义、复数的模10.复数z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为()A．3－2eq\r(2)B.eq\r(2)－1C．3＋2eq\r(2)D.eq\r(2)＋1答案：D解析：|z1－z2|＝|(1＋icosθ)－(sinθ－i)|＝eq\r((1－sinθ)2＋(1＋cosθ)2)＝eq\r(3－2(sinθ－cosθ))=eq\r(3＋2\r(2)sin(θ－\f(π,4)))≤eq\r(3＋2\r(2))＝eq\r(2)＋1.点拨：复数的几何意义、复数的模探究型11.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.3C.4D.16答案：C解析:由|z-4i|=|z+2|得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,∴2x+4y=2x+22y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.点拨：复数的几何意义、复数的模自助餐1.若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于()A．0B．2iC．6D．6－2i答案：D解析：略点拨：复数加法、减法2.设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为()A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i答案：D解析：略点拨：复数加法、减法、复数相等3.已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：略点拨：复数几何意义、复数的模4．A、B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案：B.解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形点拨：复数几何意义、复数的模5.设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为()．A．0B．1C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)答案：C解析：由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离．点拨：复数几何意义、复数的模6.已知是虚数单位，则复数的共轭复数是_________.答案：1－2i．解析：因为.所以其共轭复数是1-i.点拨：共轭复数7.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为________。答案：3解析：∵复数a-=a-=a-3-i是纯虚数，∴a-3=0，解得a=3．点拨：纯虚数8．已知，复数=3+4i，复数满足，求的最大值。答案：7解析：设A(3,4)，,B(a,b)，则=2，所以点B的轨迹是以A为圆心2为半径的圆。，最大值为5+2=7。点拨：复数四则运算及复数的模9．已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2b=(a+2z)2.答案：见解析解析：因为z=1+i,所以az+2b=(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a2+4a)+4(a+2)i.因为a,b都是实数,所以可得解得或即a=-2,b=-1或a=-4,b=2.点拨：复数的四则运算10、设z1是虚数，z2＝z1＋eq\f(1,z1)是实数，且－1≤z2≤1.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；(2)若ω＝eq\f(1－z1,1＋z1)，求证：ω为纯虚数．答案：见解析解析：(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋eq\f(1,z1)＝a＋bi＋eq\f(1,a＋bi)＝(a＋eq\f(a,a2＋b2))＋(b－eq\f(b,a2＋b2))i.因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a.由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(1,2)，即z1的实部的取值范围是[－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]．(2)证明：ω＝eq\f(1－z1,1＋z1)＝eq\f(1－a－bi,1＋a＋bi)＝eq\f(1－a2－b2－2bi,1＋a2＋b2)＝－eq\f(b,a＋1)i.因为a∈[－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]，b≠0，所以ω为纯虚数．点拨：复数四则运算及复数几何意义11、已知点集D＝{z||z＋1＋eq\r(3)i|＝1，z∈C