《数学归纳法》教学设计

②知对原不等式成立.以上证法是错误的，错误在于（）A.从到的递推过程没有使用归纳假设B.假设的写法错误C.初值检验错误D.从到的推理不严密【知识点：数学归纳法】解：A数学归纳法在递推过程中必须使用归纳假设.2.用数学归纳法证明的过程中，从“递推到”时，等式左边需增加的项是（）A．B．C．D．【知识点：数学归纳法】解：B．3.用数学归纳法证明“成立”时，初值应该取（）A．7B．8C．9D．10【知识点：数学归纳法】解：B用数学归纳法证明“成立”时，从到变化时，左边增加的项数是（）A．B．C．D．【知识点：数学归纳法】解：A项数增加为.（三）课后作业基础型自主突破1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()An=1Bn=2Cn=3Dn=4【知识点：数学归纳法】解：C2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a3【知识点：数学归纳法】解：B因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.3.用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜3D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜3【知识点：数学归纳法】解：B∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为eq\f(1,22－1)＝eq\f(1,3)，故选B.4．用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（）A．B．C．D．【知识点：数学归纳法】解：B5．用数学归纳法证明某命题时，左边为从k变到k＋1时，左边应增添的代数式是（）A．B．＋C．＋＋D．＋＋……＋【知识点：数学归纳法】解：D等式左边的分母从2依次增大1，直到.当从k变到k＋1时，第一项为，最后一项为，增加的是＋＋……＋.6．某个命题与正整数有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立．现已知当时该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立【知识点：数学归纳法】解：C“当时命题成立，则当时命题也成立”的逆否命题是“当时命题不成立，则当时命题不成立”.而原命题与其逆否命题真值相同，所以当时命题不成立可得当n=4时该命题不成立.能力型师生共研7．从一楼到二楼的楼梯共有级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这级台阶共有种走法，则下面的猜想正确的是（）A．B．C．D．【知识点：数学归纳法】解：A当n=1时，f(1)＝1；当n=2时，f(2)＝2；当n=3时，f(3)＝3；当n=4时，f(4)＝5；由上面等式即可检验出符合斐波拉契数列，所以正确的猜想是答案A.这是一个经典的递推问题，也就是斐波拉契数列.如果我们第一步选1级台阶，那么后面就会剩（n-1）级台阶，也就是会有f(n-1)种走法；如果我们第一步选2级台阶，那么后面就会剩（n-2）级台阶，也就是会有f(n-2)种走法.因此，对于n级台阶来说，就会有f(n-1)+f(n-2)种走法.故答案选A.8．若k棱柱有f(k)个对角面，则k+1棱柱的对角面的个数为()A．f(k)+k-1B．f(k)+kC．f(k)+k+1D．f(k)+k-2【知识点：数学归纳法】解：A由k棱柱到k+1棱柱，底面对角线增加了k-2+1=k-1条，所以增加了k-1个对角面..9．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立【知识点：数学归纳法】解：C∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.10．设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.eq\f(1,2n＋1)B.eq\f(1,2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)D.eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)【知识点：数学归纳法】解：Df(n＋1)－f(n)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,(n＋1)＋1)＋\f(1,(n＋1)＋2)＋…＋\f(1,2n)＋\f(1,2n＋1)＋\f(1,2(n＋1))))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2(n＋1))－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).故选D探究型多维突破11．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．【知识点：数学归纳法】解：(1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k；(k－1)[3(k－1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1]12．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．【知识点：数学归纳法】证明：①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n∈N*都成立．自助餐1.已知，则()A.共有n项，当时，B.共有n+1项，当时，C.共有n2-n项，当时，D.共有n2-n+1项，当时，【知识点：数学归纳法】解：D2．观察下列各式：已知，，，，，...，则猜想()．A．26B．27C．28D．29【知识点：数学归纳法】解：D．3．用数学归纳法证明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()．A.eq\f(1,2k＋2)B．－eq\f(1,2k＋2)C.eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2)D.eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)【知识点：数学归纳法】解：C∵当n＝k时，左侧＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)－eq\f(1,2k)，当n＝k＋1时，左侧＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)－eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2).4．用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为()．A．B．C．D．【知识点：数学归纳法】解：B既要保证能够使用归纳假设，又要保证与结果一致．5．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)【知识点：数学归纳法】解：D(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．6．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()．A．a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4)B．a＝b＝c＝eq\f(1,4)C．a＝0，b＝c＝eq\f(1,4)D．不存在这样的a、b、c【知识点：数学归纳法】解：A∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3(a－b)＋c，,1＋2×3＝32(2a－b)＋c，,1＋2×3＋3×32＝33(3a－b)＋c，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－3b＋c＝1，,18a－9b＋c＝7，,81a－27b＋c＝34，))解得a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4).下用数学归纳法证明这个结论即可.7．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．【知识点：数学归纳法】解：当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立，8．已知数列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，…，eq\f(1,n(n＋1))，通过计算得S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4)，由此可猜测Sn＝________.【知识点：数学归纳法】解：eq\f(n,n＋1)9．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.【知识点：数学归纳法】解：5当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.10.用数学归纳法证明：．【知识点：数学归纳法】证明：①n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．②假设n=k时，等式成立，即：．那么当n=k+1时，有：当n=k+1时．所以当n=k+1时，等式亦成立.由①、②可知，对一切自然数n等式成立．11.试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．分析：由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．【知识点：数学归纳法】证明：当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．12．求证：eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n－2,2)(n≥2)．【知识点：数学归纳法】证明：①当n＝2时，左＝eq\f(1,2)>0＝右，∴不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．即eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)>eq\f(k－2,2)成立．那么n＝k＋1时，eq\f(1,2)＋eq\f