随堂练习：数学归纳法2

1/42.3数学归纳法1．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2 B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<3 D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)<3解析：选B.∵n∈N*，n>1，∴n取第一个正整数为2，左端分母最大的项为eq\f(1,22－1)＝eq\f(1,3).2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确(k∈N*)B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确(k∈N*)C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确(k∈N*)D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)解析：选B.正奇数的第一值为1，应假设n＝2k－1时正确，其后面的正奇数为2k＋1，应再推n＝2k＋1正确．故选B.3．(2013·商丘高二检测)在证明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1)＞eq\f(n,2)(n∈N*)时，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是()A．1项 B．2k项C．k项 D．k－1项解析：选B.令f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1).则f(k)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k＋1)，f(k＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1＋1).∴f(k＋1)－f(k)＝eq\f(1,2k＋2)＋eq\f(1,2k＋3)＋…＋eq\f(1,2k＋1＋1).∵(2k＋1＋1)－(2k＋2)＋1＝2k，∴增加了2k项．4．(2013·济南高二检测)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C.eq\f(k＋14＋k＋12,2)D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析：选D.当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D.5．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立解析：选C.由题意知当n＝k＋1时命题不成立可推知当n＝k(k∈N*)时命题不成立．因此若当n＝5时该命题不成立，可推知当n＝4时该命题也不成立．故选C.6．设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.解析：f(n＋1)－f(n)＝eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1＋1)＋\f(1,n＋1＋2)＋…＋\f(1,2n)))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,n＋1＋n)＋\f(1,n＋1＋n＋1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).答案：eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)7．(2013·合肥高二检测)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．解析：令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)．∴eq\f(fk＋1,fk)＝eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1)．答案：2(2k＋1)8．(2013·银川调研)用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是__________解析：∵210＝1024>103,29＝512<93，∴填10.答案：109．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·eq\f(nn＋1,2).证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×eq\f(1×2,2)＝1，结论成立．(2)假设当n＝k时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·eq\f(kk＋1,2)，那么当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·eq\f(kk＋1,2)＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k·(k＋1)eq\f(－k＋2k＋2,2)＝(－1)k·eq\f(k＋1k＋2,2)＝(－1)(k＋1)－1·eq\f(k＋1[k＋1＋1],2).即n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．10．证明不等式1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＜2eq\r(n)(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边＜右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立．即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＜2eq\r(k).则当n＝k＋1时，左边＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＜2eq\r(k)＋eq\f(1,\r(