《合情推理》教学设计

③检验猜想.说明：由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，（如：费马猜想）但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识性能，对于提供科学的发现方法，确实是非常有用的.问题探究二类比推理的含义．重点、难点知识★▲ ●活动一结合实例，体会类比推理问题1：为什么人们会猜测火星上有生命呢？地球火星行星、围绕太阳运行、绕轴自转行星、围绕太阳运行、绕轴自转有大气层有大气层一年中有四季的变更一年中有四季的变更温度适合生物的生存大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存有生命存在可能有生命存在问题2：用以上方法，类比圆的特征，填写下表球的特征，说说推理的过程.并回答下面两个问题：1.为什么圆可以和球类比？2.圆和球类比的规律是什么？圆的概念和性质球的概念和性质圆的周长球的表面积圆的面积球的体积圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于截面与圆心距离相等的两弦相等与球心距离相等的两截面面积相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2规律总结：圆←→球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积 ●活动二梳理小结，掌握类比推理的逻辑含义类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，简称类比.类比推理的特点1.类比推理是由特殊到特殊的推理.2.由于类比的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确的指出两类对象在某些方面的类似特征.3.类比推理是以旧的知识做基础，推测新的结果，具有发现的功能.类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；③检验这个猜想.例1：用推理的形式表示等差数列1,3,5，…，（2n-1）,…的前n项和的归纳过程.【知识点：归纳推理】详解：对等差数列1,3,5，…，（2n-1）,…的前1,2,3,4,5,6项和分别进行计算：故，等差数列1,3,5，…，（2n-1）,…的前n项和点拨：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，需要对有限的资料进行观察、分析、归纳整理，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想．例2：设,计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时做出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确.【知识点：归纳推理】详解：43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数.结论：当n取任何正整数时，的值都是质数.因为当n=40时，所以是合数.因此，上面的归纳推理得到的猜想不正确.点拨：由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，需要进行严格的证明或通过举反例推翻其一般性.例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．【知识点：类比推理】详解：列表如下直角三角形3个面两两垂直的四面体∠C＝90°3个边的长度a，b，c2条直角边a，b和1条斜边c∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝90°，4个面的面积S1，S2，S3和S，3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S结论：．点拨：类比推理是由特殊到特殊的推理，由于类比的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确的指出两类对象在某些方面的类似特征．3．课堂总结【知识梳理】(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概栝出一般结论的推理．归纳推理是由特殊到一般的推理. (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.类比推理是由特殊到特殊的推理． (3)归纳与类比都是合情推理，但是它们的结论都未必正确，需要进行证明结论是真或通过举反例说明结论是假． 【重难点突破】(1)进行归纳推理的时候，要先搜集一定的事实材料，有了个别性、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行．(2)类比的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确的指出两类对象在某些方面的类似特征．4．随堂检测1．下列说法正确的是（）A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误【知识点：合情推理的含义与作用】解：B.根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是（）A．三角形 B．梯形C．平行四边形 D．矩形【知识点：类比推理的含义】解：C3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③【知识点：类比推理的含义】解：C正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．4．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72015的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49【知识点：简单的合情推理】解：B因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2015＝4×503＋3，所以72015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.5．设f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________．猜想xn＝________.【知识点：简单的合情推理】解：eq\f(2,3)，eq\f(2,4)，eq\f(2,5)…eq\f(2,n＋1)x2＝f(x1)＝eq\f(2,1＋2)＝eq\f(2,3)，x3＝f(x2)＝eq\f(2×\f(2,3),\f(2,3)＋2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，x4＝f(x3)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋2)＝eq\f(2,5)，∴xn＝eq\f(2,n＋1).（三）课后作业基础型自主突破1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于（）A．28B．32C．33D．27【知识点：归纳推理】解：B观察发现从第二项开始，每一项与前一项的差构成公差为3的等差数列，所以x=32.2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面积公式S扇等于（）A.eq\f(r2,2)B.C.D．不可类比【知识点：类比推理】解：C3．观察：，，，...，对于任意的正实数，使成立的一个条件可以是（）A．B．C．D．【知识点：归纳推理】解：B4．已知数列的前n项和为，且，试归纳猜想出的表达式为（）A.B.C.D.【知识点：归纳推理】解：A依次求得，，，猜想.5.下面几种推理是合情推理的是________．(填序号)①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.【知识点：简单的合情推理】解：①②④6．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b∈R)，则a＋b＝________.【知识点：归纳推理】解：41根据题意，由于eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，那么可知eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))，a＝6，b＝6×6－1＝35，所以a＋b＝41.能力型师生共研7．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．【知识点：归纳推理】解：n2＋n由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，所以第n行第n＋1列的数是n2＋n.8．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝eq\f(\r(a2＋b2),2).运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.【知识点：类比推理】解：eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)通过类比可得R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是eq\r(a2＋b2＋c2)，故这个长方体的外接球的半径是eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．9．在平面内有n(n∈N*，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(5)的值是______，f(n)的表达式是________．【知识点：归纳推理】解：16；f(n)＝eq\f(n2＋n＋2,2)由题意得，n条直线将平面分成eq\f(nn＋1,2)＋1个平面区域，故f(5)＝16，f(n)＝eq\f(n2＋n＋2,2).10．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．【知识点：归纳推理】解：14进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.探究型多维突破11．如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比＝eq\f(OM1,OM2)·eq\f(ON1,ON2).如图(2)，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为______________________．【知识点：类比推理】解：＝eq\f(OP1,OP2)·eq\f(OQ1,OQ2)·eq\f(OR1,OR2)由图看出三棱锥P1－OR1Q1及三棱锥P2－OR2Q2的底面面积之比为eq\f(OQ1,OQ2)·eq\f(OR1,OR2)，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为eq\f(OP1,OP2)，故体积之比为＝eq\f(OP1,OP2)·eq\f(OQ1,OQ2)·eq\f(OR1,OR2).12.设f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．【知识点：简单的合情推理】解：f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,31＋\r(3))＝eq\f(1,1＋\r(3))＋eq\f(1,3＋\r(3))＝eq\f(\r(3)－1,2)＋eq\f(3－\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，同理可得：f(－1)＋f(2)＝eq\f(\r(3),3)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(\r(3),3)，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝eq\f(\r(3),3).证明：设x1＋x2＝1，∵f(x1)＋f(x2)＝＋自助餐1．下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【知识点：归纳推理】解：B从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．① B．①②C．①②③ D．③【知识点：类比推理】解：C．正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．3．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【知识点：类比推理】解：B(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sinαsinβ不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝eq\f(\r(3),4)，故②错误．由向量的运算公式知③正确．4．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n))也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为（）A．dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n) B．dn＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)C．dn＝eq\r(n,\f(c\o\al(n,1)＋c\o\al(n,2)＋…＋c\o\al(n,n),n)) D．dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)【知识点：类比推理】解：D若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴bn＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq\o\al(n,1)·q，∴dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.5.数列中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn=（）A．B． C． D．1－【知识点：归纳推理】解：B6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024C．1225 D．1378【知识点：简单的合情推理】解：C．记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1225.7．在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的eq\f(1,3)”．拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________．【知识点：类比推理】解：eq\f(1,4)设正三角形的边长为a，高为h，内切圆半径为r，由等面积法知3ar＝ah，所以r＝eq\f(1,3)h；同理，由等体积法知4SR＝HS，所以R＝eq\f(1,4)H.8．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为____________________________．【知识点：归纳推理】解：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n－1)．9.已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m).类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝________.【知识点：类比推理】解：eq\r(n－m,\f(dn,cm))设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m)，所以类比得bm＋n＝eq\r(n－m,\f(dn,cm)).10.在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：eq\f(Pa,ha)＋eq\f(Pb,hb)＋eq\f(Pc,hc)＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．【知识点：类比推理】解：eq\f(Pa,ha)＋eq\f(Pb,hb)＋eq\f(Pc,hc)＋eq\f(Pd,hd)＝1设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：eq\f(Pa,ha)＋eq\f(Pb,hb)＋eq\f(Pc,hc)＋eq\f(Pd,hd)＝1.11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【知识点：简单的合情推